En skillevegg av et sett X er en samling av deler ikke tømmer av X parvis disjunkte og hvis union er X .
La X være et sett . Et sett med deler av X er en partisjon av X hvis:
Settet {1, 2, 3} har følgende partisjoner:
Noter det:
I tilfelle hvor alle elementene i poengsummen har samme kardinalitet, finner vi hyrdenes lemma .
Den tomme partisjonen er en partisjon av det tomme settet (det er dessuten det eneste) siden alle elementene (det er ingen) har alle de ønskelige egenskapene (her: å være ikke-fritt og usammenhengende) og at deres forening er tom ( per definisjon ).
Dersom en ekvivalens forhold er gitt på settet X , da mengden av alle likeverdighet klasser danner en skillevegg av X . Omvendt, hvis en partisjon P av X er gitt, kan vi definere en ekvivalensrelasjon på X betegnet med ~, med x ~ y hvis og bare hvis det eksisterer, blant elementene i P , en del av X som inneholder ved begge x og y . Begrepene ekvivalensrelasjon og partisjon er derfor i utgangspunktet ekvivalente.
Settet med alle partisjoner i et ikke-fritt sett X er delvis ordnet : per definisjon er en partisjon finere enn en annen hvis den deler elementene til den andre i mindre deler. Denne delordren danner et komplett gitter der det minste elementet (den minste fine partisjonen) er den grove partisjonen i en del ( X ) og den største (den tynneste partisjonen) er partisjonen i singletoner .
The Bell nummer , B n , er antallet av partisjoner av et n- elementsett.
Antallet forskjellige partisjoner av et sett med n ikke-skillebare elementer er antall partisjoner av et helt tall .
Antallet av partisjonene i nøyaktig k delmengder er Stirling-nummeret av den andre typen S ( n , k ).