D'Alemberts styre

Den regelen om d'Alembert (eller kriterium d'Alembert ), er oppkalt etter matematikeren franske Jean le Rond d'Alembert . Det er en konvergens test for en serie med positive vilkår.

I visse tilfeller gjør det det mulig å etablere den absolutte konvergensen av en serie med komplekse eller vektortermer, eller tvert imot dens divergens.

Stater

La $( u n ) være$ en sekvens av strengt positive realer. Vi noterer oss og de nedre og øvre grenser for de påfølgende kvotientene: $\ Ell$ $L$

{\ displaystyle 0 \ leq \ ell: = \ liminf {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq L: = \ limsup {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq + \ infty}

Hvis , så konvergerer den generelle termen serie $u$ $n$ . ${\ displaystyle L <1}$
Hvis , så har ikke sekvensen en tendens til 0 (derfor varierer serien omtrent ). ${\ displaystyle \ ell> 1}$

Ja , vi kan ikke konkludere med noe: dette er det usikre tilfellet med d'Alemberts styre. ${\ displaystyle \ ell \ leq 1 \ leq L}$

Merknader

D'Alemberts styre kan demonstreres direkte, men kan også utledes fra Cauchys styre , takket være Cesàros lemma .
I det usikre tilfellet kan vi prøve Cauchys regel , som er mer presis. ${\ displaystyle \ ell \ leq 1 \ leq L}$
Når sekvensen innrømmer en grense , blir uttalelsen forenklet fordi . I det usikre tilfellet kan vi prøve Raabe-Duhamel-regelen . ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ right)}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle \ ell = \ lambda = L}$ $\ lambda = 1$
D'Alembert styre kan brukes til å studere konvergens av en sikt serie i en normert vektorrom E , ved å analysere serie $cr u n$ av normer. Hvis $L <1$ og hvis E er komplett (for eksempel hvis E = ℝ eller ℂ), er vektorserien absolutt konvergent, mens hvis $ℓ > 1$ , er den grovt divergerende.

Merk

For en demonstrasjon, se for eksempel "D'Alembert Rule" i leksjonen om numeriske serier på Wikiversity .