Trigonometrisk polynom

I matematikk er et trigonometrisk polynom (eller komplekst trigonometrisk polynom ) $P$ en funksjon, definert av en sum av eksponensialer :

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, P \ left (t \ right) = \ sum _ {k = -n} ^ {k = + n} c_ {k} e ^ {{\ rm { i}} kt}}

der koeffisientene til $P$ er komplekse eller reelle. ${\ displaystyle \ left (c_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Summen av trigonometriske funksjoner

Spesielt kan vi uttrykke hvilket som helst trigonometrisk polynom som en sum av sinus og cosinus :

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, P (t) = a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (a_ {k} \ cos (kt) + b_ {k} \ sin (kt) \ høyre)}

De to familiene med koeffisienter $( a k ) k$ og $( b k ) k$ kan trekkes fra $( c k ) k$ , og omvendt :

{\ displaystyle a_ {0} = c_ {0}, b_ {0} = 0, \ \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, c_ {n} = {\ frac {1} {2} } \ left (a_ {n} - {\ rm {i}} b_ {n} \ right), c _ {- n} = {\ frac {1} {2}} \ left (a_ {n} + { \ rm {i}} b_ {n} \ høyre).}

$P$ er en reell funksjon hvis og bare hvis $( a k ) k$ og $( b k )$ er reelle. Koeffisientene $( a k )$ er alle null hvis og bare hvis polynomet er merkelig. Likeledes er koeffisientene $( b k )$ alle null hvis og bare hvis polynomet er jevnt.

En uendelig sum av trigonometriske koeffisienter kalles en trigonometrisk serie .

Stein-Weierstrass-teorem

I henhold til Stone-Weierstrass teorem , for en hvilken som helst kontinuerlig og T -periodic funksjon f , eksisterer det en sekvens (T n ) for trigonometriske polynomer som konvergerer jevnt til f .

Denne essensielle egenskapen er, gjennom Fejers teorem , også en konsekvens av den ensartede konvergensen av Fourier-serier for slike funksjoner.

Relaterte artikler