Blokker stablingsproblem

I statisk , den blokkstabling problem (også stabling problem av bøker eller andre tilsvarende navn) er et Riddle vedrørende de mulige stableklossene på kanten av et bord. I stedet for å stable blokker, er det også oppsett av spillkort.

Beskrivelse

Den blokkstabling problem er følgende oppgave:

Hvordan legge rektangulære og stive blokker på kanten av et bord for å maksimere overhenget. $IKKE$

Historisk

Blokkstabelproblemet har en lang historie, både innen mekanikk og som et matematisk rekreasjonsproblem . I sine artikler gir Paterson og hans medforfattere en omfattende liste over referanser om denne saken som er behandlet i skriftlig Mekanisk tilbake til midten av XIX - tallet. Det er også en del av en annen form for matematiske rekreasjoner studert av Martin Gardner for eksempel.

Varianter

Enkel stabling

I problemmodellen for én-bred er det en enkelt blokk på hvert nivå. Når blokkene er identiske og rektangulære, er det maksimale overhenget for blokkene ${\ displaystyle d_ {N}}$ $IKKE$

{\ displaystyle d_ {N} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {i}} = {\ frac {1} {2} } H_ {N}}

Det er halvparten av delsummen av den harmoniske serien . De første vilkårene er:

IKKE	1	2	3	4	5	6	7	8	9
${\ displaystyle d_ {N}}$	1/2	3/4	11/12	25/24	137/120	49/40	363/280	761/560	7129/5040

Disse tallene danner suitene A001008 og A002805 fra OEIS . Når den harmoniske serien avviker, har det maksimale overhenget en tendens til det uendelige med , noe som betyr at vi kan oppnå vilkårlig store overheng gitt for å stable et tilstrekkelig antall blokker. Asymptotisk er det maksimale overhenget $IKKE$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \, N}

Flere stablinger

Når flere blokker brukes på hvert nivå, griper motvekten inn for å tillate større overheng. Allerede med tre blokker kan to blokker over det første nivået motveie hverandre og gi et overheng på 1, mens i det enkle tilfellet er overhenget på det meste 11/12. Paterson og Zwick, så viste Paterson, Peres, Winkler og Zwick det maksimale overhenget som kan oppnås er asymptotisk

{\ displaystyle c {\ sqrt [{3}] {N}}}

dette står i kontrast til det enkle tilfellet der overhenget er proporsjonalt med logaritmen til antall blokker. For lite antall blokker er det mer optimale løsninger.

Robusthet

Hall 2005 studerer stablingsproblemet med tanke på fysiske begrensninger, som materialets robusthet, de muligens avrundede hjørner, presisjonen til plassering av blokkene, og introduserer visse varianter, inkludert friksjonskrefter som ikke er null mellom tilstøtende blokker .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " block-stacking problem " ( se listen over forfattere ) .

(i) Eric W. Weisstein , " Book Stacking Problem " på MathWorld .
Paterson og Zwick 2009 .
Paterson et al. 2009 .
Gardner 1971 .
[video] El Jj, to (to?) Minutter for Gardners snegl på YouTube .

Bibliografi

John F. Hall , " Moro med stabling av blokker, " American Journal of Physics , vol. 73, n o 122005, s. 1107-1116 ( DOI 10.1119 / 1.2074007 ).
Mike Paterson og Uri Zwick , “ Overhang ”, Amer. Matte. Månedlig , vol. 116, n o 1,2009, s. 19-44 ( Math Reviews 2011b: 68182 , arXiv 0710.2357 , les online )- En første versjon dukket opp i “ Overhang ”, Proceedings of the 17.th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA'06) , Philadelphia, Society for Industrial and Applied Mathematics,2006, s. 231-240.
Mike Paterson, Yuval Peres , Peter Winkler og Uri Zwick, “ Maximum overhang ”, Amer. Matte. Månedlig , vol. 116, n o 9,2009, s. 763-787 ( Math Reviews 2011b: 68183 , arXiv 0707.0093 , les online ).
Martin Gardner , Martin Gardners sjette bok om matematiske spill fra "Scientific American" , WH Freeman & Co Ltd,januar 1971, 6 th ed. , 262 s. ( ISBN 978-0-7167-0944-2 ).

Ekstern lenke

(no) Eric W. Weisstein , “ Book Stacking Problem ” , på MathWorld