Krumningsradius

Den krumningsradius av en linje, vanligvis notert ρ (greske bokstaven rho) indikerer graden av krumning: jo høyere krumningsradien er, desto nærmere den linjen er en rett linje, og vice versa. Matematisk er krumningsradiusen den absolutte verdien av radiusen til sirkelen som tangerer kurven på ønsket punkt, en sirkel som "følger denne kurven best mulig" der. Denne sirkelen kalles den osculerende sirkelen ved kurven på dette punktet. Krumningsradien er også den omvendte av krumningen γ: ρ = 1 / γ.

Radius av krumning av en plan bue

Tenk på et plan utstyrt med et ortonormalt koordinatsystem, og en bue i dette planet.

Hvis buen er definert av en parametrisk ligning ( x ( t  ), y ( t  )), er krumningsradien:

ρ(t)=(x′2+y′2)3/2x′y"-y′x"medx′=dxdt,x"=d2xdt2,y′=dydtogy"=d2ydt2{\ displaystyle \ rho (t) = {\ frac {(x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {x'y '' - y'x ''} } \ quad {\ text {with}} \ quad x '= {\ frac {dx} {dt}}, \ quad x' '= {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} }, \ quad y '= {\ frac {dy} {dt}} \ quad {\ mbox {et}} \ quad y' '= {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} }}

spesielt i polarkoordinater , , med to ganger differensierbar, x(t)=r(t)cos⁡(t){\ displaystyle x (t) = r (t) \ cos (t)}y(t)=r(t)synd⁡(t){\ displaystyle y (t) = r (t) \ sin (t)}r(t){\ displaystyle r (t)}

ρ(t)=(r′2(t)+r2(t))3/22r′2(t)+r2(t)-r(t)r"(t){\ displaystyle \ rho (t) = {\ frac {(r '^ {2} (t) + r ^ {2} (t)) ^ {3/2}} {2r' ^ {2} (t) + r ^ {2} (t) -r (t) r '' (t)}}}

når nevneren er ikke-null.

Hvis buen er definert av en kartesisk ligning y = ƒ ( x ), er radiusen:

ρ(x)=|(1+y′2)3/2y"|{\ displaystyle \ rho (x) = \ left | {\ frac {(1 + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {y ''}} \ right |}

Når derivatet er lite ( y ' << 1), det vil si når tangenten er nær det horisontale, tar vi ofte tilnærmingen (1 + y' 2 ) donc 1 og derfor

applikasjoner

• I geometrisk optikk gjør krumningsradiusen det mulig å skille forskjellige typer optiske linser . Faktisk består en linse av et inn- og utgangsflate, som kan være buet eller flat. Dermed klassifiseres linsene takket være egenskapene til symmetri mellom de to sidene og i henhold til verdien av krumningsradien.
• Krumningsradien til en jernbanelinje er ofte begrenset av et minimum for å tillate tog å bruke den, siden de ikke kan svinge for brutalt med risiko for å spore av (trukket av sin treghetskraft).).

Se også

• Bue krumning
• Sinuosity

Referanser

1. (in) Mr. Bourne, "  8. Radius of Curvature  " på http://www.intmath.com (åpnet 4. juni 2017 )