A priori sannsynlighet

I Bayes teorem , den sannsynligheten a priori måte den sannsynlighets basert på historiske data eller kunnskap til observasjon. Det er i motsetning til den tilsvarende a posteriori sannsynligheten som er basert på kunnskap etter denne observasjonen.

Formalisering

Sannsynlighet priori / Sannsynlighetspost

De Bayes teorem lyder:

{\ displaystyle P (A | B) = {\ frac {P (B | A) \ cdot P (A)} {P (B)}}}

$P ( A )$ betyr her sannsynligheten a priori av $A$ .

Mens $P ( A | B )$ indikerer posterior sannsynlighet , det vil si, den betingede sannsynligheten for $A$ kjenne $B$ .

Act priori / Posterior

La oss nå erstatte hendelsen $A$ med en ukjent parameter (eller en vektor av parametere) betegnet med θ og betrakte denne parameteren θ som tilfeldig.

Loven til den tilfeldige variabelen θ, før observasjon kalles a priori lov , generelt bemerket π (θ)

Loven til den tilfeldige variabelen θ, etter observasjon, kalles den bakre loven .

Modellutvidelse

La oss også erstatte hendelsen $B$ med en tilfeldig variabel $X$ hvis tilhørende sannsynlighetsavhengighet avhenger av θ og la $x$ betegne observasjonen.

De Bayes teorem deretter gir uttrykk: P ( .theta | $x$ ) = P ( $x$ | .theta ). P ( θ ) / P ( $x$ ).

Den a priori sannsynligheten er P (θ) og den bakre sannsynligheten blir P (θ | $x$ ).

Den tidligere loven er alltid π (θ) og den bakre loven er da loven til θ betinget av observasjonen $x$ av $X$ og blir derfor skrevet π (θ | $x$ ).

Valg av a priori sannsynlighetsfordeling

Distribusjoner priori kan opprettes ved hjelp av en rekke metoder.

En a priori fordeling kan bestemmes ut fra tidligere informasjon, for eksempel tidligere erfaringer.

Det kan fås fra den rent subjektive vurderingen fra en erfaren ekspert.

En uinformativ a priori- distribusjon kan opprettes for å gjenspeile en balanse mellom resultatene når ingen informasjon er tilgjengelig.

Tidligere fordelinger kan også velges i henhold til et visst prinsipp, for eksempel symmetri eller maksimering av entropi gitt begrensningene; eksemplene er Jeffreys a priori-loven eller Berger-Bernardo-referansen a priori .

Til slutt, når det er en familie av konjugert a priori , forenkler valget av a priori i denne familien beregningen av a posteriori fordeling .

Relaterte artikler

Merknader og referanser

Merknader

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Prior probability " ( se listen over forfattere ) .

Referanser

Introduksjon til Bayesian Statistics . Av Yann Traonmilin og Adrien Richou, Bordeaux institutt for matematikk, PDF, 19 sider
Bayesian Statistics - Forelesningsnotater . Av Judith Rousseau, ENSAE ParisTech, tredje år 2009-20010, PDF, 54 sider
Bradley P. Carlin og Thomas A. Louis , Bayesian Methods for Data Analysis , CRC Press,2008Tredje utg. ( ISBN 9781584886983 )

Bibliografi

Rubin, Donald B., Gelman, Andrew, John B. Carlin and Stern, Hal, Bayesian Data Analysis , Boca Raton, Chapman & Hall / CRC,20032. utg. ( ISBN 978-1-58488-388-3 , matematiske anmeldelser 2027492 )
James O. Berger , Statistisk beslutningsteori og Bayesian analyse , Berlin, Springer-Verlag,1985( ISBN 978-0-387-96098-2 , matematiske anmeldelser 0804611 )
James O. Berger og William E. Strawderman , " Choice of hierarchical priors: admissibility in estimation of normal means ", Annals of Statistics , vol. 24 n o 3,1996, s. 931–951 ( DOI 10.1214 / aos / 1032526950 , matematiske anmeldelser 1401831 , zbMATH 0865.62004 )
Jose M. Bernardo , “ Reference Posterior Distributions for Bayesian Inference ”, Journal of the Royal Statistical Society, serie B , vol. 41, n o to1979, s. 113–147 ( JSTOR 2985028 , matematiske anmeldelser 0547240 )
James O. Berger , José M. Bernardo og Dongchu Sun, " The formal definition of reference priors ", Annals of Statistics , vol. 37, n o to2009, s. 905–938 ( DOI 10.1214 / 07-AOS587 , Bibcode 2009arXiv0904.0156B , arXiv 0904.0156 )
Edwin T. Jaynes , “ Prior Probabilities, ” IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics , vol. 4, n o 3,September 1968, s. 227–241 ( DOI 10.1109 / TSSC.1968.300117 , lest online , åpnet 27. mars 2009 )
- gjengitt i Rosenkrantz, Roger D., ET Jaynes: papirer om sannsynlighet, statistikk og statistisk fysikk , Boston, Kluwer Academic Publishers,1989, 116–130 s. ( ISBN 978-90-277-1448-0 )
Edwin T. Jaynes , Sannsynlighetsteori: Vitenskapens logikk , Cambridge University Press,2003( ISBN 978-0-521-59271-0 , les online )
Jon Williamson , “ anmeldelse av Bruno di Finetti. Philosophical Lectures on Probability ”, Philosophia Mathematica , vol. 18, n o 1,2010, s. 130–135 ( DOI 10.1093 / philmat / nkp019 , les online [ arkiv av9. juni 2011] , åpnet 2. juli 2010 )
Tony Lancaster , En introduksjon til moderne Bayesian Econometrics , Oxford, Blackwell,2004( ISBN 1-4051-1720-6 )
Peter M. Lee , Bayesian Statistics: An Introduction , Wiley ,20043. utg. ( ISBN 0-340-81405-5 )