Positiv og negativ del av en funksjon

I matematikk , til en hvilken som helst reell funksjon $f$ , kan vi knytte to positive funksjoner , dens positive del $f +$ og dens negative del $f -$ , definert henholdsvis av:

{\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ max (f (x), \, 0) = {\ begin {cases} f (x) & \ mathrm {si} \ f (x)> 0 \\ 0 & \ mathrm {ellers}, \ end {cases}}}

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = - \ min (f (x), \, 0) = {\ begin {cases} -f (x) & \ mathrm {si} \ f (x) <0 \\ 0 & \ mathrm {ellers}. \ End {cases}}}

Til tross for navnet er den “negative delen” derfor positiv.

Intuitivt oppnås grafen, for eksempel for den positive delen, ved å trunke grafen til $f$ når den passerer under x - aksen , det vil si igjen ved å sette 0 på disse punktene og la resten av grafen forbli uendret.

Forholdet til den opprinnelige funksjonen

De positive og negative delene er knyttet til den opprinnelige funksjonen av følgende to forhold:

{\ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-},}

{\ displaystyle | f | = f ^ {+} + f ^ {-}.}

Fra disse to delene kan vi uttrykke de positive og negative delene ved å:

{\ displaystyle f ^ {+} = {\ frac {| f | + f} {2}},}

{\ displaystyle f ^ {-} = {\ frac {| f | -f} {2}}.}

Et annet forhold ved å bruke Iversons parenteser er:

{\ displaystyle f ^ {+} = [f> 0] f,}

{\ displaystyle f ^ {-} = - [f <0] f.}

Nedbrytningen av en hvilken som helst funksjon i to positive funksjoner er nyttig for eksempel i integrasjonsteori .

Positiv del og negativ del av en ekte

Den positive delen $x +$ og den negative delen $x -$ av et reelt tall $x$ er de to positive realene definert av:

{\ displaystyle x ^ {+} = \ max (x, \, 0),}

{\ displaystyle x ^ {-} = - \ min (x, \, 0).}

Vi utleder de samme typer forhold som for funksjonene:

{\ displaystyle x = x ^ {+} - x ^ {-},}

{\ displaystyle | x | = x ^ {+} + x ^ {-},}

i tillegg til :

{\ displaystyle x ^ {+} = {\ frac {| x | + x} {2}},}

{\ displaystyle x ^ {-} = {\ frac {| x | -x} {2}}.}

De positive og negative deler av en funksjon $f$ er derfor bare dets forbindelser av kartene $x \mapsto x +$ og $x \mapsto x -$ hhv.

Eksterne linker

(it) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på italiensk med tittelen “ Parte positiva e parte negativa di una funzione ” ( se forfatterliste ) .

(no) Eric W. Weisstein , “ Positive Part ” , på MathWorld
(no) Eric W. Weisstein , " Negative Part " , på MathWorld

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">