Fallskjermfysikk
Den fallskjerm er en del av utstyret er ment å bremse fallet av en gjenstand eller et menneske på en slik måte at når landing, objektet vil ikke bli ødelagt eller person skadet eller drept. Dette utstyret består av et bredt lerret som reduserer personens fall ved å generere sterk luftmotstand. Fallskjerm er laget av lette materialer som silke eller nylon. For at en fallskjerm skal være effektiv, må terminalhastigheten være i størrelsesorden 30 km / t , som tilsvarer 8 m / s eller til fallet av en andre etappe.
Ultraforenklet modell: hastighet oppnådd under en nedstigning
Ved starten av fallskjermhopperen fra et fly er luftmotstanden i utgangspunktet mindre enn vekten, så fallet akselererer. Fallskjermhopperen er helt i begynnelsen i vektløshet ved 0 g , og akselerasjonen er 1 g nedover. Denne luftmotstanden øker proporsjonalt med kvadratet av fallhastigheten, til den tilsvarer vekten, og hastigheten stabiliseres. Prosessen er illustrert i lenkene.
Akselerasjonen avtar gradvis til den bare er ca. 0,1 g i buet stilling etter omtrent et minutt, rett før fallskjermen åpner. En fallskjermhopper som faller i en horisontal liggende stilling, kalt "buet", møter mer motstand enn å falle i en vertikal profilert posisjon (ca. 300 km / t), og faller derfor saktere ned (ca. 200 km / t), sitt mestermoment. å være større. I veldig spesielle posisjoner er øyeblikkelige fallhastigheter på 450 km / t oppnådd.
Når fallskjermhopperen åpner fallskjermen, strømmer luften inn i kalesjen og pålegger en sterk motstand, til å begynne med større enn vekten: fallet blir bremset i løpet av få sekunder fra ca. 200 km / t til 15 km / t, noe som gir en akselerasjon oppover mellom 3 og 6 g , noe som gir fallskjermhopperen det illusoriske inntrykket av å stige opp. Når farten synker, reduseres også luftmotstanden til å være lik vekten, og farten stabiliserer seg igjen, men til en mye lavere verdi enn uten fallskjerm (ca. 15 km / t). Til sammenligning gir den enda større baldakinskjermen, akkurat som en hangglider, en slik motstand at luftoppstrammingen lar den forbli i suspensjon og til og med klatre.
Denne modellen er imidlertid veldig ufullstendig fordi akselerasjonen ikke er konstant , men " rykket " er konstant. Dette punktet vil bli diskutert i detalj nedenfor.
Fall av en person
Et menneske i oppreist stilling tåler knapt en akselerasjon på mer enn 5 g . Utover det vil fallskjermhopperen være offer for et svart slør . I en vannrett stilling på magen kunne fallskjermhopperen gjennomgå en akselerasjon på 20 g (øyne som kommer ut av stikkontaktene). Maksimal tolerert akselerasjon avhenger av eksponeringstiden. Uansett er enhver akselerasjon over 30g dødelig. I tillegg kan fallskjermhopperen være offer for uhelbredelige følgevirkninger; selv om noen mennesker som har gjennomgått akselerasjoner på 18 g har kommet seg helt. Det er derfor viktig å designe en fallskjerm som tilstrekkelig bremser personen ned og ikke utsetter dem for vanvittige akselerasjoner. Følgelig er en nesten øyeblikkelig åpning av fallskjermen ikke ønskelig.
Styrker
De to involverte styrkene er:
- Luftmotstanden som er ;R=-12ρSVSxv2{\ displaystyle R = - {1 \ over 2} \ rho SC_ {x} v ^ {2}}
![{\ displaystyle R = - {1 \ over 2} \ rho SC_ {x} v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c673c873a5c323d166a514e864f53304959f285a)
- Vekten: P = mg ;
- ρ er tettheten av luft;
-
S er det effektive området av fallskjermen;
-
C x er en formfaktor som skal bestemmes;
-
v er fallhastigheten;
-
m Er massen til fallskjermhopperen + fallskjermsamlingen.
Vekten er rettet nedover, og friksjonskraften eller luftmotstanden er rettet oppover.
Fallskjermens rolle er å begrense fallskjermhoppens terminalhastighet. Dette gjøres på to måter, og øker master-dreiemomentet S betydelig , og også i mindre grad koeffisienten C x .
Fartsgrense
- Resultatet av kreftene som påføres et objekt under dets fall, telles positivt nedover, er: F = P - R , og
- Akselerasjonen til objektet er: a = F / m .
Når høsten begynner å være lav, er luftmotstanden mye lavere enn vekten, og fallet akselererer.
Når friksjonen øker med hastigheten, balanserer luftmotstanden til slutt vekten, og fallhastigheten har en tendens til å bli en konstant som kalles grensehastigheten (eller terminalhastigheten ).
Terminalhastigheten, definert av γ = 0, derfor P = R , beregnes enkelt:
vt=2mgVSρS{\ displaystyle v _ {\ text {t}} = {\ sqrt {2mg \ over C \ rho S}}}![{\ displaystyle v _ {\ text {t}} = {\ sqrt {2mg \ over C \ rho S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b02765cbefd6fee45b4c899a1df7d8a7729d367)
"Naiv" modell av fallskjermhopperen
Den feilaktige antagelsen antas at fallskjermen åpner øyeblikkelig.
Den dynamiske ligningen skrives derfor:
mdvdt=mg-12ρSVSv2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho SCv ^ {2}}![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho SCv ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15b92dec6126dadd31de07893e9790fef6f425b)
Enten fallhoppens fallhastighet faller når du åpner fallskjermen. Det antas at fallskjermhopperen er i fritt fall.
v0{\ displaystyle v_ {0}}![v_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60faad24775635f4722ccc438093dbbfe05f34ae)
Vi definerer T=vt2g{\ displaystyle T = {v_ {t} \ over 2g}}
K=v0-vtv0+vt{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ over v_ {0} + v_ {t}}}![{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ over v_ {0} + v_ {t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a5adb9604fb7d21df4babe505e8fae2ff78c91)
Loven om hastighet er som følger:
v=1+Ke-tT1-Ke-tTvt{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}![{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1e777966db5ff8a49304267eed0d31f1e6182b)
Løser differensiallikningen
Vi får derfor:
dvdt=g-12ρSVSmv2{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f31b958107f90e8aa382fb88d71b1a4b3fd748)
Derfor,
dvg-12ρSVSmv2=dt{\ displaystyle {dv \ over g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}} = dt}![{\ displaystyle {dv \ over g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}} = dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129badf463da6a3c041b9495d183f07357bfe704)
Derfor,
dv-2gmρSVS+v2=-ρSVS2mdt{\ displaystyle {dv \ over - {2gm \ over \ rho SC} + v ^ {2}} = - {\ rho SC \ over 2m} dt}![{\ displaystyle {dv \ over - {2gm \ over \ rho SC} + v ^ {2}} = - {\ rho SC \ over 2m} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2443c9f4a7d285a19720f3ac2688fa2efa0be0a9)
Husk at terminalhastigheten er:
vt=2gmρSVS{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}![{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c5554b1cde113e7a3143c3e8c80818195ddbb0)
Differensiallikningen som skal løses er derfor:
dvv2-vt2=ρSVS2mdt{\ displaystyle {dv \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {\ rho SC \ over 2m} dt}![{\ displaystyle {dv \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {\ rho SC \ over 2m} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10d8d6555df3e56965c53829de016e58d8de52e)
Man bryter ned i enkle elementer. Vi merker at:
1v2-vt2=12vt(1v-vt-1v+vt){\ displaystyle {1 \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {1 \ over 2v_ {t}} \ venstre ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v + v_ {t}} \ høyre)}![{\ displaystyle {1 \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {1 \ over 2v_ {t}} \ venstre ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v + v_ {t}} \ høyre)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a665aa73296fd474eaedadfbdb306087eb5e617a)
Vi får derfor:
12vt(1v-vt-1v+vt)dv=-gvt2dt{\ displaystyle {1 \ over 2v_ {t}} \ venstre ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v + v_ {t}} \ høyre) dv = - {g \ over v_ { t} ^ {2}} dt}![{\ displaystyle {1 \ over 2v_ {t}} \ venstre ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v + v_ {t}} \ høyre) dv = - {g \ over v_ { t} ^ {2}} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96230b4b3c09c5c7090cd1281c34cf3793015810)
Derfor,
(1v-vt-1v-vt)dv=-2gvtdt{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {2g \ over v_ {t}} dt}![{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {2g \ over v_ {t}} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fe2dabc7bfb9a9a5615dbd33751a6310683be9)
Vi definerer T=vt2g{\ displaystyle T = {v_ {t} \ over 2g}}
Vi løser derfor:
(1v-vt-1v-vt)dv=-dtT{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {dt \ over T}}![{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {dt \ over T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519977ce68d8d8f6ac847b8665f7abd6da0c9a53)
Vi beregner det primitive. Derfor,
Logg(v-vt)-Logg(v+vt)=VSte-tT{\ displaystyle \ log (v-v_ {t}) - \ log (v + v_ {t}) = Cte- {t \ over T}}![{\ displaystyle \ log (v-v_ {t}) - \ log (v + v_ {t}) = Cte- {t \ over T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5441d0218b2c467b928249e81e3063d9a4834fd4)
Derfor,
Logg(v-vtv+vt)=VSte-tT{\ displaystyle \ log \ left ({v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} \ right) = Cte- {t \ over T}}![{\ displaystyle \ log \ left ({v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} \ right) = Cte- {t \ over T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e071665e7d613a37c2d917a6ada31f914448534)
Derfor,
v-vtv+vt=eksp(VSte-tT){\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = \ exp \ left (Cte- {t \ over T} \ right)}![{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = \ exp \ left (Cte- {t \ over T} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0fa288893916abf080a574393e37f0ef09d2ed1)
Derfor,
v-vtv+vt=Ke-tT{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = Ke ^ {- {t \ over T}}}![{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = Ke ^ {- {t \ over T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985d9373366fd4b37da252d7c0a5c18562d71c24)
Derfor,
v-vt=Ke-tT(v+vt){\ displaystyle v-v_ {t} = Ke ^ {- {t \ over T}} (v + v_ {t})}![{\ displaystyle v-v_ {t} = Ke ^ {- {t \ over T}} (v + v_ {t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191f8dd6cdea2cec28fe5ad7948facbe6325b866)
Derfor,
(Ke-tT+1)vt=v(1-Ke-tT){\ displaystyle \ left (Ke ^ {- {t \ over T}} + 1 \ right) v_ {t} = v \ left (1-Ke ^ {- {t \ over T}} \ right)}![{\ displaystyle \ left (Ke ^ {- {t \ over T}} + 1 \ right) v_ {t} = v \ left (1-Ke ^ {- {t \ over T}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae64d74eadbccff9a7f177e55cff38888a6cfb8d)
Derfor,
v=1+Ke-tT1-Ke-tTvt{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}![{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1e777966db5ff8a49304267eed0d31f1e6182b)
Vi antar at ved t = 0, så v = v 0 . Derfor,
v0=1+Ke01-Ke-0vt{\ displaystyle v_ {0} = {1 + Ke ^ {0} \ over 1-Ke ^ {- 0}} v_ {t}}![{\ displaystyle v_ {0} = {1 + Ke ^ {0} \ over 1-Ke ^ {- 0}} v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574a461d1f67f6952cba738f0f226861fdcfa71e)
Derfor,
(1-K)v0=(1+K)vt{\ displaystyle (1-K) v_ {0} = (1 + K) v_ {t}}![{\ displaystyle (1-K) v_ {0} = (1 + K) v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856b19a5cd929496e7d691526187b25158f8fcab)
Derfor,
K=v0-vtv0+vt{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ over v_ {0} + v_ {t}}}![{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ over v_ {0} + v_ {t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a5adb9604fb7d21df4babe505e8fae2ff78c91)
Og så:
v=1+Ke-tT1-Ke-tTvt{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ over T}} \ over 1-Ke ^ {- {t \ over T}}} v_ {t}}
Vi ser det når da som forventet.
t→∞{\ displaystyle t \ to \ infty}
v→vt{\ displaystyle v \ to v_ {t}}![{\ displaystyle v \ to v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a753cbf1e8a419941b7e630e15286b003c4c6ee7)
Vi merker oss at sekunder.
T=5/(2×10)=0,25{\ displaystyle T = 5 / (2 \ ganger 10) = 0,25}![{\ displaystyle T = 5 / (2 \ ganger 10) = 0,25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a172c72b9c0f6a6a3c1ff37e4de8cc989a48d6f)
Husk at terminalhastigheten er:
vt=2gmρSVS{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}![{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c5554b1cde113e7a3143c3e8c80818195ddbb0)
Etter bytte viser vi at den opprinnelige retardasjonen er som følger:
dv0dt=g-gvt2v02{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} = g- {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} = g- {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b26d658d76365df6d4b3bad13e6d79d00aa460)
Vi merker at:
g≪gvt2v02{\ displaystyle g \ ll {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle g \ ll {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e255cb8729fd7b4f905c2e379fc062d78a95c8a2)
Derfor,
dv0dt≈-g(v0vt)2{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} \ approx -g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}![{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} \ approx -g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52be33f24de03d6f751c7c0fe04a3b89f30d4ab)
Denne modellen er åpenbart ugyldig fordi hvis vi antar at og disse 2 verdier er fornuftig, da fallskjermhopperen ville gjennomgå en akselerasjon på 100 g som ville drepe ham sikkert.
vt=8{\ displaystyle v_ {t} = 8}
v0=80{\ displaystyle v_ {0} = 80}![{\ displaystyle v_ {0} = 80}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d82d49bdfe677728e02d8180309036ce4d34be7)
Åpning på endelig tid
Det er kjent at avstanden som ble reist under fallskjermåpningen er uavhengig av de opprinnelige forholdene. Dette var berettiget av fransk.
Så den øyeblikkelige distribusjonsmodellen er ugyldig, og den motsies også av erfaring. Faktisk demonstrerte Knack at åpningstiden var over og at rykk var konstant som vist i figuren motsatt.
I tillegg bekreftet Potvin eksperimentelt Knacks resultater og demonstrerte eksperimentelt at maksimal akselerasjon var i området 5 til 7 g, og at akselerasjonen øker lineært med tiden til full utplassering (for fallskjerms rektangulær form). Disse resultatene er i strid med den naive modellen som er foreslått ovenfor .
Vi kan derfor anta at som en første tilnærming er rykket (som er avledet av akselerasjon med hensyn til tid) konstant. Det ble foreslått av Meade at fallskjermåpningsmodellen skulle deles inn i 3 faser som er:
- Fallskjermhoppers frie fall: hovedmomentet er S 0 hvor den asymptotiske hastigheten er v 0 .
- Fallskjermåpningsfase der hovedmomentet øker (lineært?). Hastigheten v varierer betydelig;
- Terminalfase der fallskjermen er helt åpen og fallhastigheten nærmer seg v t .
Følgende ligninger er basert på Meades modell. Som en første tilnærming kan vi anta at baldakinens radius varierer lineært med tiden. Så for en halvsfærisk fallskjerm vil det effektive området øke kvadratisk som en funksjon av tiden. For en moderne fallskjerm som har en langstrakt sylindrisk form (som vist i figuren motsatt), kan vi vurdere at den effektive seksjonen vil øke lineært som en funksjon av tiden, siden det effektive området ganske enkelt vil være proporsjonalt med sylinderens radius. Dette blir bekreftet som en første tilnærming av studien av Knack som viser en nesten lineær vekst av lastfaktoren som vist i figuren ovenfor.
Den dynamiske ligningen skrives derfor:
mdvdt=mg-12ρS(t)VSv2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho S (t) Cv ^ {2}}![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho S (t) Cv ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba990f4a390099df69f35974db15050a0be67e8)
Vi antar at området varierer lineært og vi skriver
S(t)=S0+σt{\ displaystyle S (t) = S_ {0} + \ sigma t}![{\ displaystyle S (t) = S_ {0} + \ sigma t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f7651f4554b9aaf58c67a588c27aee447b36c1)
La t 0 være varigheten av fallskjermen. Den dynamiske ligningen kan deretter skrives:
dvdt=g(1-(vv0)2)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ venstre (1- \ venstre ({v \ over v_ {0}} \ høyre) ^ {2} \ høyre) -g \ venstre ({v \ over v_ {t }} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ venstre (1- \ venstre ({v \ over v_ {0}} \ høyre) ^ {2} \ høyre) -g \ venstre ({v \ over v_ {t }} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c995cee642c5c1f8044ed3c4ac9038b2cd2404)
Beregning av den dynamiske ligningen for en begrenset åpningstid
mdvdt=mg-12ρVS(S0+σt)v2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma t) v ^ {2}}![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma t) v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea963360d758b6a6f2e50e269e2f84575da1fc7)
Vi antar at ved t = 0 er det likevekt. Derfor,
0=mdvdt(t=0)=mg-12ρVS(S0+σ0)v(t=0)2{\ displaystyle 0 = m {dv \ over dt} (t = 0) = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v (t = 0) ^ {2}}![{\ displaystyle 0 = m {dv \ over dt} (t = 0) = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v (t = 0) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad7bd29b5f4cdd0360cd434f875035e992ba16a)
Vi merker oss . Så vi har:
v0=v(t=0){\ displaystyle v_ {0} = v (t = 0)}![{\ displaystyle v_ {0} = v (t = 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314f6a035a5c277e7b8620c4d907113e2d9559ee)
0=mg-12ρVS(S0+σ0)v02{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ over 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd850a43104018aacec77302a6c6612ef29a9f1)
Derfor,
0=mg-12ρVSS0v02{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ over 2} \ rho CS_ {0} v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ over 2} \ rho CS_ {0} v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81bc48d6da98aa9e04dc5d00578262cacfb5e23)
Derfor,
12ρVSS0=mgv02{\ displaystyle {1 \ over 2} \ rho CS_ {0} = {mg \ over v_ {0} ^ {2}}}![{\ displaystyle {1 \ over 2} \ rho CS_ {0} = {mg \ over v_ {0} ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24e42335841ecb310b6d0490519e44999e8ff7c)
Den dynamiske ligningen blir derfor:
mdvdt=mg-(mgv02+12ρVSσt)v2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- \ left ({mg \ over v_ {0} ^ {2}} + {1 \ over 2} \ rho C \ sigma t \ right) v ^ {2} }![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- \ left ({mg \ over v_ {0} ^ {2}} + {1 \ over 2} \ rho C \ sigma t \ right) v ^ {2} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a763fe3739b00a432039b2f2f5923e4e4d69be)
Derfor,
dvdt=g-(gv02-12ρVSσmt)v2{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- \ left ({g \ over v_ {0} ^ {2}} - {1 \ over 2} {\ rho C \ sigma \ over m} t \ right) v ^ {2}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- \ left ({g \ over v_ {0} ^ {2}} - {1 \ over 2} {\ rho C \ sigma \ over m} t \ right) v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc77eea49fd53ace4b7c14913ff0af8554d7b37f)
Vi har: . Derfor,
σ=S/t0{\ displaystyle \ sigma = S / t_ {0}}![{\ displaystyle \ sigma = S / t_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b19a6ede134d660a1fca9823142f773d3fe78b6)
dvdt=g(1-(vv0)2)-12ρVSSmt0tv2{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) - {1 \ over 2} {\ rho CS \ over mt_ {0}} tv ^ {2}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) - {1 \ over 2} {\ rho CS \ over mt_ {0}} tv ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172aff836a883c34f73c0dc3e0f2c5747a30222e)
Husk at
12ρVSSm=1vtg2{\ displaystyle {1 \ over 2} {\ rho CS \ over m} = {1 \ over v_ {t}} g ^ {2}}![{\ displaystyle {1 \ over 2} {\ rho CS \ over m} = {1 \ over v_ {t}} g ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340dd994e644c33cd47837dc8da89d599cf68e12)
Derfor,
dvdt=g(1-(vv0)2)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ venstre (1- \ venstre ({v \ over v_ {0}} \ høyre) ^ {2} \ høyre) -g \ venstre ({v \ over v_ {t }} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}
Den strenge løsningen av denne såkalte Riccati- differensialligningen innebærer luftige funksjoner som klart er utenfor målet for denne diskusjonen.
Ettersom vi er interessert i oppførselen i begynnelsen av fallskjermåpningen, og vi vil demonstrere at retardasjonen er tålelig, vil vi linjere differensiallikningen og undersøke oppførselen når t er liten.
Vi definerer . Vi definerer
w=v0-v>0{\ displaystyle w = v_ {0} -v> 0}![{\ displaystyle w = v_ {0} -v> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5858604e3b325a1925748ef57ebce27ef67c390)
x=2gv0t{\ displaystyle x = {2g \ over v_ {0}} t}![{\ displaystyle x = {2g \ over v_ {0}} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44af5b3fdb493d0b64c015a7d06e016aaf903895)
Vi kan vise at:
w=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+e-x){\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}
dwdx=gt0(v0vt)2(v02g)2(1-e-x){\ displaystyle {dw \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (1-e ^ {- x})}![{\ displaystyle {dw \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (1-e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8ffeb652677c3299cced4ed7cddc2958371abe)
Derfor,
d2wdx2=gt0(v0vt)2(v02g)2e-x{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ venstre ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} e ^ {- x}}![{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ venstre ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74059b33e4a44d2c5f915c4fe67e41d87f3901fe)
Vi bemerker at for x liten har vi .
e-x≈1{\ displaystyle e ^ {- x} \ ca 1}![{\ displaystyle e ^ {- x} \ ca 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dc86199ea04572f195978f2e8e4a8c6ee56963)
Så for vi får:
x≪1{\ displaystyle x \ ll 1}![{\ displaystyle x \ ll 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735b23270ff44ee7804e7412d368833a63a716fd)
w≈12gt0(v0vt)2(v02g)2x2{\ displaystyle w \ approx {1 \ over 2} {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x ^ {2}}
dwdx≈gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle {dw \ over dx} \ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x}
d2wdx2≈gt0(v0vt)2(v02g)2{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} \ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2 } \ venstre ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2}}
Vi ser at ryggen er praktisk talt konstant for x liten .
Bevis på tilnærmet formel
Derfor,
dvdt=g(1+vv0)(1-vv0)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ venstre (1+ {v \ over v_ {0}} \ høyre) \ venstre (1- {v \ over v_ {0}} \ høyre) -g \ venstre ( {v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ venstre (1+ {v \ over v_ {0}} \ høyre) \ venstre (1- {v \ over v_ {0}} \ høyre) -g \ venstre ( {v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c7fe485a4ba4ff1925ff0a104ec2e08def521b)
Til å begynne med er luftmotstanden mye større enn vekten og man har . Vi kan derfor forenkle ligningen med
v≈v0{\ displaystyle v \ approx v_ {0}}![{\ displaystyle v \ approx v_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b119d268378f77a79d77ed18523e3e40f4e0b44)
dvdt≈g(1+1)(1-vv0)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} \ approx g \ left (1 + 1 \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} \ approx g \ left (1 + 1 \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957cf8c2c7f17ea3dca3b159a18f01b5e349f7bd)
Derfor,
dvdt=2gv0-vv0-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = 2g {v_ {0} -v \ over v_ {0}} - g \ left ({v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = 2g {v_ {0} -v \ over v_ {0}} - g \ left ({v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41d5c95e62541fc4ce255907a4e247f087d4c5c)
Vi stiller w=v0-v{\ displaystyle w = v_ {0} -v}
Derfor,
d(v0-w)dt=2gwv0-g(v0vt)2tt0{\ displaystyle {d (v_ {0} -w) \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ { 2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {d (v_ {0} -w) \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ { 2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d0729182c9da5c6d1cc95dcc7c4993fc448f88)
Det er den første orden, og t er liten (vilkårene for å fjerne 2 th rekkefølge)
Derfor,
-dwdt=2gwv0-g(v0vt)2tt0{\ displaystyle - {dw \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle - {dw \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6053fb4d4eaff7a32ff9f11f2d9a42c6de30e8)
Vi har en lineær ligning med andre medlem.
Løsningen på det homogene systemet er
-dWdt=2gWv0{\ displaystyle - {dW \ over dt} = 2 g {W \ over v_ {0}}}![{\ displaystyle - {dW \ over dt} = 2 g {W \ over v_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa183fd30221c2986af3fe8d854a3a77193d0c4)
Vi får derfor:
dWW=-2gv0dt{\ displaystyle {dW \ over W} = - {2g \ over v_ {0}} dt}![{\ displaystyle {dW \ over W} = - {2g \ over v_ {0}} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b16be5279a5bb3b2e655d25962b1e1683313a8)
Derfor,
Logg(W)=VSte-2gv0t{\ displaystyle \ log (W) = Cte- {2g \ over v_ {0}} t}![{\ displaystyle \ log (W) = Cte- {2g \ over v_ {0}} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77634ffa447010002a7f645707c0cc1212bba7b)
Derfor,
W=eksp(-2gv0t){\ displaystyle W = \ exp \ left (- {2g \ over v_ {0}} t \ right)}![{\ displaystyle W = \ exp \ left (- {2g \ over v_ {0}} t \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774974713191000c31e45139be904a289c14ffee)
Vi varierer nå konstant K og vi definerer:
w=KW{\ displaystyle w = KW}![{\ displaystyle w = KW}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d130afb55389881327922b521842edc0fcdc06)
Vi får da:
-d(KW)dt=2gKWv0-g(v0vt)2tt0{\ displaystyle - {d (KW) \ over dt} = 2g {KW \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle - {d (KW) \ over dt} = 2g {KW \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2410e7c305eb2d9b44adf68cd02419591161abe)
Tilsvarende:
d(KW)dt=-2gKWv0+g(v0vt)2tt0{\ displaystyle {d (KW) \ over dt} = - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {d (KW) \ over dt} = - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c516ffdebd62d97a7f524bb9e7562798656fefd3)
Derfor,
K′W+KW′=-2gKWv0+g(v0vt)2tt0{\ displaystyle K'W + KW '= - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle K'W + KW '= - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c71144b471fe3ec284f44070de745d8788ac0d)
Det er forenkling og derfor:
K′W=g(v0vt)2tt0{\ displaystyle K'W = g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle K'W = g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8b3feabb98745d0e3d43d979e24289a0d0b82a)
Problemet går derfor ned på å beregne et antiderivativ.
K′=g1W(v0vt)2tt0{\ displaystyle K '= g {1 \ over W} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle K '= g {1 \ over W} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc0f010f3050a1354dc704bfdd11f8e41ba6d34)
Derfor,
K′=g1W(v0vt)2tt0{\ displaystyle K '= g {1 \ over W} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle K '= g {1 \ over W} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc0f010f3050a1354dc704bfdd11f8e41ba6d34)
Derfor,
K′=ge2gv0t(v0vt)2tt0{\ displaystyle K '= ge ^ {{2g \ over v_ {0}} t} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0} }}![{\ displaystyle K '= ge ^ {{2g \ over v_ {0}} t} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f576adb8a26c694ce80be4168011ecfdb3e6708a)
Derfor,
K′=gt0(v0vt)2e2gv0tt{\ displaystyle K '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {{2g \ over v_ {0}} t } t}![{\ displaystyle K '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {{2g \ over v_ {0}} t } t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870300e8f39cc10a01992bd5aa7c0c7d34293a20)
Vi definerer
x=2gv0t{\ displaystyle x = {2g \ over v_ {0}} t}![{\ displaystyle x = {2g \ over v_ {0}} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44af5b3fdb493d0b64c015a7d06e016aaf903895)
Derfor,
dKxdxdt=gt0(v0vt)2exxv02g{\ displaystyle {dK \ over x} {dx \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ { x} {xv_ {0} \ over 2 g}}![{\ displaystyle {dK \ over x} {dx \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ { x} {xv_ {0} \ over 2 g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c5b9c2b136e51e85e05b4584f952b1df4506a9)
Derfor,
dKdx2gv0=gt0(v0vt)2exxv02g{\ displaystyle {dK \ over dx} {2g \ over v_ {0}} = {g \ over t_ {0}} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0} \ over 2g}}![{\ displaystyle {dK \ over dx} {2g \ over v_ {0}} = {g \ over t_ {0}} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0} \ over 2g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081b7e58fa85783e04a564560dcb5c58d8d5d29d)
Derfor,
dKdx=gt0(v0vt)2exxv02gv02g{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0 } \ over 2g} {v_ {0} \ over 2g}}![{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0 } \ over 2g} {v_ {0} \ over 2g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f39078d7f5f25c3b93aed15bf4c05dfc285d99)
Derfor,
dKdx=gt0(v0vt)2(v02g)2exx{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} \ venstre ({v_ {0} \ over 2 g} \ høyre) ^ {2} e ^ {x} x}![{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} \ venstre ({v_ {0} \ over 2 g} \ høyre) ^ {2} e ^ {x} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca461afee3697b8f01e69b2db5eae0be278011d)
Den primitive av ∫xex=xex-ex{\ displaystyle \ int xe ^ {x} = xe ^ {x} -e ^ {x}}
Vi får derfor:
K=gt0(v0vt)2(v02g)2(exx-ex)+VSte{\ displaystyle K = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte}![{\ displaystyle K = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71353ccd42187e89e23df17018eb435e8ec43ba)
Derfor,
w=Ke-x=gt0(v0vt)2(v02g)2[(exx-ex)+VSte]e-x{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ over 2g} \ høyre) ^ {2} \ left [(e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte \ høyre] e ^ {- x}}![{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ over 2g} \ høyre) ^ {2} \ left [(e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte \ høyre] e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9bd39386389e862475d8e07c98e1034674ae61)
Derfor,
w=Ke-x=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1)+VSte×e-x{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (x-1) + Cte \ ganger e ^ {- x}}![{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (x-1) + Cte \ ganger e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d18aa5aa8839670d9f93025559325829b5155)
Ved t = 0 har vi x = 0 . Derfor,
0=gt0(v0vt)2(v02g)2(0-1)+VSte×e0{\ displaystyle 0 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (0-1) + Cte \ times e ^ {0}}![{\ displaystyle 0 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (0-1) + Cte \ times e ^ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4b8b71171d91ef05f512889e2e08a9ec531c28)
Derfor,
VSte=+gt0(v0vt)2(v02g)2{\ displaystyle Cte = + {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ høyre) ^ {2}}![{\ displaystyle Cte = + {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ høyre) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5fb3125413808809e6356a5294a816593aa2f1)
Derfor,
w=gt0(v0vt)2(v02g)2(1-x)-gt0(v0vt)2(v02g)2e-x{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (1-x) - {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} e ^ {- x}}![{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (1-x) - {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccb29c4ac13768066cd278d02072cee4a783bd9)
Derfor,
w=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+e-x){\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}![{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca294de5eb88a885287ea0f3ee525aaff0d95fb0)
Derfor,
w′=gt0(v0vt)2(v02g)2(1-e-x){\ displaystyle w '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (1-e ^ {- x})}![{\ displaystyle w '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (1-e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717edf36fd4f639f18358cff4e46027e651bef6d)
Derfor,
w"=gt0(v0vt)2(v02g)2e-x{\ displaystyle w '' = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} e ^ {- x}}![{\ displaystyle w '' = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e99fac7e582f9e0c8bbad11c1b782402430adf)
Vi ser at
ryggen er praktisk talt konstant for x liten .
Vi vil nå beregne et grovt estimat av akselerasjonen når .
w(x)=v0/2{\ displaystyle w (x) = v_ {0} / 2}![{\ displaystyle w (x) = v_ {0} / 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c989c027b64ba69f45af524d62358c9e17d37437)
Vi viser det
x=4t0gvt2v03{\ displaystyle x = {\ sqrt {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ over v_ {0} ^ {3}}}}![{\ displaystyle x = {\ sqrt {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ over v_ {0} ^ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee6793735c82936a8ab5165ef0880733973afec)
Beregning av normalisert tid
Vi anser x liten og vi beregner x slik at vi harw=v0/2{\ displaystyle w = v_ {0} / 2}
Vi løser:
v0/2=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+e-x){\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}![{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685f50f55b06512bd544168bf866342b553190a9)
Vi gjør en begrenset utvikling
v0/2=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+(1-x+x2/2)){\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (x-1 + (1-x + x ^ {2} / 2))}![{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} (x-1 + (1-x + x ^ {2} / 2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e436cf2cba5aee784e67c2d1a6728d1a037ef294)
Derfor,
v0/2=gt0(v0vt)2(v02g)2x2/2{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2 g} \ høyre) ^ {2} x ^ {2} / 2}![{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2 g} \ høyre) ^ {2} x ^ {2} / 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28c3fd666c9e43de5311ef4010e002c50edf634)
Derfor,
v0=gt0(v0vt)2(v02g)2x2{\ displaystyle v_ {0} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ høyre) ^ {2} x ^ {2}}![{\ displaystyle v_ {0} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ høyre) ^ {2} x ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ac413fe601ae7dd454bac40b954f10fab8618c)
Derfor,
x2=v0t0g(vtv0)2(2gv0)2{\ displaystyle x ^ {2} = v_ {0} {t_ {0} \ over g} \ left ({v_ {t} \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ left ({2g \ over v_ {0}} \ right) ^ {2}}![{\ displaystyle x ^ {2} = v_ {0} {t_ {0} \ over g} \ left ({v_ {t} \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ left ({2g \ over v_ {0}} \ right) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9429fdaf41c0a24335e158ea15a3cbc9760b8fd)
Derfor,
x2=v0t0vt24g2gv02v02{\ displaystyle x ^ {2} = {v_ {0} t_ {0} v_ {t} ^ {2} 4g ^ {2} \ over gv_ {0} ^ {2} v_ {0} ^ {2}} }![{\ displaystyle x ^ {2} = {v_ {0} t_ {0} v_ {t} ^ {2} 4g ^ {2} \ over gv_ {0} ^ {2} v_ {0} ^ {2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aabe96f0c69dd5626a0022f912edd2c6b427f6)
Derfor,
x2=4t0gvt2v03{\ displaystyle x ^ {2} = {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ over v_ {0} ^ {3}}}
Vi antar at og . Vi får davt=7{\ displaystyle v_ {t} = 7}
v0=50{\ displaystyle v_ {0} = 50}
t0=5{\ displaystyle t_ {0} = 5}
t≈0,5{\ displaystyle t \ ca. 0,5}
x2=4×5×10×72503{\ displaystyle x ^ {2} = {4 \ ganger 5 \ ganger 10 \ ganger 7 ^ {2} \ over 50 ^ {3}}}![{\ displaystyle x ^ {2} = {4 \ ganger 5 \ ganger 10 \ ganger 7 ^ {2} \ over 50 ^ {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ad632a44ec870fc7e78eaf7ce3c18c20747890)
Derfor x = 0,28
Den estimerte akselerasjonen er derfor følgende
dwdt=v032t0vt2x{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951fa8a3ae311af5a9123f649cfa1a696ad7a869)
Beregning av akselerasjon når
v=v0/2{\ displaystyle v = v_ {0} / 2}
For x small har vi:
w′≈gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle w '\ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x}![{\ displaystyle w '\ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989ec7f4cb22f385e35cbd8355eeadef64c46307)
Derfor,
dwdtdtdx=gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle {dw \ over dt} {dt \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ( {v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} {dt \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ( {v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de91249b782e8a97a725ba8bb71b4a8821585398)
Vi erstatter dt / d x. Derfor,
dwdtv02g=gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle {dw \ over dt} {v_ {0} \ over 2g} = {g \ over t_ {0}} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} \ venstre ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} {v_ {0} \ over 2g} = {g \ over t_ {0}} \ venstre ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ høyre) ^ {2} \ venstre ({v_ {0} \ over 2g} \ høyre) ^ {2} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9a8601488245de18f1b95a19772283b94238fe)
Derfor,
dwdt=gt0(v0vt)2v02gx{\ displaystyle {dw \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {v_ {0} \ over 2g} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {v_ {0} \ over 2g} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94714e052eba8d2c818f77a7c925f287409ea9ac)
Vi får derfor:
dwdt=gv02v0t0vt22gx{\ displaystyle {dw \ over dt} = {gv_ {0} ^ {2} v_ {0} \ over t_ {0} v_ {t} ^ {2} 2g} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {gv_ {0} ^ {2} v_ {0} \ over t_ {0} v_ {t} ^ {2} 2g} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a010fff2f5f08f0cf044126173f6a3c60c42614)
Derfor,
dwdt=v032t0vt2x{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951fa8a3ae311af5a9123f649cfa1a696ad7a869)
Derfor,
dwdt=2gtt0(v0vt)2{\ displaystyle {dw \ over dt} = 2g {t \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}
Tallmessig har vi:
dwdt=5032×5×72×0,28=71.4{\ displaystyle {dw \ over dt} = {50 ^ {3} \ over 2 \ ganger 5 \ ganger 7 ^ {2}} \ ganger 0.28 = 71.4}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {50 ^ {3} \ over 2 \ ganger 5 \ ganger 7 ^ {2}} \ ganger 0.28 = 71.4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d817f6c5f29f8d23eca40286a8d17560b24f07c)
Akselerasjonen er da i størrelsesorden 7 g .
I tillegg er Potvins eksperimentelle resultater i samsvar med denne modellen. Målingene indikerte at rykk var omtrent konstant når fallskjermen åpnes, og at maksimal akselerasjon var i størrelsesorden 7 g .
Modellen tok ikke hensyn til linjens elastisitet. Verdiene er imidlertid veldig nær de eksperimentelle verdiene gitt av Potvin.
Gjeninnføring av romsonder
Når et romfartøy kommer inn i atmosfæren, er hastigheten vanligvis supersonisk, og modellen ovenfor gjelder ikke.
Merknader og referanser
-
(in) " Fysikk av fallskjermhopping "
-
(in) " Fysikk av fallskjermhopping "
-
(i) Dane Lenaker, " The Physics of Skydiving " ,2002
-
" Hvilken hastighet kan du nå under et fritt fall?" » (Besøkt 5. januar 2017 )
-
(in) Dulli Chandra Agrawal, " Teaching Physics: Terminal velocity of skydivers " , Physics Education ,juli 2000( DOI 10.1088 / 0031-9120 / 35/4/11 , les online )
-
(in) " Live results 2016 " (åpnet 5. januar 2017 )
-
(i) Jean Potvin og Gary Peek, " Parachute Opening Shock Basics " ,2001(tilgjengelig på en st januar 2017 )
-
(en) Robert V. Brulle, Engineering the Space Age: A Rocket Scientist Husker , Air University Press,juli 2008, 268 s. ( ISBN 978-1-58566-184-8 , leses online ) , s. 135
-
(i) Calvin Lee, " Modelling of Parachute Opening: An Experimental Investigation " , Journal of Aircraft , Aerospace Research Central flight. 26, n o 5,1989( DOI 10.2514 / 3.45783 )
-
(in) Dean F. Wolf, " Parachute Deployment " (åpnet 3. januar 2017 ) , s. 5
-
(in) Kenneth E. French, " Inflation of a Parachute " , AIAA Journal , AIAA, vol. 1, n o 11November 1963( DOI 10.2514 / 3.2113 )
-
(in) Theo W. Knack, " Design Parachute Recovery Systems Design Manual " ,Mars 1991(tilgjengelig på en st januar 2017 ) ,s. 5-49
-
(i) Jean Potvin , " Universality Considerations for Graphing Parachute Opening Shock Factor Versus Mass Ratio " , Journal of Aircraft , Aerospace Research Central flight. 44, n o to2007, s. 529-533 ( DOI 10.2514 / 1.24061 )
-
(i) Douglas B. Meade , " ODE-modeller for fallskjermproblemet " (åpnet 22. desember 2016 )
-
(en) Douglas B. Meade og Allan A Struthers , “ Differensiallikninger i det nye årtusenet: fallskjermproblemet ” , International Journal of Engineering , vol. 15, n o 6,1999, s. 419 ( les online , konsultert 7. januar 2017 )
Se også
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">