Metallisk nummer
I matematikk er metalliske tall (eller metalliske konstanter ) reelle tall som brukes til å uttrykke lineære gjentakelser av typen .
uikke+2=suikke+1+uikke{\ displaystyle u_ {n + 2} = pu_ {n + 1} + u_ {n}}![{\ displaystyle u_ {n + 2} = pu_ {n + 1} + u_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b31acef99b59e2808bc12843fb32c5bd0d6428f)
De ble så navngitt analogt med det gyldne forholdet , som er det første av dem.
Introduksjon
Det gyldne forhold som gjør det mulig å uttrykke den generelle termen til sekvensene som verifiserer den lineære gjentakelsen , er det blitt foreslått å kalle metallnummer som gjør det mulig å uttrykke den generelle termen for sekvensene som bekrefter den lineære gjentakelsen .
(uikke){\ displaystyle (u_ {n})}
uikke+2=uikke+1+uikke{\ displaystyle u_ {n + 2} = u_ {n + 1} + u_ {n}}
(uikke){\ displaystyle (u_ {n})}
uikke+2=suikke+1+uikke{\ displaystyle u_ {n + 2} = pu_ {n + 1} + u_ {n}}![{\ displaystyle u_ {n + 2} = pu_ {n + 1} + u_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b31acef99b59e2808bc12843fb32c5bd0d6428f)
Ved definisjon av p th metallisk nummer bemerket er den unike positiv løsning av karakteristikken for gjentakelse ligning .
φs{\ displaystyle \ varphi _ {p}}
x2=sx+1{\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}![{\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2e53c2462ce8180c910b68830d18282354786f)
Hvis en slik sekvens har en tendens til uendelig, er grensen for forholdet .
φs{\ displaystyle \ varphi _ {p}}
uikke+1/uikke{\ displaystyle u_ {n + 1} / u_ {n}}![{\ displaystyle u_ {n + 1} / u_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16d76a953b8867f2f9e26160c2b7f2808fa6937)
For det foreslåtte metallet var sølv . Kobber (plassert over gull og sølv i det periodiske systemet ) ble foreslått for neste nummer (eller bronse), da nikkel. .
s=2{\ displaystyle p = 2}![p = 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62e4100b94c1939c67f2d4b8580d26c78106c44)
Ulike uttrykk
- Som en positiv løsning på , får vi .x2=sx+1{\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}
φs=s+s2+42{\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ frac {p + {\ sqrt {p ^ {2} +4}}} {2}}}![{\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ frac {p + {\ sqrt {p ^ {2} +4}}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687e2c9604b5cf8edac82c56c6bb667032d78ec7)
- Å skrive ligning i form , den oppnådde kontinuerlige fraksjon : .x=s+1x{\ displaystyle x = p + {1 \ over x}}
φs=s+1s+1s+1s+1s+⋱=[s;s,...]{\ displaystyle \ varphi _ {p} = p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + \ ddots \,}}}}}}} = [p; p, \ prikker]}![{\ displaystyle \ varphi _ {p} = p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + \ ddots \,}}}}}}} = [p; p, \ prikker]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bd45fc8e5c0dcf35ee341256cbba4264e8ca01)
- Når vi skriver ligningen i form , får vi den nestede uendelige radikalen .x=1+sx{\ displaystyle x = {\ sqrt {1 + px}}}
φs=1+s1+s1+s1+⋯{\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}}![{\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736ccd8b9cffca3fd95b322f5c724448fa077e7a)
- Den p- th metallisk Nummeret er også angitt ved en integral:
φs=∫0s(x2x2+4+s+22s)dx.{\ displaystyle \ varphi _ {p} = \ int _ {0} ^ {p} {\ left ({x \ over {2 {\ sqrt {x ^ {2} +4}}}} + {{p + 2} \ over {2p}} \ høyre)} \, dx.}
![{\ displaystyle \ varphi _ {p} = \ int _ {0} ^ {p} {\ left ({x \ over {2 {\ sqrt {x ^ {2} +4}}}} + {{p + 2} \ over {2p}} \ høyre)} \, dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968a55f939cd55a647681053b5d6f2554919fa37)
Metallrektangler
Den p- th metallisk nummer er lengden L = / bredde-forhold = l av et rektangel, slik at hvis vi fjerner p kvadrater av maksimal størrelse, får vi et rektangel tilsvarende utgangs en.
Vi får virkelig forholdet som gir hvis vi stiller .
lL-sl=Ll{\ displaystyle {\ frac {l} {L-pl}} = {L \ over l}}
x2=sx+1{\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}
x=L/l{\ displaystyle x = L / l}![{\ displaystyle x = L / l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8c4b44a1424da7b8c86daa6f439d27b927e6cd)
Første verdier
s
|
Uttrykk
|
Desimal skrift
|
Metall
|
Tilhørende tilbakevendende suite
|
---|
1
|
1 + √ 5/2
|
1.618033989
|
gull
|
Fibonacci-sekvens
|
2
|
1+2{\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}
|
2,414213562 |
sølv
|
Pell-oppfølgeren
|
3
|
3 + √ 13/2
|
3.302775638 |
kobber eller bronse
|
Etter A006190 fra OEIS
|
4
|
2+5{\ displaystyle 2 + {\ sqrt {5}}}
|
4.236067978 |
|
Etter A001076 fra OEIS
|
5
|
5 + √ 29/2
|
5.192582404 |
|
Følger A052918 fra OEIS
|
6
|
3+10{\ displaystyle 3 + {\ sqrt {10}}}
|
6.162277660 |
|
Etter A005668 fra OEIS
|
7
|
7 + √ 53/2
|
7.140054945 |
|
|
8
|
4+17{\ displaystyle 4 + {\ sqrt {17}}}
|
8,123105626 |
|
|
9
|
9 + √ 85/2
|
9.109772229 |
|
|
⋮
|
s
|
p + √ 4 + p 2/2
|
Trigonometriske uttrykk
Metallnummernummer
|
1
|
2
|
3
|
4
|
---|
Trigonometrisk formel
|
2cosπ5{\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {5}}}
|
solbrun3π8{\ displaystyle \ tan {\ frac {3 \ pi} {8}}}
|
2cosπ1. 3(synd2π1. 3cos3π1. 3+1){\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {13}} \ left ({\ frac {\ sin {\ frac {2 \ pi} {13}}} {\ cos {\ frac {3 \ pi} {13}}}} + 1 \ høyre)}
|
8cos3π5{\ displaystyle 8 \ cos ^ {3} {\ frac {\ pi} {5}}}
|
Tilknyttet vanlig polygon
|
Pentagon
|
Octagon
|
Tridecagon
|
29-borte
|
Egenskaper for heltallskrefter
Hele krefter
På samme måte som de suksessive potenser av den gylne snitt verifisere hvor det Fibonacci sekvens ,
φikke=Fikkeφ+Fikke-1{\ displaystyle \ varphi ^ {n} = F_ {n} \ varphi + F_ {n-1}}
(Fikke){\ displaystyle (F_ {n})}![{\ displaystyle (F_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28830549cbbd029f90ee9a4358c62c72455cead)
kreftene til metallnummer bekrefter:
φsikke=Gikkeφs+Gikke-1(1){\ displaystyle \ varphi _ {p} ^ {n} = G_ {n} \ varphi _ {p} + G_ {n-1} \, \, (1)}
hvor sekvensen , definert av, er Fibonacci p- suite .
(Gikke){\ displaystyle (G_ {n})}
G0=0,G1=1,Gikke+2=sGikke+1+Gikke{\ displaystyle G_ {0} = 0, G_ {1} = 1, G_ {n + 2} = pG_ {n + 1} + G_ {n}}![{\ displaystyle G_ {0} = 0, G_ {1} = 1, G_ {n + 2} = pG_ {n + 1} + G_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6578912f493872b8edb5a21ad89e1c940fba0d08)
Ved å utvide sekvensen til negative heltall og godta negativene i definisjonen av , er Relasjon (1) gyldig for alle relative heltall .
(Gikke){\ displaystyle (G_ {n})}
s{\ displaystyle p}
φs=s+s2+42{\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ frac {p + {\ sqrt {p ^ {2} +4}}} {2}}}![{\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ frac {p + {\ sqrt {p ^ {2} +4}}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687e2c9604b5cf8edac82c56c6bb667032d78ec7)
Så, hvis er den andre løsningen av , styrker også makten slik at (generalisering av Binets formel ).
φs′=φ-s=s-φs=-1φs{\ displaystyle \ varphi '_ {p} = \ varphi _ {- p} = p- \ varphi _ {p} = - {1 \ over {\ varphi _ {p}}}}
x2=sx+1{\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}
φs′{\ displaystyle \ varphi '_ {p}}
φs′ikke=Gikkeφs′+Gikke-1{\ displaystyle \ varphi _ {p} '^ {n} = G_ {n} \ varphi _ {p}' + G_ {n-1}}
Gikke=φsikke-φs′ikkeφs-φs′{\ displaystyle G_ {n} = {\ frac {\ varphi _ {p} ^ {n} - \ varphi _ {p} '^ {n}} {\ varphi _ {p} - \ varphi _ {p}' }}}![{\ displaystyle G_ {n} = {\ frac {\ varphi _ {p} ^ {n} - \ varphi _ {p} '^ {n}} {\ varphi _ {p} - \ varphi _ {p}' }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dd21cf34a2ac48d6d5f7b9c3a02a46ffb8d8f5)
Legg også merke til at siden det omvendte av et metallnummer har samme brøkdel som det.
1φs=φs-s{\ displaystyle {1 \ over {\ varphi _ {p}}} = \ varphi _ {p} -p}![{\ displaystyle {1 \ over {\ varphi _ {p}}} = \ varphi _ {p} -p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8a6af4e5eb70024a627908ca15986cfbf08c62)
I tillegg blir eiendom mer utbredt. Faktisk er enhver merkelig kraft av et metallnummer et annet metallnummer, hvor den nøyaktige sammenhengen er :; f.eks .
φ4=φ3{\ displaystyle \ varphi _ {4} = \ varphi ^ {3}}
φs2ikke+1=φ∑k=0ikke2ikke+12k+1(ikke+k2k)s2k+1{\ displaystyle \ varphi _ {p} ^ {2n + 1} = \ varphi _ {\ sum _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ over {2k + 1}} {{n + k} \ velg {2k}} p ^ {2k + 1}}}
φs3=φ(s3+3s){\ displaystyle \ varphi _ {p} ^ {3} = \ varphi _ {\ left (p ^ {3} + 3p \ right)}}![{\ displaystyle \ varphi _ {p} ^ {3} = \ varphi _ {\ left (p ^ {3} + 3p \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c904e703054d1519056ebefec9c6ff59e6e879)
Se også
Merknader
-
A014176 , Desimal utvidelse av sølvmidlet , 1 + sqrt (2).
-
A098316 , desimal utvidelse av [3, 3, ...] = (3 + sqrt (13)) / 2.
-
A098317 , desimal utvidelse av phi ^ 3 = 2 + sqrt (5).
-
A098318 , desimal utvidelse av [5, 5, ...] = (5 + sqrt (29)) / 2.
-
A176398 , desimal utvidelse på 3 + sqrt (10).
-
A176439 , desimal utvidelse av (7 + sqrt (53)) / 2.
-
A176458 , desimal utvidelse på 4 + sqrt (17).
-
A176522 , desimal utvidelse av (9 + sqrt (85)) / 2.
Referanser
-
Vera W. de Spinadel (1999). The Family of Metallic Means , Vismath 1 (3) fra Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts .
-
fra Spinadel, " The Metallic Means and Design ", Nexus II: Architecture and Mathematics , Fucecchio (Florence), Edizioni dell'Erba,1998, s. 141–157 ( les online )
-
" En introduksjon til fortsatte brøker: sølvmidlene ", maths.surrey.ac.uk .
Eksterne linker