Absolutt konvergens
I matematikk konvergerer en seriell digital virkelig eller kompleks absolutt hvis per definisjon serien av absolutte verdier (eller moduler ) er konvergent . Denne definisjonen kan utvides til serier med verdier i et normalisert og komplett vektorrom , nemlig et Banach-rom .
∑uikke{\ displaystyle \ sum u_ {n}} ∑|uikke|{\ displaystyle \ sum | u_ {n} |}
I alle disse sammenhengene er denne tilstanden tilstrekkelig til å sikre konvergensen av selve serien .
∑uikke{\ displaystyle \ sum u_ {n}}
Analogt konvergerer integralen til en funksjon med reelle eller komplekse verdier absolutt hvis definisjonen integralen til den absolutte verdien (eller av modulen) til funksjonen er konvergent (funksjon i L 1 ).
Den absolutte konvergensen av serier eller integraler er nært knyttet til summabilitet (av familier eller funksjoner ): det innebærer sterkere egenskaper enn enkel konvergens.
Helt konvergerende digitale serier
En serie med reelle eller komplekse termer konvergerer absolutt når serien med generelle termer konvergerer. I dette tilfellet konvergerer også serien og den trekantede ulikheten generaliserer til
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}} |påikke|{\ displaystyle | a_ {n} |}∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
|∑ikke=0+∞påikke|≤∑ikke=0+∞|påikke|{\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ right | \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | a_ {n} |}Hvis serien er konvergent, men ikke absolutt konvergent, sies den å være semi-konvergent .
Eksempel
Den
vekslende harmoniske serien er semi-konvergent.
∑ikke≥1(-1)ikkeikke{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}}}
Seriens oppførsel i reelle termer
I tilfelle der vi har å gjøre med en serie med reelle tall, har den forrige setningen et elementært bevis som gir tilleggsinformasjon om mulig oppførsel.
Hvis vilkårene i serien er virkelige, kan vi skille de positive og negative vilkårene. For dette må vi vurdere begrepene positiv del og negativ del av begrepetpåikke{\ displaystyle a_ {n}}påikke+{\ displaystyle a_ {n} ^ {+}}påikke-{\ displaystyle a_ {n} ^ {-}}påikke{\ displaystyle a_ {n}}
påikke+=maks(påikke,0)påikke-=maks(-påikke,0){\ displaystyle a_ {n} ^ {+} = \ max (a_ {n}, 0) \ qquad a_ {n} ^ {-} = \ max (-a_ {n}, 0)}Disse to begrepene er positive, den ene er null og den andre lik den absolutte verdien av . Så det
påikke{\ displaystyle a_ {n}}
påikke=påikke+-påikke-|påikke|=påikke++påikke-{\ displaystyle a_ {n} = a_ {n} ^ {+} - a_ {n} ^ {-} \ qquad | a_ {n} | = a_ {n} ^ {+} + a_ {n} ^ {- }}Serien og i positive termer øker serien av delsummen; de konvergerer ellers har en tendens til uendelig. Absolutt konvergens og semi-konvergens kan formuleres ved hjelp av disse to seriene.
∑påikke+{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {+}}∑påikke-{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {-}}
- Når serien konvergerer absolutt, ved sammenligning av positive serier, konvergerer serien og begge , derfor også av linearitet .∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}∑påikke+{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {+}}∑påikke-{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {-}}∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
- Når serien er semi-konvergent, nødvendigvis både serie og avviker (hver har en uendelig sum). Konvergens gjøres derfor ved kompensasjon mellom de positive og negative vilkårene.∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}∑påikke+{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {+}}∑påikke-{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {-}}
Eiendommen "absolutt konvergens innebærer konvergens" kan deretter utvides til serier med komplekse verdier ved å skille reelle og imaginære deler på samme måte.
Egenskaper til absolutt konvergerende serier
Hvis en serie med reelle eller komplekse termer er helt konvergent, har den følgende spesielle egenskaper, gyldig for endelige summer, men generelt falske for uendelige summer:
∑ikke=0+∞påσ(ikke)=∑ikke=0+∞påikke{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a _ {\ sigma (n)} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n}}Hvis serien bare er semi-konvergent, viser
Riemanns teorem at en endring i ordens rekkefølge kan føre til en divergerende serie, eller til en konvergent serie av vilkårlig valgt sum.
(∑s=0+∞pås)(∑q=0+∞bq)=∑s=0+∞(∑ikke=0spåikkebs-ikke){\ displaystyle \ left (\ sum _ {p = 0} ^ {+ \ infty} a_ {p} \ right) \ left (\ sum _ {q = 0} ^ {+ \ infty} b_ {q} \ right ) = \ sum _ {s = 0} ^ {+ \ infty} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {s} a_ {n} b_ {sn} \ right)}En annen måte å oppnå disse egenskapene for uendelige summer er å vurdere forestillingen om sammenleggbar familie , veldig nær egenskapen til absolutt konvergens for numeriske serier.
Utvidelse til serie med vektorverdier
Betrakt den bredere sammenheng av en vektor normeres plass E . En serie med vektortermer konvergerer absolutt når serien med generelle termer konvergerer. Uten ytterligere forklaring, ingenting er ingen bevis for at en grense eksisterer i E . Vi kan bare si at hvis denne grensen eksisterer, økes dens norm med .
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}‖påikke‖{\ displaystyle \ | a_ {n} \ |}∑‖påikke‖{\ displaystyle \ sum \ | a_ {n} \ |}
I et Banach-rom innebærer den absolutte konvergensen av en serie dens konvergens. Det er faktisk en ekvivalens: hvis E er et normert vektorrom der en absolutt konvergent serie er konvergent, så er E komplett.
Helt konvergent integrert
Likeledes en integral:
∫PÅf(x) dx{\ displaystyle \ int _ {A} f (x) ~ {\ rm {d}} x}konvergerer absolutt hvis integralen av den tilsvarende absolutte verdien er endelig:
∫PÅ|f(x)| dx<∞.{\ displaystyle \ int _ {A} | f (x) | ~ {\ rm {d}} x <\ infty.}
Merknader og referanser
-
Dersom E er den ℚ vektorrom ℚ, serien konvergerer i ℝ men hvis grense er irrasjonell , avviker den i E .
-
For en demonstrasjon, se for eksempel kapittelet "Banach-rom - fullstendighet" i leksjonen "Standardvektorrom" på Wikiversity .
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">