Frégier poeng

Den Frégier punkt er, i geometri , et punkt forbundet med et punkt av en kjegle ( ellipse , parabel eller hyperbel ).

Teorem og definisjon

Teorem  -  La M være en kjegle og et poeng av denne kjeglen. Alle akkordene i kjeglesnittet sett i rett vinkel fra M krysser på samme punkt F.

Dette skjæringspunktet kalles Frégier-punktet til M.

Beviset fra Frégier er rent analytisk (beregningsmessig):

1. den definerer en ortonormal referanse til opprinnelse M, hvor en av aksene er tangent til konikken;
2. den beregner ligningen til konisk i denne rammen;
3. han trekker ut ligningen av strenger sett under en viss vinkel fra M;
4. den trekker derfra eksistensen av et punkt F som tilhører alle disse strengene og gir dets koordinater.

Tolkning

Tenk på en sirkel med sentrum O, A et punkt i denne sirkelen og (d) en linje. Bildet av sirkelen ved harmonisk homologi med senter A og akse (d) er en ellips tangent til sirkelen ved A (illustrasjon) . Punktene M og N av sirkelens diameter har sine motstykker M 'og N' på ellipsen. M og N sees i rett vinkel fra A, og på samme måte ses M 'og N' i rett vinkel fra A. Homologen til O er Frégier-punktet F av A.

Praktisk anvendelse

Frégiers teorem gir en praktisk måte å konstruere tangenten til en konisk på et hvilket som helst punkt M i denne konikken med regelen og firkanten :

1. en fører av M en vilkårlig linje og linjen som er vinkelrett på den;
2. disse linjene skjærer kjeglesnittet på to punkter, som vi sammenføyer: vi har fått en rett trekant i M;
3. de forrige trinnene startes på nytt med en annen vilkårlig rett linje;
4. hypotenusene til de to oppnådde høyre trekanter krysser ved F;
5. tangenten i M til konikken vil være linjen vinkelrett på (MF) som går gjennom M.

Eiendom

Det geometriske sted for de Frégier steder av et kjeglesnitt er stort sett en konisk av samme type, med samme sentrum:

• Frégier-punktene i en parabel er en parabel utledet fra den opprinnelige paraben ved oversettelse
• Frégier-punktene til en hyperbol eller en ellipse er en konisk med samme senter som er homotetisk til den opprinnelige koniske.

Når det gjelder en sirkel, reduseres dette stedet til sentrum av sirkelen.

Generalisering

Frégiers teorem ble opprinnelig etablert i planet (dimensjon 2), men det generaliserer i dimensjon n .

La M være et punkt i et kvadrat i dimensjon n . Ortonnormale referanser som følge av M kutter kvadraten i n poeng. Disse n- punktene definerer et hyperplan (dimensjon n - 1), som alltid passerer gjennom et fast punkt F, Frégier-punktet.

Bibliografi

• Jean-Denis Eiden, Klassisk analytisk geometri, Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• Moderne metoder i geometri av Jean Fresnel
• Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics, C&M, ( ISBN  978-2-916352-12-1 )

Merknader og referanser

1. Mr. Frégier er en fransk matematiker, en tidligere student av École Polytechnique og professor ved College of Troyes . Han publiserte flere artikler i Annales de Gergonne på 1810-tallet . ( "  Søkeresultat  " , på numdam .org ).
2. (in) Eric W. Weisstein , "  Frégiers teorem  " på MathWorld .
3. Frégier, “  Géométrie analitique. Nye teoremer på linjene og overflatene til andre orden  ”, Annaler om ren og anvendt matematikk , tome 6, 1815-1816, s.  229-241 .
4. Michel Guillerault, "  Le point de Frégier  " , Cabri-géomètre,1996
5. Frégier poeng i dimensjon n , Les Mathematics.net, 21. desember 2008.