Nullitet av det kovariante derivatet av metrisk tensor

Den ugyldigheten av den kovariante derivat av den metriske tensor av en Riemannisk manifold uttrykker det faktum at det samme mål påføres ved et hvilket som helst punkt av manifolden. I matematiske termer uttrykkes det i formen: hvor representerer komponentene til derivatet av tensoren. Denne egenskapen kan demonstreres på to måter: gαβ{\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}gαβ;γ=0{\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma} = 0}gαβ;γ{\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma}}

• ved matematisk resonnement, ved eksplisitt å fremstille beregningen med Christoffel-koeffisientene  ;

Demonstrasjon

La være en lokal base og den metriske tensoren uttrykt i denne basen. Per definisjon av det kovariante derivatet har vi for alt , og  : (eα){\ displaystyle (e _ {\ alpha})}gαβ=g(eα,eβ){\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} = g (e _ {\ alpha}, e _ {\ beta})}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}γ{\ displaystyle \ gamma}

∂γgαβ=∂γg(eα,eβ)=g(∇eγeα,eβ)+g(eα,∇eγeβ){\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} g _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ gamma} g (e _ {\ alpha}, e _ {\ beta}) = g (\ nabla _ {e _ {\ gamma}} e _ {\ alpha}, e _ {\ beta}) + g (e _ {\ alpha}, \ nabla _ {e _ {\ gamma}} e _ {\ beta})}

derfor, per definisjon av Christoffels symboler:

∂γgαβ=g(Γγαλeλ,eβ)+g(eα,Γγβλeλ)=Γγαλg(eλ,eβ)+Γγβλg(eα,eλ)=Γγαλgλβ+Γγβλgαλ{\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} g _ {\ alpha \ beta} = g (\ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} e _ {\ lambda}, e _ {\ beta}) + g (e_ {\ alpha}, \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} e _ {\ lambda}) = \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g (e _ {\ lambda}, e_ {\ beta}) + \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} g (e _ {\ alpha}, e _ {\ lambda}) = \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g_ {\ lambda \ beta} + \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} g _ {\ alpha \ lambda}}

eller:

∂γgαβ-Γγαλgλβ-Γγβλgαλ=0{\ displaystyle \ partial _ {\ gamma} g _ {\ alpha \ beta} - \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g _ {\ lambda \ beta} - \ Gamma _ {\ gamma \ beta } ^ {\ lambda} g _ {\ alpha \ lambda} = 0}

Men uttrykket ovenfor er nettopp det for , kovariant derivat av tensoren g. gαβ;γ{\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma}}

• ved fysisk resonnement, innenfor rammen av generell relativitet .

Detalj av fysisk resonnement: de ekvivalens prinsippet om at det ikke alltid er mulig å finne en lokal Lorentzian depot hvor de første derivater av beregningen er null, det vil si: . Imidlertid avhenger Christoffel-koeffisientene bare av de første derivatene av beregningen, så vi har: og . gαβ,γ=0{\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta, \ gamma} = 0}Γαβγ=0{\ displaystyle \ Gamma _ {\ alpha \ beta \ gamma} = 0}gαβ;γ=0{\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma} = 0}

Denne tensorielle forholdet er sant i en hvilken som helst lokal Lorentzian referanseramme, i henhold til ekvivalensprinsippet , er det også sant i enhver referanseramme.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">