Isoperimetrisk kvotient

Den isoperimetriske kvotienten er en dimensjon uten dimensjon som gjør det mulig å evaluere rundheten eller sfærisiteten til en overflate eller et fast stoff. Det avhenger av formen på det studerte objektet og ikke av størrelsen. Opprinnelig definert i planen om å sammenligne to flater med samme omkrets, er den knyttet til alle isoperimetri problemer .

Begrepet blir deretter generalisert til de øvre mellomrom mens du holder samme navn.

I kildene finner vi flere ikke-ekvivalente uttrykk for den isoperimetriske kvotienten.

I planen

Vi betrakter en målbar overflate $S som$ har en rettbar kant , det vil si at den har et begrenset areal og omkretsen er av endelig lengde.

Definisjon med henvisning til platen

Den isoperimetriske kvotienten til S kan defineres som forholdet mellom arealet av overflaten og arealet av den maksimale overflaten oppnådd for samme omkrets. Det er da alltid et tall mellom 0 og 1, som når 1 når overflaten er en disk.

Hvis $A$ er arealet til S og $p$ sin omkrets, er den isoperimetriske kvotienten q 1 lik: ${\ displaystyle q_ {1} = 4 \ pi {\ frac {A} {p ^ {2}}}}$

Eksempel: den isoperimetriske kvotienten til en vanlig polygon med n sider er: ${\ displaystyle q_ {1} = {\ frac {\ pi} {n \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}}}$

Definisjon ved sammenligning av areal og omkrets

Den isoperimetriske kvotienten kan derimot defineres som forholdet mellom kvadratet av omkretsen og arealet, ${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {p ^ {2}} {A}}}$ Med denne nye betydningen når den isoperimetriske kvotienten et minimum på $4π$ for disken og kan ta uendelig store verdier når S-området har en tendens til 0 og dens omkrets forblir konstant.

I rommet

For en solid $K$ av volum $V$ og overflate $S$ finner vi de to definisjonene

Med henvisning til ballen:

${\ displaystyle q_ {1} = 36 \ pi {\ frac {V ^ {2}} {S ^ {3}}}}$

Ved sammenligning mellom volum og areal:

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {S ^ {3}} {V ^ {2}}}}$

Kvotienten $q 1$ varierer fra 0 til 1 og når sitt maksimale for ballen. Kvotienten $q 2$ varierer fra $36π$ til uendelig og når sitt minimum for ballen.

Den isoperimetriske kvotienten til et fast stoff bør ikke forveksles med forholdet mellom areal og volum .

Overlegne dimensjoner

For en kompakt K i et euklidisk rom med dimensjon n levert med Lebesgue-tiltaket , defineres ofte den isoperimetriske kvotienten av likheten: ${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {({\ text {Vol}} \, \ partial K) ^ {n}} {({\ text {Vol}} \, K) ^ {n-1} }}}$ hvor er grensen til K. ${\ displaystyle \ delvis K}$

Dette kvotienten når sitt minimum for ballen.

Noen ganger finner vi en tredje definisjon av den isoperimetriske kvotienten: ${\ displaystyle q_ {3} = {\ frac {{\ text {Vol}} \, \ partial K} {({\ text {Vol}} \, K) ^ {\ frac {n-1} {n} }}}}$

Merknader og referanser

" Isoperimetric quotient (IQ) number of a closed curve ", The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4)
Se isoperimetric teorem
Eric W. Weisstein, " Isoperimetric quotient ", CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , 2002 s. 1546
Chakerian, GD “Den isoperimetriske kvoten: En annen titt på en gammel favoritt.” The College Mathematics Journal, vol. 22, nei. 4, 1991, s. 313–315. [www.jstor.org/stable/2686234 JSTOR]
Kremer, Hermann og Weisstein, Eric W. “ Isoperimetrisk kvotient fra MathWorld - en Wolfram-nettressurs.
Peter M. Gruber, konveks og diskret geometri , Springer Science & Business Media, 2007, s. 203
Master 2 eksamen i modellering matematikk , Pierre og Marie Curie University, 2018

Se også

Utvid graf for en definisjon av isoperimetrisk tall innenfor rammen av grafteori