Trigonometrisk funksjon

I matematikk , trigonometriske funksjoner anvendes for å forbinde lengder av sidene av en trekant i henhold til måling av vinkler i hjørnene. Mer generelt er disse funksjonene viktige for å studere trekanter og polygoner , sirkler (såkalte sirkulære funksjoner ) og modell for periodiske fenomener .

De tre mest brukte trigonometriske funksjonene er sinus (bemerket sin ), cosinus ( cos ) og tangens ( tan , tang eller tg ). Forholdet mellom de forskjellige trigonometriske funksjonene utgjør de trigonometriske identitetene . I matematisk analyse kan disse funksjonene også defineres fra summen av hele serier eller som løsningene av differensiallikninger , som gjør at de kan generaliseres til komplekse tall .

Avhengig av anvendelsesområder, i særdeleshet i maritim eller luft navigasjon , blir andre funksjoner benyttes: cotangens, sekant, cosekans, vers sinus , haversine, exsecant, etc.

Videre definerer man på modellen for trigonometriske funksjoner også hyperbolske funksjoner hvis navn stammer fra den første: hyperbolsk sinus ( sinh ), hyperbolsk cosinus ( cosh ), hyperbolsk tangens ( tanh ), etc.

Historie

Spor den eldste bruken av sinus ville ha dukket opp i Sulba-sutraer skrevet i vedisk sanskrit i den perioden av VIII th til VI th  århundrer BC. J.-C.

Trigonometriske funksjoner ble senere studert av Hipparchus fra Nicea (185-125 f.Kr.), Âryabhata (476-550), Varahamihira , Brahmagupta , Al-Khawarizmi , Abu l-Wafa , Omar Khayyam , Al-Battani (858-929), Bhāskara II , Al-Tûsi , Regiomontanus (1464), Al-Kashi ( XIV th  -tallet), Ulugh Beg ( XIV th  -tallet), Madhava (1400), Rheticus og hans elev Valentin Otho .

Verket Introductio in analysin infinitorum (1748) av Leonhard Euler var i stor grad opprinnelsen til de analytiske hensynene til trigonometriske funksjoner i Europa ved å definere dem fra serieutvidelser, og presenterte Eulers formler .

Trigonometriske linjer

En trekant en rett (eller sfærisk ) har seks sider, tre sider og tre hjørner . Ikke alle disse delene er nyttige for konstruksjonen av trekanten, for eksempel er de eneste dataene over lengden på to av sidene, og vinkelen mellom disse sidene gjør det mulig å fullføre trekanten. Men å vite bare de tre vinklene, er det umulig å finne trekanten, siden det er en uendelig trekant med de samme tre vinklene ( lignende trekanter ). Faktisk, bortsett fra i ett tilfelle, er det tilstrekkelig å kjenne tre av disse delene, inkludert minst en side for å konstruere en trekant. Tilfellet der to sider er kjent, men den kjente vinkelen ikke er den som bæres av de to sidene, kan definere to ikke-lignende trekanter.

Problemet med å bestemme med nøyaktighet de manglende deler av trekanten ble studert spesielt i Europa fra de middelalderen . Geometriske metoder som, med unntak av enkle tilfeller, kun tilnærmede og utilstrekkelige konstruksjoner på grunn av ufullkommenheten til instrumentene som ble brukt, var forskning rettet mot numeriske metoder for å oppnå konstruksjoner med en ønsket presisjon.

Og et av målene med trigonometri var derfor å gi metoder for å beregne alle delene av en trekant, det vil si å løse en trekant . I lang tid søkte geometre forgjeves etter forholdet mellom vinkler og sider av trekanter. En av deres største ideer var å bruke buer i stedet for vinkler for å gjøre sine målinger.

Disse sirkelbuer har for sentrum et toppunkt i trekanten og er inkludert mellom sidene som refererer til dette toppunktet. Disse betraktningene førte naturlig nok til at geometre erstattet buer med linjesegmentene som de er avhengige av.

Disse segmentene kalles de trigonometriske linjene . Det er faktisk et annet begrep å betegne de trigonometriske funksjonene ( sin , cos , tan ...) også kalt sirkulære funksjoner. Forholdet mellom sidene og visse linjer knyttet til buene er etablert slik at linjene kan bestemmes ut fra bestemte buer og omvendt. En grunnleggende konvensjon forplikter da å ta bare i betraktning de trigonometriske linjene knyttet til sirkler med radius 1. Disse trigonometriske linjene definerer de moderne trigonometriske funksjonene.

Matematiske trigonometriske funksjoner er de som gjelder målinger av vinkler gitt i radianer . Men det er fortsatt vanlig å beholde de samme funksjonsnavnene for de andre måleenhetene som grader eller karakterer .

Definisjoner i en rett trekant

For å definere de trigonometriske funksjonene til en vinkel  , vurder en rett trekant der  er en av de to spisse vinklene .

Sidene til høyre trekant kalles:

• den hypotenusen  : det er den siden som er motsatt til den rette vinkel, som utgjør et ben av vinkel  og den lengste siden av trekanten;
• den tilstøtende siden  : det er siden som forbinder den rette vinkelen fra  , som utgjør et ben av vinkelen  , som ikke er hypotenusen;
• den motsatte side  : den motsatte side av vinkelen  , som omslutter den rette vinkel, som ikke er hypotenusen.

Vi vil merke:

h  : lengden på hypotenusen; a  : lengden på tilstøtende side; o  : lengden på motsatt side.

De forskjellige rapportene om disse tre lengdene er uavhengige av den valgte trekanten (så lenge den inneholder vinkelen  og en rett vinkel) siden alle disse trekantene er like .

• Den sinus til en vinkel er forholdet mellom lengden av den motsatte side av lengden av hypotenusen:

synd⁡(PÅ^)=vs.o^te´ossose´hysote´ikkeuse=oh{\ displaystyle \ sin ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ acute {e}} \; oppos {{acute {e}}}} {\ mathrm {hypot {\ acute {e}} nuse}}} = {\ frac {o} {h}}}.

• Den cosinus til en vinkel er forholdet mellom lengden av den tilstøtende side til lengden av hypotenusen:

cos⁡(PÅ^)=vs.o^te´pådjpåvs.eikkethysote´ikkeuse=påh{\ displaystyle \ cos ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ acute {e}} \; tilstøtende}} {\ mathrm {hypot {\ akutt {e}} nuse}}} = {\ frac {a} {h}}}.

• Den tangens til en vinkel er forholdet mellom lengden av den motsatte side til lengden av den tilstøtende side:

solbrun⁡(PÅ^)=vs.o^te´ossose´vs.o^te´pådjpåvs.eikket=opå{\ displaystyle \ tan ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ acute {e}} \; oppos {{acute {e}}}} {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ acute {e}} \; tilstøtende}}} = {\ frac {o} {a}}}. Merk at vi har: . solbrun=syndcos{\ displaystyle \ tan = {\ frac {\ sin} {\ cos}}}

De resterende tre funksjonene defineres ved hjelp av de tre funksjonene ovenfor.

• Den cosekans av  , betegnet csc (  ) eller cosec (  ) , er den inverse 1 / sin (  ) av sinus til  , dvs. forholdet mellom lengden av hypotenusen til lengden på den motsatte side:

csc⁡(PÅ^)=hysote´ikkeusevs.o^te´ossose´=ho{\ displaystyle \ csc ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {hypot {\ acute {e}} nuse}} {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ acute { e}} \; motsetninger {\ acute {e}}}}} = {\ frac {h} {o}}}.

• Den sekant av  , bemerket sek (  ) , er de inverse 1 / cos (  ) av cosinus til  , dvs. forholdet mellom lengden av hypotenusen til lengden av den tilstøtende side:

tørke⁡(PÅ^)=hysote´ikkeusevs.o^te´pådjpåvs.eikket=hpå{\ displaystyle \ sec ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {hypot {\ acute {e}} nuse}} {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ acute { e}} \; tilstøtende}}} = {\ frac {h} {a}}}.

• Den kotangens av  , betegnet cot (  ) , er den inverse 1 / tan (  ) tangents  , dvs. forholdet mellom lengden av den tilstøtende side av lengden på den motsatte side:

koste⁡(PÅ^)=vs.o^te´pådjpåvs.eikketvs.o^te´ossose´=påo{\ displaystyle \ cot ({\ widehat {A}}) = {\ frac {\ mathrm {c {\ hat {o}} t {\ acute {e}} \; tilstøtende}} {\ mathrm {c {\ hatt {o}} t {\ akutt {e}} \; motsetninger {\ akutt {e}}}}} = {\ frac {a} {o}}}. Merk at vi har: . koste=cossynd{\ displaystyle \ cot = {\ frac {\ cos} {\ sin}}}

Definisjoner fra enhetssirkelen

De seks trigonometriske funksjonene kan også defineres fra enhetssirkelen . Den geometriske definisjonen gir knapt noen midler for praktisk beregning; faktisk er det basert på rette trekanter for de fleste vinkler. Den trigonometriske sirkelen tillater derimot definisjonen av trigonometriske funksjoner for alle positive eller negative realer, ikke bare for målevinkler i radianer mellom 0 og π / 2 .

I et plan utstyrt med et ortonormalt koordinatsystem er den trigonometriske sirkelen sirkelen med sentrum O og radius 1. Hvis vi betrakter et punkt A ( x A , y A ) på sirkelen, har vi: (O;Jeg→,j→){\ displaystyle (O; {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}cos⁡(Jeg→,OPÅ→)^=xPÅ og synd⁡(Jeg→,OPÅ→)^=yPÅ.{\ displaystyle \ cos {\ widehat {({\ vec {i}}, {\ vec {OA}})}} = x_ {A} {\ text {and}} \ sin {\ widehat {({\ vec {i}}, {\ vec {OA}})}} = y_ {A}.}

På sirkelen motsatt har vi representert noen vanlige vinkler, og vi har indikert deres målinger i radianer som vises i intervallet [–2π, 2π] , det vil si to målinger per vinkel og til og med tre for nullvinkelen .

Vær oppmerksom på at vi måler positive vinkler mot klokken, mot klokken og negative vinklene med klokken. En halvlinje som lager en vinkel θ med den positive halvlinjen Oksen til x-aksen skjærer sirkelen ved et koordinatpunkt (cos θ , sin θ ) . Geometrisk kommer dette fra det faktum at hypotenusen til høyre trekant som har for hjørnepunktene koordinatene (0, 0) , (cos θ , 0) og (cos θ , sin θ ) er lik sirkelens radius derfor til 1. Enhetssirkelen kan betraktes som en måte å se på et uendelig antall trekanter oppnådd ved å endre lengden på motsatt og tilstøtende side, men holde lengden på hypotenusen lik 1.

Så vi har: synd⁡θ=y1=y,cos⁡θ=x1=xogsolbrun⁡θ=synd⁡θcos⁡θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {y \ over 1} = y, \ quad \ cos \ theta = {x \ over 1} = x \ quad {\ text {and}} \ quad \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}} i tillegg til tørke⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1synd⁡θogkoste⁡θ=cos⁡θsynd⁡θ.{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}, \ quad \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} \ quad {\ text {and} } \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}.}

Enhetssirkelen har ligningen: x2+y2=1.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.} Dette gir umiddelbart forholdet

cos2⁡θ+synd2⁡θ=1.{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1.}

Definisjon fra prikkproduktet

I vektorgeometri er cosinus definert fra skalarproduktet til to vektorer u og v og deres normer || u || og || v || gjennom: cos⁡(u,v)=⟨u,v⟩‖u‖×‖v‖.{\ displaystyle \ cos (u, v) = {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ | u \ | \ times \ | v \ |}}.}

Definisjoner fra hele serien

Her, og generelt under analyse , er det av største betydning at alle vinkler måles i radianer . Vi kan da definere sin og cos ved hjelp av heltallserier  :

synd⁡x=x-x33!+x55!+⋯+(-1)kx2k+1(2k+1)!+⋯=∑ikke=0+∞(-1)ikkex2ikke+1(2ikke+1)!,{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + \ cdots + (- 1) ^ { k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} + \ cdots = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {(- 1) ^ { n}} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}},}

cos⁡x=1-x22!+x44!+⋯+(-1)kx2k(2k)!+⋯=∑ikke=0+∞(-1)ikkex2ikke(2ikke)!.{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots + (- 1) ^ { k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}} + \ cdots = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {(- 1) ^ {n}} { \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}

Disse definisjonene tilsvarer de som er gitt ovenfor; det kan rettferdiggjøres med teorien om Taylor-serien , og med det faktum at derivatet av sinus er cosinus og cosinus er det motsatte av sinus .

Disse definisjonene brukes ofte som utgangspunkt for strenge avhandlinger om analyse og definisjonen av tallet π siden teorien om serier er velkjent. Den derivability og kontinuitet er så lett å etablere, i tillegg til oppskriftene ifølge Euler i kompleks analyse vedrørende de trigonometriske funksjoner til den eksponensielle funksjon , så vel som identiteten av Euler . Definisjoner ved bruk av serier har den ekstra fordelen at de lar sinus- og cosinusfunksjonene utvides til analytiske funksjoner i hele det komplekse planet .

Det er ikke mulig å få tak i så enkle serier for de andre trigonometriske funksjonene, men vi har for eksempel

solbrun⁡x=∑ikke=1∞(-1)ikke-122ikke(22ikke-1)B2ikkex2ikke-1(2ikke)!=x+x33+2x515+17x7315+⋯,til |x|<π2{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & {} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}} \\ & {} = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + { \ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} {315}} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} | x | <{\ frac {\ pi} {2}} \ end {align}}}

hvor B n er den n- te Bernoulli nummer . Disse uttrykkene blir oversatt i form av generaliserte fortsatte brøker  ; de tillot Lambert å demonstrere irrasjonaliteten til tallet π (jf. artikkelen "  Kontinuerlig brøkdel og Diophantine tilnærming  ").

I fravær av en enkel heltallserie, eksisterer det for cotangensfunksjonen en absolutt konvergent serie , oppnådd som en grense for summen av enkle elementer som tilsvarer motsatte poler : πkoste⁡(πx)=limIKKE→∞∑ikke=-IKKEIKKE1x+ikke=1x+∑ikke=1∞2xx2-ikke2.{\ displaystyle \ pi \ cot (\ pi x) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ frac {1} {x + n}} = { \ frac {1} {x}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2x} {x ^ {2} -n ^ {2}}}.} Vi kan utlede: π2synd2⁡(πx)=∑ikke=-∞∞1(x+ikke)2,πsolbrun⁡(πx2)=∑ikke=0∞4x(2ikke+1)2-x2,πsynd⁡(πx)=1x+∑ikke=1∞(-1)ikke2xx2-ikke2,πcos⁡(πx)=2∑ikke=0∞(-1)ikkeikke+12(ikke+12)2-x2.{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ pi ^ {2}} {\ sin ^ {2} (\ pi x)}} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } {\ frac {1} {(x + n) ^ {2}}}, \ quad & \ pi \ tan \ left ({\ frac {\ pi x} {2}} \ right) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {4x} {(2n + 1) ^ {2} -x ^ {2}}}, \\ {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi x)}} & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {2x} {x ^ {2} -n ^ {2}}}, \ quad & {\ frac {\ pi} {\ cos (\ pi x)}} & = 2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {n + {\ tfrac {1} {2}}} {(n + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} -x ^ {2}}}. \ end {align}}}

Grafiske fremstillinger

De kurver av sinus- og cosinusfunksjonene kalles sinusoider .

Egenskaper for trigonometriske funksjoner

Bemerkelsesverdige verdier

Det er tabeller over verdier for trigonometriske funksjoner, men disse verdiene kan også beregnes av en kalkulator. For noen enkle vinkler kan verdiene beregnes nøyaktig for hånd: de vises i tabellen nedenfor. Eksempler:

• For 45 grader ( π / 4 radianer ): de to vinklene til høyre trekant er like; lengdene a og b er like, kan vi velge a = b = 1 . Vi bestemmer deretter sinus, cosinus og tangens for en vinkel på 45 grader ved hjelp av Pythagoras teorem (se figur til venstre):vs.=på2+b2=2.{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt {2}}.}
• For 30 grader ( π / 6 radianer) og 60 grader ( π / 3 radianer): vi betrakter en ligesidig trekant med sidelengde 2. Alle dens indre vinkler er 60 grader. Ved å dele den i to like deler, betrakter vi en av de to riktige trekanter som oppnås med en vinkel på 30 ° og en vinkel på 60 °. Den lille siden av denne høyre trekanten er lik halvsiden av den likesidige trekanten: den er lik 1. Den tredje siden av denne høyre trekanten har en lengde c slik at (se figur til høyre):2=vs.2+12, er vs.=22-12=3.{\ displaystyle 2 = {\ sqrt {c ^ {2} + 1 ^ {2}}}, {\ text {enten}} c = {\ sqrt {2 ^ {2} -1 ^ {2}}} = {\ sqrt {3}}.}

Vinkel		Sinus		Cosine		Tangent
Grader	Radianer	Nøyaktig	Desimal	Nøyaktig	Desimal	Nøyaktig	Desimal
0∘{\ displaystyle {0 ^ {\ circ}}}	0	02{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {0}} {2}}}	0	42{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {4}} {2}}}	1	0	0
15∘{\ displaystyle {15 ^ {\ circ}}}	π12{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}	2-32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,2588 ...	2+32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,9659 ...	2-3{\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}	0.2679…
22,5∘{\ displaystyle {22.5 ^ {\ circ}}}	π8{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {8}}}	2-22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0.3826 ...	2+22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0,9238 ...	2-1{\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}	0,4142 ...
30∘{\ displaystyle {30 ^ {\ circ}}}	π6{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}	12{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	0,5	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	0,8660…	13{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}	0,5773 ...
45∘{\ displaystyle {45 ^ {\ circ}}}	π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	0,7071 ...	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	0,7071 ...	1{\ displaystyle 1}	1
60∘{\ displaystyle {60 ^ {\ circ}}}	π3{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	0,8660…	12{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	0,5	3{\ displaystyle {\ sqrt {3}}}	1.7320 ...
67,5∘{\ displaystyle {67.5 ^ {\ circ}}}	3π8{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {8}}}	2+22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0,9238 ...	2-22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}}}	0.3826 ...	2+1{\ displaystyle {\ sqrt {2}} + 1}	2.4142 ...
75∘{\ displaystyle {75 ^ {\ circ}}}	5π12{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {12}}}	2+32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,9659 ...	2-32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {3}}}} {2}}}	0,2588 ...	2+3{\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}	3.7320 ...
90∘{\ displaystyle {90 ^ {\ circ}}}	π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}	42{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {4}} {2}}}	1	02{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {0}} {2}}}	0	∞{\ displaystyle \ infty} ind.	uendelig
120∘{\ displaystyle {120 ^ {\ circ}}}	2π3{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {3}}}	32{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	0,8660…	-12{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	–0,5	-3{\ displaystyle - {\ sqrt {3}}}	–1.7320…
135∘{\ displaystyle {135 ^ {\ circ}}}	3π4{\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {4}}}	22{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	0,7071 ...	-22{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}	–0.7071 ...	-1	-1
150∘{\ displaystyle {150 ^ {\ circ}}}	5π6{\ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}}}	12{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {1}} {2}}}	0,5	-32{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}	–0,8660…	-13{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}	–0,5773 ...
180∘{\ displaystyle {180 ^ {\ circ}}}	π	02{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {0}} {2}}}	0	-42{\ displaystyle - {\ frac {\ sqrt {4}} {2}}}	-1	0	0

Vi kan huske noen av disse verdiene ved å konstruere følgende tabell: sette i rekkefølge 0, π / 6 (30 °), π / 4 (45 °), π / 3 (60 °) og π / 2 (90 ° ), tar sinussen verdiene √ n / 2, og for cosinus tar vi omvendt rekkefølge.

• Andre bemerkelsesverdige verdier:

cos⁡(π5)=synd⁡(3π10)=1+54=φ2cos⁡(2π5)=synd⁡(π10)=5-14=12φ}{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {5}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {10}} \ høyre) = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {4}} = {\ frac {\ varphi} {2}} \\\ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {5 }} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {10}} \ right) = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}} = {\ frac {1 } {2 \ varphi}} \ end {matrix}} \ right \}}med φ som angir det gyldne forholdet .

Nuller

De nuller av synd er reelle tall som er skrevet k π (for en viss relativ heltall k ). De av cos er π / 2 + k π .

Forholdet mellom sinus og cosinus

NB: Vinkelverdiene er i radianer.

For å definere vinklene som er strengt større enn 2π eller strengt negative, er det tilstrekkelig å utføre rotasjoner rundt sirkelen. På denne måten blir sinus og cosinus periodiske funksjoner av periode 2π , det vil si for hvilken som helst vinkel θ og ethvert heltall k  :

cos⁡(θ+2kπ)=cos⁡θ og synd⁡(θ+2kπ)=synd⁡θ.{\ displaystyle \ cos (\ theta + 2k \ pi) = \ cos \ theta {\ text {and}} \ sin (\ theta + 2k \ pi) = \ sin \ theta.}

Takket være sirkelen, og med enkle geometriske betraktninger, kan vi se det

1.cos⁡(θ+π)=-cos⁡θogsynd⁡(θ+π)=-synd⁡θ,2.cos⁡(π2-θ)=synd⁡θogsynd⁡(π2-θ)=cos⁡θ,3.cos⁡(θ+π2)=-synd⁡θogsynd⁡(θ+π2)=cos⁡θ,4.cos⁡(π-θ)=-cos⁡θogsynd⁡(π-θ)=synd⁡θ,5.cos⁡(-θ)=cos⁡θogsynd⁡(-θ)=-synd⁡θ.{\ displaystyle {\ begin {matrise} 1. & \ cos (\ theta + \ pi) & = & - \ cos \ theta & {\ text {and}} & \ sin (\ theta + \ pi) & = & - \ sin \ theta, \\ 2. & \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) & = & \ sin \ theta & {\ text {and}} & \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) & = & \ cos \ theta, \\ 3. & \ cos \ left (\ theta + {\ frac {\ pi} { 2}} \ høyre) & = & - \ sin \ theta & {\ text {et}} & \ sin \ left (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}} \ høyre) & = & \ cos \ theta, \\ 4. & \ cos (\ pi - \ theta) & = & - \ cos \ theta & {\ text {et}} & \ sin (\ pi - \ theta) & = & \ sin \ theta , \\ 5. & \ Cos (- \ theta) & = & \ cos \ theta & {\ text {et}} & \ sin (- \ theta) & = & - \ sin \ theta. \ End {matrix} }}

Demonstrasjon

1. fordi θ + π og θ er diametralt motsatte på sirkelen;
2. fordi π / 2 - θ er det symmetriske punktet til θ med hensyn til halveringen av  ;(Jeg→,j→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}})}
3. fordi θ + π / 2 er trukket fra θ med en kvart omdreining.
4. fordi π - θ er den symmetriske av θ med hensyn til  ;(O,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {j}})}
5. fordi –θ er den symmetriske av θ med hensyn til(O,Jeg→).{\ displaystyle (O, {\ vec {i}}).}

Disse formlene er en del av de trigonometriske identitetene .

Trigonometriske relasjoner

Fra tilleggsformlene ( som differanseformlene trekkes fra)  :

{cos⁡(på+b)=cos⁡påcos⁡b-synd⁡påsynd⁡bsynd⁡(på+b)=synd⁡påcos⁡b+cos⁡påsynd⁡bsolbrun⁡(på+b)=solbrun⁡på+solbrun⁡b1-solbrun⁡påsolbrun⁡b{\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos (a + b) & = \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b \\\ sin (a + b) & = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b \\\ tan (a + b) & = {\ dfrac {\ tan a + \ tan b} {1- \ tan a \ tan b}} \ end {cases}}}

vi beviser Simpson-formlene  :

{cos⁡påcos⁡b=12[cos⁡(på+b)+cos⁡(på-b)]synd⁡påsynd⁡b=12[cos⁡(på-b)-cos⁡(på+b)]synd⁡påcos⁡b=12[synd⁡(på+b)+synd⁡(på-b)]{\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos a \ cos b & = {\ dfrac {1} {2}} [\ cos (a + b) + \ cos (ab)] \\\ sin a \ sin b & = {\ dfrac {1} {2}} [\ cos (ab) - \ cos (a + b)] \\\ sin a \ cos b & = {\ dfrac {1} {2}} [\ sin (a + b) + \ sin (ab)] \ end {cases}} \ quad} og gjensidig {cos⁡s+cos⁡q=2cos⁡s+q2cos⁡s-q2cos⁡s-cos⁡q=-2synd⁡s+q2synd⁡s-q2synd⁡s+synd⁡q=2synd⁡s+q2cos⁡s-q2synd⁡s-synd⁡q=2cos⁡s+q2synd⁡s-q2 {\ displaystyle \ quad {\ begin {cases} \ cos p + \ cos q & = 2 \ cos {\ dfrac {p + q} {2}} \ cos {\ dfrac {pq} {2}} \\\ cos p - \ cos q & = - 2 \ sin {\ dfrac {p + q} {2}} \ sin {\ dfrac {pq} {2}} \\\ sin p + \ sin q & = 2 \ sin {\ dfrac {p + q} {2}} \ cos {\ dfrac {pq} {2}} \\\ sin p- \ sin q & = 2 \ cos {\ dfrac {p + q} {2}} \ sin {\ dfrac {pq} {2}} \ end {cases}} \}

så vel som de som involverer "tangent buen halv" ,  : t=solbrun⁡på2{\ displaystyle t = \ tan {\ frac {a} {2}}}

cos⁡på=1-t21+t2,synd⁡på=2t1+t2,solbrun⁡på=2t1-t2.{\ displaystyle \ cos a = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, \ quad \ sin a = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2} }}, \ quad \ tan a = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}.}

Paritet av funksjoner

Sinus- og tangensfunksjonene er merkelige  : for enhver ekte x ,

synd⁡(-x)=-synd⁡x{\ displaystyle \ sin (-x) = - \ sin x}

og (hvis x tilhører definisjonsdomenet for tan , dvs. hvis det ikke har formen π / 2 + k π med k ∈ ℤ )

solbrun⁡(-x)=-solbrun⁡x.{\ displaystyle \ tan (-x) = - \ tan x.}

Cosinusfunksjonen er par  : for enhver ekte x ,

cos⁡(-x)=cos⁡x.{\ displaystyle \ cos (-x) = \ cos x.}

Derivater

Funksjon	synd	cos	solbrun	koste	bueskinn	arccos	arctan	tørke	csc
Derivat	cos{\ displaystyle \ cos}	-synd{\ displaystyle - \ sin}	1+solbrun2=1cos2{\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2}}}}	-1-koste2=-1synd2{\ displaystyle -1- \ cot ^ {2} = {\ frac {-1} {\ sin ^ {2}}}}	x↦11-x2{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}	x↦-11-x2{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}	x↦1x2+1{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}	syndcos2{\ displaystyle {\ sin \ over \ cos ^ {2}}}	-cossynd2{\ displaystyle {- \ cos \ over \ sin ^ {2}}}

Andre relasjoner finner du på siden Trigonometriske identiteter .

Grenser

Siden trigonometriske funksjoner er periodiske ikke-konstante, har de ingen grense for uendelig .

Tangensfunksjonen, ikke definert i π / 2 + k π , har en uendelig grense til venstre og til høyre på disse punktene: limx→π/2-solbrun⁡x=+∞ og limx→π/2+solbrun⁡x=-∞.{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pi / 2 ^ {-}} \ tan x = + \ infty {\ text {et}} \ lim _ {x \ to \ pi / 2 ^ {+}} \ tan x = - \ infty.}

Forholdet til den eksponensielle funksjonen og komplekse tall

Vi kan fra definisjonen av serien vise at sinus- og cosinusfunksjonene er henholdsvis den imaginære delen og den virkelige delen av den eksponensielle funksjonen når argumentet er rent imaginært  :

∀x∈Rcos⁡x=Re (eJegx) og synd⁡x=Jeg er (eJegx){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ cos x = {\ mbox {Re}} ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x}) {\ text { og}} \ sin x = {\ mbox {Im}} ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x})}

der i 2  = –1 , eller igjen:

eJegx=cos⁡x+Jegsynd⁡x.{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} = \ cos x + {\ rm {i}} \ sin x.}

Dette forholdet er kjent som Eulers formel . Vi utleder det

synd⁡z=∑ikke=0∞(-1)ikke(2ikke+1)!z2ikke+1=eJegz-e-Jegz2Jeg=sinh⁡(Jegz)Jeg.{\ displaystyle \ sin z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} z ^ {2n + 1} = {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} z} \ over 2 {\ rm {i}}} = {\ frac {\ operatorname {sinh} \ left ({\ rm {i}} z \ right)} {\ rm {i}}}.}cos⁡z=∑ikke=0∞(-1)ikke(2ikke)!z2ikke=eJegz+e-Jegz2=koselig⁡(Jegz).{\ displaystyle \ cos z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} z ^ {2n} = {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} z} \ over 2} = \ operatornavn {cosh} \ venstre ({\ rm {i}} z \ right).}

Inverse funksjoner: cyklometriske funksjoner

Trigonometriske funksjoner er ikke bindende . Ved å begrense dem til visse intervaller utfører de trigonometriske funksjonene sammenheng. De programmene gjensidig kalt cyclométriques funksjoner ( arcsin , arccos , arctan , arccsc , arcsec og arccot ) er vanligvis definert (for alle reelle x og y ):

• y = buesin x hvis og bare hvis –π / 2 ≤ y ≤ π / 2 og x = sin y ,
• y = arccos x if og bare hvis 0 ≤ y ≤ π og x = cos y ,
• y = arctan x if og bare hvis –π / 2 < y < π / 2 og x = tan y ,
• y = arccsc x if og bare hvis –π / 2 ≤ y ≤ π / 2 , y ≠ 0 og x = csc y ,
• y = buesek x hvis og bare hvis 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π / 2 og x = sek y ,
• y = arccot x if og bare hvis 0 < y < π og x = cot y .

Disse funksjonene kan skrives i form av udefinerte integraler:

∀x∈[-1,1]bueskinn⁡x=∫0x11-t2dtogarccos⁡x=∫x111-t2dt,∀x∈Rarctan⁡x=∫0x11+t2dtogarccot⁡x=∫x∞11+t2dt,{\ displaystyle {\ begin {matrise} \ forall x \ i [-1,1] & \ arcsin x & = & \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {et}} & \ arccos x & = & \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt { 1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t, \\\ forall x \ in \ mathbb {R} & \ arctan x & = & \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {1 + t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {et}} & \ operatorname {arccot} x & = & \ int _ {x} ^ {\ infty } {\ frac {1} {1 + t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t, \ end {matrix}}} buesek⁡x={∫1x1tt2-1dthvis x≥1π+∫x-11tt2-1dthvis x≤-1ogarccsc⁡x={∫x∞1tt2-1dthvis x≥1∫-∞x1tt2-1dthvis x≤-1.{\ displaystyle \ operatorname {arcsec} x = {\ begin {cases} \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ {2} -1}}}} \ , \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ geq 1 \\\ pi + \ int _ {x} ^ {- 1} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ { 2} -1}}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ leq -1 \ end {cases}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {arccsc } x = {\ begin {cases} \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ geq 1 \\\ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {1} {t {\ sqrt {t ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} t & {\ text {si}} x \ leq -1. \ end {cases}}}

Praktisk likhet:

cos⁡(bueskinn⁡x)=1-x2,solbrun⁡(bueskinn⁡x)=x1-x2,{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}, \ quad \ tan (\ arcsin x) = {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ { 2}}}},} synd⁡(arccos⁡x)=1-x2,solbrun⁡(arccos⁡x)=1-x2x,{\ displaystyle \ sin (\ arccos x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}, \ quad \ tan (\ arccos x) = {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}} } {x}},} cos⁡(arctan⁡x)=11+x2,synd⁡(arctan⁡x)=x1+x2.{\ displaystyle \ cos (\ arctan x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}, \ quad \ sin (\ arctan x) = {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}.}

applikasjoner

Trigonometriske funksjoner, som navnet antyder, er av avgjørende betydning i trigonometri , men er også involvert i studiet av periodiske funksjoner.

I trigonometri

I trigonometri gir de interessante forhold mellom lengden på sidene og vinklene til en hvilken som helst trekant.

Vurder hvilken som helst trekant:

• den Sinussetningen er skrevet:

synd⁡PÅ^på=synd⁡B^b=synd⁡VS^vs.{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ widehat {A}}} {a}} = {\ frac {\ sin {\ widehat {B}}} {b}} = {\ frac {\ sin {\ widehat {CC}}}

Dette forholdet kan demonstreres ved å dele trekanten i to høyre trekanter og bruke definisjonen ovenfor av sinus.

Det vanlige tallet som vises i teoremet, er omvendt av sirkelens diameter som er avgrenset til trekanten (sirkel som går gjennom de tre punktene A , B og C ). Loven om siner er nyttig for å beregne ukjente lengder på sider i en hvilken som helst trekant hvis to vinkler og en side er kjent. Dette er en vanlig situasjon som oppstår i triangulering , en teknikk for å bestemme ukjente avstander ved å måle to vinkler og en avstand. synd⁡(PÅ^)på{\ displaystyle {\ frac {\ sin ({\ widehat {A}})} {a}}}

• det lov cosinus eller Al-Kashi teorem er en generalisering av Pythagoras 'læresetning

vs.2=på2+b2-2påbcos⁡(VS^){\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos ({\ widehat {C}})}

Igjen kan denne teoremet demonstreres ved å dele trekanten i to høyre trekanter. Den cosinusloven er anvendelig for å bestemme de ukjente dataene til en trekant hvis to av sidene og en vinkel er kjent. Merk at den kjente vinkelen må være inneholdt i de to sidene hvis lengde vi kjenner.

• Det er også loven om tangenter  :

på-bpå+b=solbrun⁡((PÅ^-B^)/2)solbrun⁡((PÅ^+B^)/2),{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan (({\ widehat {A}} - {\ widehat {B}}) / 2)} {\ tan (({ \ widehat {A}} + {\ widehat {B}}) / 2)}},}

samt loven om cotangents og Mollweides formler .

Bruken av trigonometriske funksjoner er ikke bare begrenset til studiet av trekanter. Trigonometriske funksjoner er periodiske funksjoner hvis grafiske representasjoner tilsvarer karakteristiske bølgemodeller, brukt til å modellere oscillerende fenomener som støy eller lysbølger. Hvert signal kan skrives som en sum (vanligvis uendelig) av sinus- og cosinusfunksjoner med forskjellige frekvenser; dette er Fourier-serien .

I harmonisk analyse

Sinus- og cosinusfunksjonene vises også i beskrivelsen av enkel harmonisk bevegelse , et viktig begrep i fysikk. I denne sammenheng brukes sinus- og cosinusfunksjonene til å beskrive projeksjonene på et endimensjonalt rom med en ensartet sirkelbevegelse , bevegelsen til en masse ved enden av en fjær, eller en tilnærming til svingningene av liten vinkelforskjell d ' en pendel.

Trigonometriske funksjoner er også viktige i andre områder enn studiet av trekanter. De er periodiske og deres grafiske fremstillinger er sinusoider og kan brukes til å modellere periodiske fenomener som lyd, lysbølger . Ethvert signal, som tilfredsstiller visse egenskaper, kan beskrives ved en sum (generelt uendelig) av sinus- og cosinusfunksjoner med forskjellige frekvenser; dette er grunnideen til Fourier-analyse , der trigonometriske serier brukes til å løse mange grenseverdiproblemer i delvise differensiallikninger. For eksempel kan et kvadratisk signal beskrives av en Fourier-serie  :

xtorget(t)=4π∑k=1∞synd⁡((2k-1)t)(2k-1).{\ displaystyle x _ {\ text {square}} (t) = {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ sin {{\ bigl (} ( 2k -1) t {\ bigr)}} \ over (2k-1)}.}

Overgangsfunksjoner

Når x krysser [-π / 2; π / 2] , går sinusfunksjonen fra verdien -1 til verdien 1. Den er kontinuerlig og avledbar, og dens tangenser er vannrette i endene av intervallet (derivatene avbryter hverandre i -π / 2 og π / 2 ). Dette gjør det derfor til en valgfri funksjon å erstatte en Heaviside-funksjon , som i seg selv ikke er kontinuerlig.

Hvis vi for eksempel vil at en enhet skal gå fra en verdi y = a til en verdi b på tidspunktet t 0 , kan vi kontrollere den etter en typelov

y(t)=på+b-på2synd⁡(π⋅tτ-t0){\ displaystyle y (t) = a + {\ frac {ba} {2}} \ sin \ left ({\ frac {\ pi \ cdot t} {\ tau}} - t_ {0} \ right)}

hvor τ er varigheten av overgangen. Denne typen kontrollov gjør det mulig å unngå for stor forskjell mellom målverdien og den øyeblikkelige verdien, og fenomener av dempet svingningstype .

For eksempel, hvis et bevegelig legeme må gjennomgå en akselerasjonsfase og deretter en retardasjonsfase, kan sinusformede lover brukes til hastighetsovergangene. Dette sikrer at akselerasjonen er kontinuerlig.

Merknader og referanser

Merknader

1. Eller6-24.{\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}.}
2. Eller6+24.{\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}.}

Referanser

1. Martin Aigner og Günter M. Ziegler , Divine Reasonings , Springer ,2002, 245  s. ( ISBN  978-2-287-59723-7 , leses online ) , kap.  19 (“Cotangent-funksjonen og Herglotz- trikset  ”), s.  139-142.
2. (in) Reinhold Remmert , Theory of Complex Functions Springer al.  "  GTM  " ( n o  122)1991, 453  s. ( ISBN  978-0-387-97195-7 , leses online ) , s.  327.
3. Remmert 1991 , s.  329-330. Se også M. Lerch , “  Elementary proof of the formula:π2synd2⁡πx=∑ν=-∞∞1(x+ν)2{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {\ sin ^ {2} {\ pi x}}} = \ sum _ {\ nu = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1 } {(x + \ nu) ^ {2}}}}  ”, L'Enseignement mathématique , vol.  5,1903, s.  450-453 ( les online ).

Se også

Bibliografi

• Adrien Guilmin , Elementær kurs i rettlinjet trigonometri (1863), på Gallica
• Étienne-Louis Lefébure de Fourcy , Elementer av trigonometri (1836), på Gallica
• (en) Eli Maor , Trigonometric Delights , Princeton Univ. Trykk. (1998). Opptrykk utgave (2002) ( ISBN  0-691-09541-8 )
• (en) Tristan Needham  (en) , Forord "til Visual Complex Analysis . Oxford University Press, 1999 ( ISBN  0-19-853446-9 )
• (en) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "De trigonometriske funksjonene" , i MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online ).
• (no) Ian Pearce , “Madhava of Sangamagramma” , i John J. O'Connor og Edmund F. Robertson, MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online )
• (no) Eric W. Weisstein , “  Tangent  ” , på MathWorld

Relaterte artikler

• Base (geometri)
• Høyde på en trekant
• Slope (matematikk)
• Pythagoras trigonometrisk identitet
• Trigonometri
• CORDIC (beregningsalgoritme)
• Trigonometrisk tabell
• Cosinus likhet
• Kardinal sinus
• Kompleks trigonometri
• Hyperbolisk funksjon

Eksterne linker

• Etymologi av ordet "sinus" på nettstedet "Principia" av historie og vitenskapsfilosofi
• Sinusformede isometrier og morfisme  : merknad for ungdomsskoleelever (ungdomsskoleelever), på nettstedet til X. Hubaut, professor ved Free University of Brussels

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">