Den generelle relativitets er en teori relativitet av gravitasjon , det vil si, den beskriver påvirkning av tilstedeværelsen av materiale og mer generelt energi, bevegelse av stjernene tar hensyn til prinsippene om spesielle relativitetsteori . Generell relativitetsteori omfatter og erstatter teorien om universell gravitasjon av Isaac Newton, som representerer grensen ved lave hastigheter (sammenlignet med lysets hastighet ) og svake gravitasjonsfelt.
Det er hovedsakelig arbeidet til Albert Einstein , som utviklet det mellom 1907 og 1915 og regnes som hans største prestasjon. De25. november 1915, sendte han sitt manuskript av teorien om generell relativitet til seksjonen matematikk og fysikk fra Royal Preussian Academy of Sciences , som publiserte den på2. desember.
Navnene på Marcel Grossmann og David Hilbert er også knyttet til det, den første har hjulpet Einstein til å gjøre seg kjent med de matematiske verktøyene som er nødvendige for forståelsen av teorien ( differensialgeometri ), den andre har tatt sammen med Einstein de siste trinnene som førte til sluttføringen av teorien etter at sistnevnte hadde presentert de generelle ideene for ham i løpet av året 1915.
Generell relativitetsteori er basert på konsepter som er radikalt forskjellige fra Newtons gravitation. Den fastslår særlig at gravitasjonen ikke er en kraft, men manifestasjonen av krumningen av plass (i virkeligheten av space-time ), krumning i seg selv fremstilt ved fordeling av energi , i form av masse eller kinetisk energi , noe som er forskjellig i henhold til observatørens referanseramme . Denne relativistiske gravitasjonsteorien forutsier effekter som er fraværende fra Newtons teori, men bekreftet, for eksempel utvidelse av universet , gravitasjonsbølger og sorte hull . Det gjør det ikke mulig å bestemme bestemte konstanter eller visse aspekter av universet (spesielt evolusjonen, enten det er endelig eller ikke, etc.): observasjoner er nødvendige for å spesifisere parametere eller for å ta valg mellom flere muligheter igjen av teorien .
Ingen av de mange eksperimentelle testene som ble utført, kunne utsette det. Spørsmål forblir imidlertid ubesvart: hovedsakelig på teoretisk nivå, hvordan generell relativitet og kvantefysikk kan forenes for å produsere en komplett og sammenhengende teori om kvantegravitasjon ; og når det gjelder astronomiske observasjoner eller kosmologiske, hvordan man kan forene visse tiltak med teoriens spådommer ( mørk materie , mørk energi ).
En analogi som tillater visualisering av relativitet består i å representere romtid i tre dimensjoner som et strukket ark som deformeres under vekten av gjenstandene man legger der. Hvis duken er stram og ikke har kropp på seg, passerer en lett ball som rulles over den i en rett linje. Hvis vi plasserer en tung ball i midten, blir duken deformert og den lette ballen går ikke lenger i en rett linje, og kan til og med falle mot den tunge ballen, noe som gir en illusjon om at den lette ballen blir tiltrukket av den tunge ballen mens denne attraksjonen er det indirekte resultatet av formen på "arket" som gjelder masser overalt i det.
Denne analogien ser ut til å anta en ekstern gravitasjonskilde (som vil gi vekt til ballen som deformerer duken), men vi må heller ta i betraktning at det er tyngdekraften som utøves av ballen selv som deformerer romtiden rundt den. , til og med ved å overføre en del av dynamikken til den (bevegelseshastighet, rotasjon på seg selv).
Den Rom-tid er ikke tredimensjonale men fire (tre av plass og ett av gangen ), og alle fire er forvrengt som følge av tilstedeværelsen av en masse.
Teorien om universell gravitasjon ved foreslått Newton i slutten av XVII th -tallet var basert på konseptet av styrken i aksjon på avstand, det vil si at den kraft som utøves av et organ (f.eks søn ) på en annen ( Earth ) bestemmes av deres relative posisjon i et gitt øyeblikk, og dette uansett avstanden mellom dem, og denne kraften som utøves på en øyeblikkelig måte. Denne momentaniteten er uforenlig med prinsippene for spesiell relativitet, ifølge hvilken ingen informasjon kan spre seg raskere enn lysets hastighet i et vakuum. Dette får Einstein fra 1907 til å tenke på en gravitasjonsteori som er kompatibel med spesiell relativitet. Resultatet av hans søken er teorien om generell relativitet.
På 1500 - tallet sa Galileo (inkludert argumenter om bevegelse av fartøyer) at fysikkens lover er de samme i depoter i oversettelse rettlinjet og ensartet med hverandre. Dette er prinsippet om den galileiske relativiteten .
Den vil også bruke additiviteten til hastigheter, hvorav en konsekvens er at en hvilken som helst hastighet kan nås, og det hele er bare et spørsmål om midler. Hvis en ball kjører 10 km / t i et tog (og i kjøreretningen) som i seg selv går 100 km / t over bakken, så går kulen 110 km / t over bakken.
I hans mekanikere , Isaac Newton forutsettes at likene ble utstyrt med absolutt fart, med andre ord at de var enten "virkelig" i ro eller "virkelig" i bevegelse. Han la også merke til at disse absolutte hastighetene ikke var målbare annet enn i forhold til hastighetene til andre kropper (på samme måte var kroppens posisjon bare målbar i forhold til en kropps osv.). Derfor måtte alle lovene i Newtonian mekanikk operere identisk uansett hva kroppen vurderte og uansett hvilken bevegelse den hadde.
Newton mente imidlertid at hans teori ikke kunne være meningsfylt uten at det eksisterte en absolutt fast referanseramme der hastigheten til ethvert legeme kunne måles, selv om den ikke kunne oppdages.
Det er faktisk mulig i praksis å bygge en newtonsk mekanikk uten denne hypotesen: den resulterende teorien (også kalt galilensk relativitet ) har ingen spesiell operasjonsinteresse og bør ikke forveksles med relativiteten til Einstein, innebærer mer konsistens av lysets hastighet i alle arkiver og i mindre Galileos hypotese om at de relative hastighetene er lagt til (disse to postulatene er gjensidig uforenlig effekt).
I XIX th århundre, den skotske legen James Clerk Maxwell utformet et sett av likninger, er likninger av det elektromagnetiske felt , som fører til forutsi den elektromagnetiske bølgeforplantningshastigheten i en elektrostatisk miljø med konstant og magneto konstant . Denne fenomenalt høye hastigheten, selv i et sjeldent medium som luft, hadde samme verdi som lysets forplantningshastighet. Han foreslo at lys ikke skulle være noe annet enn en elektromagnetisk bølge.
Korpuskulære teorier om lys virket kompatible med Galileos relativitetsprinsipp så vel som Maxwells teori som favoriserte eksistensen av en lysende eter som Huygens hadde tenkt seg . Måling av solsystemets hastighet i forhold til dette elastiske mediet var gjenstand for interferometrieksperimenter utført av Michelson og Morley . Eksperimentene deres viste at den tilsynelatende etervinden var null, uavhengig av årstid. Å anta at eteren hele tiden var festet til jorden, ville ha vært et for alvorlig spørsmål om Galileos relativitetsprinsipp . På den annen side hadde eteren ulempen med å være både immateriell og veldig stiv siden den var i stand til å forplante bølger i en fenomenal hastighet.
Det var ikke før Albert Einstein i 1905 radikalt satte spørsmålstegn ved forestillingen om eter, å ta Galileos relativitetsprinsipp til det høyeste nivået ved å postulere at Maxwells ligninger selv adlyder dette prinsippet, og å trekke de revolusjonerende konsekvensene av det i en artikkel som har blitt værende berømt: På elektrodynamikken til bevegelige kropper .
Dette er fødselen av spesiell relativitet :
Ved å skrive uttrykket for den kinetiske energien til en massekropp på den enkleste måten med respekt for relativitetsprinsippet, avslørte Einstein en energi i hvile: E (0) = m (0) .c 2 som deretter vil bli målt i fenomenene kjernefusjon og fisjon (men som også manifesterer seg i kjemiske reaksjoner så vel som i enhver energiutveksling, selv om den ennå ikke er direkte detekterbar).
Den spesielle relativitetsteorien ( 1905 ) modifiserte ligningene som ble brukt for å sammenligne målinger av lengde og varighet i forskjellige referanserammer som beveger seg i forhold til hverandre. Som et resultat kunne ikke fysikk lenger behandle tid og rom hver for seg, men bare som et firedimensjonalt rom, kalt Minkowskis romtid .
Faktisk, under bevegelser med ikke-ubetydelige hastigheter foran (lyshastighet i vakuum), blir tid og rom endret på en sammenkoblet måte, litt som to koordinater til et punkt i analytisk geometri endres på en sammenkoblet måte. aksene til referansen roteres.
For eksempel, i vanlig euklidisk geometri, avstanden mellom to koordinatpunkter og verifiserer (med osv.), Men i Minkowski-rommet er to punkter markert med koordinatene og , hvor og er tidskoordinatene, og "avstanden" som deretter er notert mellom disse punktene tilfredsstiller: . Denne beregningen gir null "avstand" mellom to punkter på banen til en lysstråle. Det gir også alle målingene av materiallengder, tidsintervaller, hastigheter i spesiell relativitet , som alltid vekker forbauselse.
Siden Minkowskis romtid likevel har null krumning (det vil si flat), kalles den et pseudo-euklidisk rom .
Slik skulle det være for Einstein, rom uten gravitasjon (og uten akselerasjon for observatøren). Newtonsk gravitasjon, som fortplantes øyeblikkelig, er ikke kompatibel med eksistensen av en begrensende hastighet: Einstein satte seg derfor på jakt etter en ny teori om gravitasjon .
Han innrømmet likheten mellom gravitasjons masse og treghetsmassen som en forutsetning, den kjente formel deretter autoriserer til å bruke den totale energien i et legeme i stedet for sin masse. Dette vil bli gjort ved hjelp av matematiske verktøy kalt energi tensor .
En ekspert på tankeeksperimenter , han forestilte seg en spinnende plate. Siden Huygens vet vi at dette innebærer at det er en sentrifugalkraft på omkretsnivået, oppfattet som en gravitasjonskraft (fordi gravitasjonsmassen og den inerte massen er like ved antagelse). Videre, ved å ønske å holde seg innenfor rammen av spesiell relativitet, konkluderer han at en observatør på omkretsen og forent med platen merker en økning i omkretsen av platen, men ikke i dens radius (sammentrekning av tiltaket parallelt med bevegelsen, men ikke det som er vinkelrett): dette er ikke mulig i et flatt rom. Konklusjon: gravitasjon forplikter å bruke en ikke-euklidisk geometri .
Einstein så for seg en eksperimentator låst i en ugjennomsiktig heis, som gjennomgikk en konstant akselerasjonsøkning: Einsteins heis der det er umulig for en person å vite om det er konstant akselerasjon eller konstant tyngdekraft (fordi tyngdekraftmassen og inert masse er like ved antagelse). Konklusjon: lokal ekvivalens mellom akselerert bevegelse og gravitasjon, som var å finne i differensiallikningene i den nye teorien. Dette er dets likhetsprinsipp .
Til slutt ønsket Einstein å finne et uttrykk for naturlovene (på det tidspunktet: dynamikk, gravitasjon og elektromagnetisme) som er uendret uavhengig av referanserammen (akselerert eller galileisk, etc.): det er den galileiske relativiteten generalisert til alle referanser (dette kalles kovariansen ).
Den store vanskeligheten med å sette disse prinsippene i matematisk form, han diskuterte dem med David Hilbert, som til å begynne med tvilsomt nesten stjal showet fra ham ved å finne teorien samtidig som han (se: Kontrovers om forfatterskapet til relativitet ) .
Den generelle relativitetsteorien la til den spesielle relativiteten at tilstedeværelsen av materie lokalt kunne deformere romtiden selv (og ikke bare banene), slik at såkalte baner geodetiske - det vil si intuitivt av minimumslengde - gjennom romtid har egenskaper av krumning i rom og tid. Beregningen av "avstanden" i denne buede romtiden er mer komplisert enn i spesiell relativitet, faktisk er formelen for "avstanden" skapt av krumningsformelen, og omvendt.
Geodetikken er banene som verifiserer prinsippet om minste handling , etterfulgt av testpartiklene (dvs. hvis innflytelse på gravitasjonsfeltet der de beveger seg er ubetydelig, noe som for eksempel er ' kunstig satellitt rundt jorden eller et foton som passerer ved siden av solen, men ikke en stjerne som kretser rundt en annen i et raskt oscillerende binært system ), så de er av stor praktisk betydning for intuitiv forståelse av et buet rom.
Lyset følger geodesikken (romtidslinjer) som deformeres i utkanten av en massiv kropp av tyngdekraftseffekten. Følgelig, og i motsetning til newtonske prognoser, kan lysets bane bøyes sterkt i nærvær av en massiv kropp (for eksempel en spesielt massiv planet). To stråler som kommer fra samme kropp tilstede på den ene siden av en massiv stjerne, og rettet i forskjellige retninger, kan møtes på motsatt side av stjernen og skape et delt bilde, en slags mirage av gravitasjonell opprinnelse.
Slike fenomener har blitt observert i mange år og kan brukes til å oppdage mørk materie i universet .
Svart hullEtter oppdagelsen av Schwarzschild-metrikken (1916), viste det seg i ligningene at for enhver sfærisk masse er det en avstand til sentrum ( Schwarzschild-radiusen ) der spesielle fenomener oppstår, hvis massen er lavere stråle: for en observatør litt fjernt ser kroppene som nærmer seg denne strålen ut å være immobilisert, klokkene deres stopper og dette for evig tid; dessuten, bortsett fra gravitasjonsfenomenene, synes ingen informasjon å være i stand til å komme fra denne sentrale massen, ikke engang lyset, og selve den sentrale massen kan bare påvises av dens gravitasjonseffekter.
Imidlertid opptrådte denne Schwarzschild-strålen først bare som en mulig topologisk singularitet av romtid , en absurditet som markerte en teori, som ikke tilfredsstilte Einstein. Mellom 1938 ( Georges Lemaître ) og 1939 ( Robert Oppenheimer ) blir hypotesen lagt frem at det var et realistisk fenomen, kalt gravitasjonskollaps . På 1960-tallet ble naturen til dette fenomenet avklart: det ble forstått at Schwarzschild-radiusen ikke er en singularitet av romtid, men bare en singularitet av beregningen som ble brukt på grunn av romets krumning mens beregningen er konstruert som om rommet var flatt. Fenomenene beskrevet av Schwarzschild-beregningen er fortsatt gyldige for den fjerne observatøren, Kruskal-Szekeres-metrikken (1960) gjorde det mulig å forstå hvordan passasjen til Schwarzschild-strålen er laget for den reisende.
Siden da har forskjellige typer sorte hull blitt identifisert (med eller uten ladning eller vinkelmoment ), deres dynamikk har blitt studert i detalj, hypotesen om fordampning har blitt nøyaktig formulert, og forestillingen, veldig hypotetisk, om hullorm har vært avansert. Den observasjon og påvisning av svarte hull er fremdeles gjenstand for intenst arbeid, men mange sorte hull ( fremragende , mellomliggende og det super ) som er oppdaget utover rimelig tvil. I 2019 ble det første virkelige bildet av et svart hull publisert.
GravitasjonsbølgerOppdagelsen av gravitasjonsbølger, som sendes ut av (store) masser i akselerert bevegelse, er gjenstand for intens internasjonal forskning, men den lille energien som er involvert, gjør dem vanskelig å oppfatte. De første påvisningene var indirekte: i 1974 ble et energitap observert i en binær pulsar ( PSR 1913 + 16 ) og ble tolket som på grunn av utslipp av gravitasjonsbølger; senere bekreftet mange mer presise observasjoner bare den teoretiske modellen; en mer detaljert redegjørelse for disse observasjonene finnes i den tilsvarende delen av Binary Pulsar- artikkelen .
De 14. september 2015, Oppdaget LIGO- forskere gravitasjonsbølger av GW150914- hendelsen : sammenfallet av to sorte hull . Det ble kunngjort den11. februar 2016på en National Science Foundation- konferanse i Washington. Resultatet ble publisert samme dag i tidsskriftet Physical Review Letters . Det ville også være "det første direkte beviset på eksistensen av sorte hull" , bekrefter Thibault Damour , fransk teoretisk fysiker.
Den kvantefysikken gjør det mulig å oppstille hypoteser at denne bølge har en assosiert partikkel ansvarlig for vekselvirkningen: den graviton , av massen null fordi beveger seg med lysets hastighet i vakuum.
Matematiske detaljerMed tanke på en lav gravitasjonsfelt, det metriske avviker lite fra metrisk av Minkowski plass : . Med litenhetstilstanden til og legge til en målerbetingelse, kan Ricci-tensoren ta den enkle formen , hvor er d'Alembertian .
I vakuum skrives Einsteins ligning , som er en bølgeligning . Den tyngdekraft kan derfor, under slike omstendigheter, ansees som en bølge.
Vi kan også betrakte gravitasjon som en bølgeforstyrrelse i forhold til en hvilken som helst uforstyrret metrisk , det vil si i en buet og stasjonær romtid, og vi kan også vurdere gravitasjonsbølger med sterk intensitet , og studere den energiske strålingen til disse bølgene (ved å bruke den energi momentum tensor ).
Universum ModellerAntagelsen om homogenitet og isotropi, som utgjør det kosmologiske prinsippet og som er i samsvar med observasjoner i stor skala, innebærer at man kan velge en universell tid slik at metrikken til rommet er jevn til enhver tid, for alle punkter og i alle retninger, noe som er kompatibelt med Big Bang- teorien som for tiden hersker.
Fra Einsteins ligninger er flere modeller av universet mulig. I 1915 oppfattet Einstein universet som stillestående , noe kosmologiske observasjoner har motsagt. Senere foreslo Alexandre Friedmann og Georges Lemaître ikke-stasjonære modeller: Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-metriske viser at tre homogene og isotrope modeller av universet er mulige, avhengig av verdien av en parameter i metrikken: flat plass (i gjennomsnitt) , med positiv krumning (såkalt lukket univers : av endelig volum), eller med negativ krumning (sagt åpent univers : av uendelig volum). Andre , mer eksotiske , kosmologiske modeller er kompatible med ligningene til generell relativitet. For eksempel: Universet de Sitter tilsvarer i fysikk et homogent univers, isotrop, tomt for materie og har en positiv kosmologisk konstant ; den mixmaster universet som er et univers tømmes av materie, homogen, men anisotropisk, hvis hastighet av ekspansjons forskjellig i de tre retninger i rommet; den universet av Gödel som ikke respekterer prinsippet om kausalitet .
Romlig test av ekvivalensprinsippetMicroscope mikro-satellitt , som veier 300 kg, ble lansert iapril 2016, bærer to masser i platina og titan som oppnådde tilsvarer et fall på 85 millioner km. Oppdraget, planlagt til slutten av 2018, bekrefter inovember 2017gyldigheten av ekvivalensprinsippet .
Oppførsel av tette gjenstander i fritt fallI 2018 ble observasjonen av banen til en pulsar og en hvit dverg , med svært forskjellige tettheter, og kretser rundt en tredje hvit dverg i 4200 lysår fra jorden. den relative forskjellen mellom akselerasjonene gjennomgått av de to kroppene er målt mindre enn , noe som er i samsvar med generell relativitet som forutsier, som tidligere teorier, at akselerasjonen gjennomgått av et objekt ikke avhenger av dens tetthet.
Bevegelsen av en testmasse (veldig liten) som bare utsettes for gravitasjonen av de omkringliggende massene, er faktisk en treghetsbevegelse i en romtid som er buet av disse massene (den observerte krumningen avhenger også av observatørens referanseramme ). Den univers linje trukket i denne buede rom-tid er en geodetisk til metriske adlyde Einsteins ikke-lineære ligninger som forbinder krumning av rom-tid (sett fra den valgte referanserammen) og tilstedeværelsen av massene.
Den sentrale relativitetstanken er at vi ikke kan snakke om størrelser som hastighet eller akselerasjon uten å ha valgt en referanseramme, en referanseramme . Enhver bevegelse, enhver hendelse blir deretter beskrevet i forhold til denne observatørens referanseramme .
Spesiell relativitetsteori postulerer at denne referanserammen må være treghet og kan utvides på ubestemt tid i rom og tid.
For ikke å favorisere noen type referanseramme, særlig når det gjelder å skrive naturlovene ( generelt kovariansprinsipp ), behandler generell relativitet også ikke-inertielle referanserammer, det vil si der et legeme uten noen begrensning følger ikke en rettlinjet og ensartet bevegelse . Derfor er ethvert koordinatsystem på forhånd tillatt, og generelt blir dets grenser avslørt ved bruk.
I klassisk fysikk er et eksempel på en ikke-treghets referanseramme den til et kjøretøy der en er plassert og som følger en bøyning: sentrifugalkraften man føler, hindrer kroppens treghetsbevegelse i forhold til kjøretøyet. Et annet eksempel er referanserammen knyttet til jorden, som på grunn av jordens rotasjon ser Coriolis-kraften manifestere, godt fremhevet av Foucault-pendelen . En sentrifugalkraft sies å være fiktiv fordi den bare er en manifestasjon av treghet (Newtons første prinsipp), og ikke på grunn av anvendelse av en styrke .
Generell relativitet er det akseptert at vi bare kan definere en referanseramme lokalt og over en begrenset periode. Denne begrensningen er en nødvendighet fordi den er nødvendig i flere tilfeller:
Fordi det aldri har vært mulig å demonstrere noen forskjell mellom massen av treghet (motstand av en kroppsakselerasjon) og den tunge massen (som bestemmer vekten i et tyngdefelt) postulerer prinsippet om ekvivalens i generell relativitet at det ikke er behov for å lokalt skille en bevegelse med fritt fall i et konstant gravitasjonsfelt , fra en jevnt akselerert bevegelse i fravær av et gravitasjonsfelt: gravitasjon tilsvarer (lokalt) valget av en akselerert referanseramme for observatøren ( konstant eller variabel akselerasjon ) med respekt for en treghetsreferanseramme ; det er derfor lokalt bare en relativistisk effekt.
Dette resultatet er bare lokalt , det vil si gyldig for et begrenset, "lite" område. I et større volum og med følsomme akselerometre vil vi tvert imot skille veldig tydelig et tyngdefelt (samtidige krefter), en enkel akselerasjon (parallelle krefter) og en sentrifugaleffekt (divergerende krefter). Men i et kvasi-punktlig volum kan ikke noe mål gjøre skillet.
Denne ekvivalensen brukes innenfor rammen av opplæringen av astronautene : de klatrer i fly som utfører en parabolflyging , og simulerer dermed litt mer enn femten sekunder "det frie fall" av en kropp som kretser (men for sistnevnte kan det frie fallet vare på ubestemt tid, siden banen er en løkke).
Eksistensen av en treghetsreferanseramme på hvert punktVed hvert punkt av romtid er det en lokalt inertial referanseramme: en ramme i fritt fall (i gravitasjonsfeltet, hvis det er en) der alle kroppene faller samtidig til referanserammen, slik at de ikke ser ut til å gjennomgå gravitasjon med hensyn til denne referanserammen. Etter hypotese beskriver en slik referanseramme et Minkowski-rom , lokalt. Valget av en referanseramme eliminerer således effekten av gravitasjon, ellers skaper den dem; men disse effektene er bare lokale.
Tyngdekraft bestemmes av beregningenVed hvert punkt i romtid kan gravitasjon beskrives som valget for observatøren av en ikke-inertial referanseramme i et plan rom. Den metrisk i denne referanserammen er verdien i en treghetsreferanserammen ved det samme punkt, men uttrykt ved koordinatene for den ikke-treghetsreferanserammen (som kan gi omstendelige formler). Koeffisientene til dette uttrykket kvantifiserer forskjellen mellom en inertial referanseramme og observatørens referanseramme: de inneholder all informasjon som er nødvendig for å bevege seg fra en referanseramme til en annen, så tyngdekraften avhenger bare av beregningen til referanserammen av observatøren.
Den riktige tiden for inertial referanseramme (Minkowskien) gir sin beregning og verifiserer , hvor er koordinatene i observatørens referanseramme og koordinatene i en inertial referanseramme på samme punkt. Ved å stille , med Einsteins konvensjon , kan vi skrive .
GeodesikkPrinsippet om ekvivalens som tillater å bekrefte at gravitasjonsfeltet lokalt tilsvarer et valg av referanseramme, og at man kan avbryte (alltid lokalt og øyeblikkelig) virkningene av gravitasjon ved å velge en inertial referanseramme . Geodetikken etterfulgt av en kropp er spesielt enkel i denne teorien: det er kurven som følges av denne kroppen når den beveger seg på den rette linjen til en slik inertial referanseramme, men sett fra observatørens referanseramme . Generelt, i hvert bevegelsesøyeblikk, må den lokale treghetsreferanserammen omdefineres, og derfor er geodesikken også kompleksiteten: geodesikken er løsninger av differensiallikninger definert i observatørens referanseramme.
Som i tilfelle av et flatt rom der observatørens referanseramme roterer rundt en akse, i forhold til en inertial referanseramme, oppfatter observatøren som buet de ensartede rettlinjede bevegelsene til den inertiale referanserammen.
Det er nødvendig å være forsiktig med det faktum at når som helst en ny treghetsreferanseramme kan brukes, og at det er sjelden at en enkelt følger den bevegelige kroppen i observatørens ramme: dette er bare oppstått for situasjoner rent akademisk. Selv i et slikt tilfelle skal det ikke antas at hvis to mobiltelefoner følger den samme rette linjen i en inertial referanseramme, vil de synes å følge hverandre i en ikke-inertial referanseramme: hvis observatørens referanseramme er ikke treghet, to organer med forskjellige starthastigheter beveger seg på forskjellige geodesikk.
KovariantderivatKovariantderivatet er derivatet langs geodesikken, betraktet som tangenter til banen, vi forstår at her er det uavhengig av observatørens referanseramme, og at beregningene er litt arbeidskrevende fordi de inkluderer en endring av referanseramme for bevegelse fra observatørens til en treghetsreferanseramme, forskjellig i hvert øyeblikk fordi en referanseramme bare er lokalt og midlertidig treghet. Kovariantderivatet til en kvadrivektor er derivatet langs geodesikken som forbinder to påfølgende (og uendelig tette) posisjoner av denne vektoren.
Den kovariante derivat av en quad-vektor i et hvilket som helst referanseramme er kjent , der er den naturlig tidspunkt relatert til den quad-vektoren. Den prinsippet om korrespondanse består da i betraktning at der det er en likestilling av den typen , i klassisk fysikk , eller i spesielle relativitets , vi kan skrive i generell relativitet, forutsatt at den høyre side av likestilling har også tilsvarende i denne teori. Dette er mulig fordi det til syvende og sist er det samme som uttrykkes på forskjellige måter: avledninger langs rettlinjede akser av treghetsreferanserammer.
I tilfelle der, sammenlignet med den inertiale referanserammen, kvadrivektoren er konstant under riktig tid ( treghetsbevegelse ), har vi det .
DynamiskAnta at i en hvilken som helst referanseramme utøves en relativistisk kraft, i form av en kvadrivektor , på det observerte legemet. Ved endring av referanseramme, kan man vurdere denne kraften i en lokal referanseramme for treghet med en kvadri-vektor .
Fra det grunnleggende prinsippet om dynamikk , i klassisk fysikk, tegner vi av prinsippet om korrespondanse i spesiell relativitet, og til slutt ligningen av relativistisk dynamikk i nærvær av et gravitasjonsfelt.
Einsteins ligning er det matematiske uttrykket for generell relativitet og mer generelt av all tyngdekraftsfysikk . Dette er en grunnleggende formel, som ikke kan avledes fra en underliggende teori.
Dens generelle form betyr:
Denne ligningen uttrykker og konsentrerer hovedideene til Einstein som regulerer generell relativitet: prinsippet om ekvivalens fører oss til å bekrefte at gravitasjon ikke er en reell kraft . Hvis det ikke er noen kraft til å avbøye eller akselerere banen til objekter, er det fordi det er selve romtiden som er deformert og gravitasjonsteorien må manifestere seg i form av en krumning. Av romtid. Objektene følger geodesikk , som kan betraktes som ekvivalent med rette linjer for denne buede romtiden. Bruken av tensoren formalisme som gjør ekspresjon av denne lov uavhengig av rammer av referanse og derfor i samsvar med prinsippet om relativitets .
Denne ligningen er lokal: den indikerer måten romtid kurver på et punkt i romtid som en funksjon av tettheten av materien deri, og omvendt arrangementet eller utviklingen av materien på et punkt som en funksjon av krumningen på punktet. Romtid virker på materie, som selv handler på romtid. Denne tilbakemeldingen resulterer i en ikke-linearitet av Einsteins ligninger, som derfor er ekstremt vanskelig å løse nøyaktig. Ligningens lokale karakter har den konsekvensen at det ifølge generell relativitet ikke er noen øyeblikkelig handling på avstand: materie lokalt kurver rom-tid, noe som forstyrrer rom-tid litt lenger og så videre. Gravitasjonsforstyrrelser forplanter seg således med lysets hastighet .
Denne ligningen resulterer i et komplekst sett med differensiallikninger av en metrisk tensor . Likevel forblir uttrykket for denne ligningen kortfattet og elegant, og anses av mange fysikere å være en av de viktigste og vakreste formlene i fysikken.
Dens løsninger, som er rom-tid- beregninger , gjør det mulig å definere kosmologiske modeller som formaliserer den store evolusjonen i universet, å modellere egenskapene til astronomiske objekter som sorte hull , eller å forutsi eksistensen av gravitasjonsbølger . Den inkorporerer naturlig nok Newtons universelle tyngdelov som en tilnærming når det gjelder et svakt gravitasjonsfelt.
Mer presist, Einsteins ligning uttrykkes i følgende globale form:
med hvem er Einstein-tensoren som representerer krumning av romtid på et punkt, og som er energimomentstensoren som representerer bidraget til all materie (og energi) til energitettheten på dette punktet av gravitasjonsfeltet. Men denne tensoren tar ikke hensyn til energien som muligens er tilstede i selve gravitasjonsfeltet.
er en enkel dimensjonal faktor, som gjør det mulig å uttrykke ligningen i de vanlige enhetene og å gjøre ligningen tilsvare den fysiske virkeligheten og den observerte verdien av gravitasjonskonstanten .
Den mest naturlige måten å representere krumning med en tensor, ville være å bruke en Riemann-tensor , som er den vanligste måten å uttrykke krumningen til Riemann-manifoldene , idet romtid perfekt representeres av en pseudo-manifold . Men denne tensoren er av orden 4 (med 4 indekser), mens energimomentstensoren er av orden 2: 2 indekser er faktisk tilstrekkelig til å beskrive alle de dynamiske egenskapene til energi og materie, og for å konstruere en 4. ordens energimomentstensor ville ikke ha noen fysisk betydning.
Det er derfor nødvendig å konstruere en spesiell tensor som representerer krumningen, med en fysisk betydning og som kan identifiseres med energimomentstensoren. Dette er alt arbeidet Einstein gjør mellom 1913 og 1915 for å komme opp med Einstein-tensoren , og den nøyaktige formuleringen av Einsteins ligning.
Energi-impuls tensorEnergimomentstensoren representerer bidraget til all materie (og alle ikke-gravitasjonsfelt ) til energitettheten på et punkt.
Energimomentstensoren har et nullkovariantderivat , og et kovariantderivat er et "derivat langs geodesikk", dette betyr at et objekt som følger en geodesik, sparer energien.
Imidlertid reflekterer nullkovariantderivatet av energimomentstensoren ikke bevaringen av kroppens energimoment i nærvær av gravitasjon, heller ikke "bevaringen av noe", som forstås ved å merke seg at i en referanseramme ikke- treghet kan et legeme som i utgangspunktet er i ro, skaffe seg hastighet uten å endre masse , noe som tilsvarer anskaffelse av kinetisk energi : loven om bevaring av energien til et legeme forblir gyldig bare i treghets referanserammer .
Denne tensoren tar ikke hensyn til energien som muligens er tilstede i selve gravitasjonsfeltet, når sistnevnte er dynamisk (tilstedeværelse av gravitasjonsbølger for eksempel), representerer ikke dette uttrykket den globale energibesparelsen. Bevaring av energi i nærvær av et dynamisk gravitasjonsfelt er et delikat emne og ennå ikke helt løst i generell relativitet.
Einsteins tensorEinstein-tensoren er derfor en tensor som i Einsteins ligning representerer krumningen og har en fysisk betydning, det vil si ordre 2, symmetrisk, og som har et nullkovariantderivat, og som gjør det mulig å finne Newtons gravitasjonslov som en tilnærming med svake gravitasjonsfelt og hastigheter i spill mye lavere enn lysets.
Det er en måte å bygge en tensor av orden 2 fra en tensor av orden 4: utfør en sammentrekning av tensoren i henhold til to indekser. En slik sammentrekning av Riemann-tensoren gir en tensor kjent som Ricci-tensoren , bemerket .
For å bygge en fysisk ligning har Ricci-tensoren en interessant egenskap: den gjør det mulig å finne akselerasjonen fra hviletilstanden til en kule med partikler som omgir en punktmasse. I Newtons mekanikk beregnes den samme akselerasjonen fra Poisson-ligningen , som gravitasjonspotensialet og massetettheten. Ricci-tensoren og venstre sikt i Poisson-ligningen som begge har andre derivater av metriske og har samme fysiske betydning, ville det være naturlig å stille:
å være tensoren som representerer massetettheten, og denne ligningen ble faktisk foreslått i 1913 av Einstein. Denne tensoren er virkelig av orden 2 og symmetrisk, men det viser seg at dens kovariante derivat ikke er null. Ved å bruke Bianchi-identiteter på Riemann-tensoren, finner vi faktisk at det er tensoren som har et nullkovariantderivat. Einstein visste ikke identiteten til Bianchi, og finner Einsteins tensor, etter to år med intens innsats, hjulpet av matematikeren Marcel Grossmann :
er den skalære krumningen , som i seg selv er en sammentrekning av Ricci-tensoren, og er den metriske tensoren , løsningen på Einsteins ligninger. Hvis Riemann-tensoren gir krumningen til et manifold på et punkt, langs et plan definert av et par vektorer, representerer Ricci-tensoren gjennomsnittet av krumningene langs alle planene som inneholder en gitt vektor, mens tensoren til Einstein representerer gjennomsnittet av krumningene i henhold til alle planene som er ortogonale med denne vektoren.
Det er vist at Einsteins tensor er den eneste tensoren som kan konstrueres matematisk som har alle de ønskede egenskapene: rekkefølge 2, som har andre derivater av metriske, med null kovariantderivat og som forsvinner i flatt rom (slik at du kan finne Newton)
David Hilbert begrunnet også denne ligningen med prinsippet om minst handling så tidlig som i 1915.
Komplett uttrykk for Einsteins ligningGitt Einsteins tensor, følger den komplette og nøyaktige formuleringen av Einsteins ligning direkte:
med , og (i, j) går fra 1 til 4 (for de fire dimensjonene av romtid).
Eksploderte i differensialligninger , denne tensor uttrykk gir ti lineære partielle differensialligninger . Av disse ti ligningene avhenger fire av valget av referanserammen, som etterlater seks ligninger å løse for å bestemme beregningen.
Kosmologisk konstantDet er viktig å merke seg at tilsetning av en "konstant" til Einsteins tensor ikke endrer dens fysiske egenskaper: dets kovariante derivat forblir null og Newtons lover er alltid funnet på grensene. Feltligningen kan derfor inneholde en "tilleggs" -parameter kalt den kosmologiske konstanten som opprinnelig ble introdusert av Einstein, slik at et statisk univers (dvs. et univers som hverken utvider seg , hverken i sammentrekning) er løsningen på ligningen.
Einsteins ligninger skrives da:
Denne innsatsen endte med å mislykkes av to grunner: sett fra et teoretisk synspunkt er det statiske universet beskrevet av denne teorien ustabilt; og dessuten viste observasjonene til astronomen Edwin Hubble ti år senere at universet faktisk utvidet seg. Så ble forlatt, men nylig har astronomiske teknikker vist at en ikke-null verdi av denne parameteren kan forklare visse observasjoner, særlig mørk energi . (Det var astrofysikeren Jim Peebles på 1980-tallet som vil gjeninnføre den kosmologiske konstanten).
Einsteins ligning i vakuum. Weyl tensorDet er mulig å omformulere Einsteins ligninger på en streng ekvivalent måte for å isolere Ricci-tensoren:
I vakuumet der det ikke er energi eller materie . Det blir da tydelig at Einsteins ligning koker ned til:
når den kosmologiske konstanten er null. Et tomt rom hvis Ricci-tensor forsvinner, kalles et "Ricci-flat" rom. Dette betyr ikke at romtid er flat i fravær av materie eller energi : romets krumning er representert av Riemann-tensoren, ikke av Ricci-tensoren.
Det faktum at Ricci-tensoren representerer en gjennomsnittlig krumning, innebærer at rommet i et vakuum (på det punktet der målingen er utført: fravær av energi som bøyer rommet), er gjennomsnittlig flatt (null gjennomsnittlig krumning), men buet i hver retning, på grunn av at nærvær av energier (bevegelige masser) mer eller mindre langt bøyer rommet ved å sette det under spenning, litt som en duk trukket i hjørnene. Videre pålegger universets generelle form krumninger i forskjellige retninger, selv om i vakuum den gjennomsnittlige krumningen forblir null: forskjellige former i universet er mulige, ingen er sikre den dag i dag.
Hvis vi betrakter Ricci-tensoren som kilden til gravitasjonsfeltet, er gravitasjonsfeltet i seg selv representert av Riemann-tensoren, hvorfra vi trekker Ricci-tensoren fra for å forlate bare frihetsgraden som ikke kommer fra selve kilden. Den oppnådde tensor er Weyl tensor , som har de samme egenskaper som Riemann tensor, men som faktisk representerer gravitasjonsfelt : . Det er kanselleringen av denne tensoren som er betingelsen for den konforme planhet i romtid.
Weyl-tensoren representerer tidevannskrefter på grunn av tyngdekraften. En kule med partikler utsatt for Weyl-tensoren, under påvirkning av en masse utenfor kule, gjennomgår en deformasjon som ikke endrer volumet , i motsetning til innflytelsen fra Ricci-tensoren. Den gravitasjonsbølger er beskrevet, i et vakuum, ved tensor Weyl.
Den aktive gravitasjonsmassenTetthetsmomenttensoren fører til å definere massebegrepet i generell relativitet på en litt annen måte sammenlignet med tilfellet med newtonske lover. Ved å ta uttrykket for Einsteins ligning som isolerer Ricci-tensoren :, og ved å identifisere den med den første akselerasjonen, og med Poisson-ligningen, finner vi en ekvivalent aktiv gravitasjonsmasse:
i stedet for i det newtonske tilfellet. Verdiene er verdiene for trykket på de tre ortogonale romaksene, og gravitasjonskonstanten bidrar til den aktive gravitasjonsmassen.
Under normale forhold er bidraget til trykket til den aktive gravitasjonsmassen veldig lite, og den kosmologiske konstanten ubetydelig. Men trykk kan spille en betydelig rolle under ekstreme forhold, spesielt under tyngdekollaps av massive stjerner, der trykket - i stedet for å motsette seg tyngdekollapset som man forventer - øker tendensen til å kollapse ved å øke den aktive tyngdemassen.
Energibesparelse og gravitasjonsfeltenergiDet er fysiske situasjoner der energi kan utveksles mellom gravitasjonssystemer og ikke-gravitasjonssystemer. For eksempel, når en massiv kropp kretser rundt en annen massiv kropp, er det utslipp av gravitasjonsbølger som bærer litt energi fra systemet. Dette tapet er absolutt ubetydelig i klassiske størrelsesordener (for eksempel tilsvarer energien som frigjøres per tidsenhet i form av gravitasjonsbølger av Jupiters bane rundt solen 40 watt). Men under omstendigheter hvor størrelsesorden er veldig høy, som for den binære pulsaren PSR B1913 + 16 , har den transporterte energien viktige og målbare effekter, som også gjør det mulig å validere teorien om generell relativitet.
Teorien om generell relativitetsteori gir ikke en umiddelbar og åpenbar fremstilling av dette fenomenet. Energimomentstensoren gir bare energien til en kropp eller et ikke-gravitasjonsfelt på et punkt, uten å ta i betraktning energien til gravitasjonsfeltet på det punktet. Gravitasjonsbølgenes energi er derfor ikke representert av denne tensoren, og dens nullvarianderivat representerer ikke den globale energibesparelsen. For å representere en bevarende energi fra "gravitasjonskroppsfelt" -systemet, uttrykte Einstein energien i feltet med en " pseudo-tensor (in) " som avbryter et valg av ramme i fritt fall (treghet) på det vurderte punktet : energien til gravitasjonsfeltet eksisterer bare som en funksjon av den valgte referanserammen. Denne "pseudotensoren", hentet fra Ricci-tensoren, uttrykker også autokorrelasjonen av feltet på seg selv, noe som forklarer dets ganske kompliserte formulering. Spesielt uttrykkes energien som sendes ut i form av gravitasjonsbølger ved hjelp av denne "pseudotensoren".
Disse utvekslingene har også blitt studert og modellert av Hermann Bondi og Rainer Sachs for en bestemt type romtid, romtiden asymptotisk flat (in) , som representerer gravitasjonssystemer betraktet som isolert fra resten av universet, som er omtrent sant for systemer som binære pulsarer.
Men forståelsen av den globale energibesparelsen i nærvær av et dynamisk gravitasjonsfelt forblir et delikat emne og ennå ikke fullstendig løst i generell relativitet.
Å ta hensyn til generell relativitet er nødvendig for presisjonen til geolokaliseringen via satellitt .
Generell relativitet gjør det mulig å måle tyngdekraften - og dermed høyde - med en tilstrekkelig presis atomur .
Tilgjengelig på lavere nivå.