I matematikk , den tomme settet er det settet som inneholder ingen elementer.
Det tomme settet kan betegnes med en krysset O , nemlig ∅ eller bare {}, som er et par bukseseler som bare inneholder ett mellomrom , for å representere et sett som ikke inneholder noe. Ratingen ∅ ble introdusert av André Weil , som en del av institusjonen for rangeringer av Bourbaki-gruppen . Von Neumann i sin artikkel i 1923, som er en av de tidligste referanser til adresser, notater O .
For ethvert sett A :
Den foreningen av en familie av settene er indeksert av ∅ er lik Ø.
Den skjæringspunktet for en familie av settene er indeksert av ∅ er ikke definert uten å referere til et sett som inneholder dem alle . I så fall er det lik sistnevnte.
∅ er endelig ; dens Kardinaliteten er 0: kort (∅) = 0.
∅ innrømmer en unik topologi , som er {∅}. Det er både grov (derfor denne topologisk rom er tilkoblet ) og diskrete (derfor dette rom er kompakte , som alle diskrete endelige plass).
∅ innrømmer en unik stamme , som er {∅} ( grov og diskret ).
To sett er like hvis de inneholder de samme elementene; dette er aksiomet for utvidelse av mengdeteorien . Derfor kan det bare være ett sett som ikke inneholder noen elementer, så bare ett tomt sett.
I noen varianter av mengdeteorien kan vi introdusere “objekter” kalt ur-elementer , som heller ikke har noen elementer og som også kan være elementer av mengder, men som, i motsetning til det tomme settet, ikke er mengder.
Det tomme settet inneholder ingenting , men siden det er et sett, er det ikke noe . Dette er grunnlaget som von Neumann er avhengig av å konstruere heltall og ordener .
{∅} -notasjonen har ikke den samme betydningen som ∅-notasjonen; faktisk har settet som er angitt av ∅ ikke noe element (fordi det er det tomme settet), mens settet som er angitt av {∅} har ett (dette elementet er det tomme settet). Videre definerer von Neumann 0 som being og 1 som {∅}.
Fremkalling ( se ovenfor ) at den tomme settet er en delmengde av et sett A , det vil si for et hvilket som helst element x av ∅, x hører til A , som er formelt skrives: (∀ x ∈ ∅) x ∈ A . Mer generelt er en uttalelse av formen (∀ x ∈ ∅) P ( x ) (en) , som er en forkortelse av ∀ x ( x ∈ ∅ ⇒ P ( x )) alltid sant , f.eks. Falso quodlibet .
Den aksiom fundament fastslår at hver sekvensendene, og derfor eksisterer det slik at, i denne rekkefølge ,.
Det tomme settet er vesentlig i settet teori eller ZFC teori , er dens eksistens sikres ved aksiom av den tomme settet . Dens unike karakter stammer fra aksiomet for ekstensialitet .
Videre kan vi demonstrere ved hjelp av skjemaet for forståelsesaksiomer , at eksistensen av et hvilket som helst sett innebærer aksiomet til det tomme settet, som unngår, når vi formaliserer teorien om sett i logikk av første orden, å appellere til et bestemt aksiom for eksistensen av det tomme settet (se aksiomet for det tomme settet ).
Det sies per definisjon at et sett er bebodd (in) hvis det har minst ett.
Derfor :
et bebodd sett er ikke tomt,Dens gjensidige lyder som følger:
et ikke-tomt sett er bebodd,og kan formuleres:
et sett som ikke er ∅ har minst ett element.Å hevde at det er likeverdig med et bebodd sett er ikke-fritt, krever den utelukkede tredjepart og er derfor ikke gyldig i intuisjonistisk logikk .
Vi har også teoremet:
Det tomme settet kan karakteriseres veldig enkelt som et objekt i kategorien sett . Det er faktisk det eneste objektet som har følgende egenskaper:
For ethvert sett E eksisterer det en og en pil fra ∅ til E.
For denne kategorien betyr pil applikasjon . Mer generelt kalles et objekt som i en kategori har denne egenskapen et første objekt .
Roger Godement , Matematisk analyse I: konvergens, elementære funksjoner , Springer ,2001, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1998) ( lest på nettet ) , s. 9-11
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">