Avgrens koordinatsystemet
I affin geometri en affin ramme et affinert rom for å knytte så-til-en til et hvilket som helst punkt i rommet, et sett med koordinater med verdier i kroppen som er definert det tilknyttede vektorrommet. Et affint kart er definert og helt bestemt av bildet av et affinekoordinatsystem.
Terminologien er ikke akkurat fast: under navnet affine benchmark finner vi to forskjellige, men sterkt koblede forestillinger. For det første består en affin referanseramme, også kalt i dette tilfellet kartesisk ramme , av et punkt i det affineområdet som er vurdert og en base av det tilhørende vektorrommet. For det andre er et affinekoordinatsystem, også kalt i dette tilfellet affinbase , det ordnede punktet i punktene i affinområdet, slik at settet med punkter ikke er inneholdt i et annet affint rom enn hele rommet ( genererende familie ) og at ingen poeng tilhører det affine underrommet som genereres av de gjenværende poengene ( gratis raffinementfamilie eller uavhengige raffinementpoeng ). Et kartesisk koordinatsystem gjør det veldig enkelt å definere et affinert grunnlag og omvendt.
Når det gjelder et affinert rom med begrenset dimensjon n , består en affin referanseramme i betydningen kartesisk referanseramme av et punkt og n vektorer (i en viss rekkefølge), en affin referanseramme i betydningen affin base består av n + 1 poeng, igjen i en bestemt rekkefølge.
De kartesiske koordinatene uttrykkes naturlig i en kartesisk koordinat affin ramme for å fornemme og barsentriske koordinater uttrykkes naturlig i en affin ramme under affin base, også noen ganger merket barisentrisk .
Affine eller kartesisk koordinatsystem
Definisjon
I et affinert rom der vektorrommet bærer sin struktur på kroppen K , er en affin ramme eller kartesisk ramme et par
E=(E,V){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (E, V)}V{\ displaystyle V}
R=(O;e){\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (O; e)},
hvor er et punkt av (kalt opprinnelsen til koordinatsystemet ), og er hvilken som helst base av .
O{\ displaystyle O}E{\ displaystyle E}e{\ displaystyle e}V{\ displaystyle V}
Ethvert punkt av , er lokalisert ved sine kartesiske koordinater i rammen : de er koordinatene til vektoren i bunnen av . Når er av begrenset dimensjon n blir grunnlaget skrevet og vi har:
M{\ displaystyle M}E{\ displaystyle E}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}}}e{\ displaystyle e}V{\ displaystyle V}E{\ displaystyle E}e=(e1,e2,...,eikke){\ displaystyle e = (e_ {1}, e_ {2}, \ dots, e_ {n})}
MR=OM→e{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = {\ overrightarrow {OM}} _ {e}},
hvor betegner koordinatene til i koordinatsystemet , og betegner koordinatene til vektoren i basen .
MR∈Kikke×1{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} \ in K ^ {n \ times 1}}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}OM→e{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} _ {e}}OM→∈V{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} \ i V}e{\ displaystyle e}
Denne definisjonen er legitim på grunn av det faktum at valget av et privilegert punkt i gjør det mulig å etablere en en-til-en korrespondanse mellom punktet i rommet og vektorområdet (se affinert rom ). Opprinnelsen som velges, koordinatene til punktene til E er koordinatene til vektorene assosiert av en-til-en korrespondanse.
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}V{\ displaystyle V}
For et par punkt A og B i E følger følgende likhet umiddelbart fra definisjonen:
- PÅB→e=BR-PÅR.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} _ {e} = B _ {\ mathcal {R}} - A _ {\ mathcal {R}}.}
Likninger av referanseendring i affine rom
I samme affine dimensjonale rom , hvis og er to forskjellige referanserammer, blir koordinatene hentet fra koordinatene til det samme punktet, men i rammen , ved hjelp av følgende ligninger:
E=(E,V){\ displaystyle {\ mathcal {E}} = (E, V)}ikke{\ displaystyle n}R=(O;e){\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (O; e)}R′=(O′;e′){\ displaystyle {\ mathcal {R}} '= (O'; e ')}MR′=(x1′x2′⋮xikke′){\ displaystyle M _ {{\ mathcal {R}} '} = {\ begin {pmatrix} x' _ {1} \\ x '_ {2} \\\ vdots \\ x' _ {n} \ end {pmatrix}}}M{\ displaystyle M}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}MR=(x1x2⋮xikke){\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}}
{x1′=på11x1+på12x2+⋯+på1ikkexikke+b1x2′=på21x1+på22x2+⋯+på2ikkexikke+b2⋮xikke′=påikke1x1+påikke2x2+⋯+påikkeikkexikke+bikke{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '_ {1} = a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ dots + a_ {1n} x_ {n} + b_ {1} \\ x '_ {2} = a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ prikker + a_ {2n} x_ {n} + b_ {2} \\\ vdots \\ x '_ {n} = a_ {n1} x_ {1} + a_ {n2} x_ {2} + \ dots + a_ {nn} x_ {n} + b_ {n} \\\ end {matrix }} \ Ikke sant.}
som matrikel er skrevet , hvor er matriksen for passering for å passere fra basen til basen , ogMR′=PÅ⋅MR+B{\ displaystyle M _ {{\ mathcal {R}} '} = A \ cdot M _ {\ mathcal {R}} + B}PÅ=(påJegj)1≤Jeg,j≤ikke{\ displaystyle A = (a_ {ij}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}V{\ displaystyle V}e′{\ displaystyle e '}e{\ displaystyle e}B=(b1b2⋮bikke)=OR′.{\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {n} \ end {pmatrix}} = O _ {{\ mathcal {R}} '} .}
Forholdet mellom og er som følger:
OR′{\ displaystyle O _ {{\ mathcal {R}} '}}OR′{\ displaystyle O '_ {\ mathcal {R}}}
OR′=-PÅ⋅OR′.{\ displaystyle O _ {{\ mathcal {R}} '} = - A \ cdot O' _ {\ mathcal {R}}.}
Ligningene for referanseendring i den andre retningen (av mot ) skrives da:
R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}
MR=PÅ-1⋅MR′-PÅ-1B=PÅ-1⋅MR′+OR′.{\ displaystyle M _ {\ mathcal {R}} = A ^ {- 1} \ cdot M _ {{\ mathcal {R}} '} - A ^ {- 1} B = A ^ {- 1} \ cdot M_ {{\ mathcal {R}} '} + O' _ {\ mathcal {R}}.}
Avgrens landemerker og kanonisk affineplass
Ethvert affinekoordinatsystem i et affinert rom gjør det mulig å etablere en (affin) isomorfisme mellom og det kanoniske affineområdet. Faktisk er kartet definert av
R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}} PÅikke(K).{\ displaystyle A ^ {n} (K).}T:E→PÅikke(K){\ displaystyle T: {\ mathcal {E}} \ to A ^ {n} (K)}
T(M)=MR,{\ displaystyle T (M) = M _ {\ mathcal {R}},}for ethvert poeng ,
M{\ displaystyle M}
det vil si at kartet som assosieres på et hvilket som helst punkt av koordinatene sett på som et element av , er et bindende affint kart mellom og slik at dets gjensidige også er affin ( er en affin isomorfisme).
E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Kikke{\ displaystyle K ^ {n}}E{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}PÅikke(K),{\ displaystyle A ^ {n} (K),}T{\ displaystyle T}
Ethvert affinert rom på et felt og dimensjon n er da isomorf (oppfører seg identisk fra synspunktet til et affinert rom) til det kanoniske affineområdet. Affinomrommene som skal studeres er derfor ganske enkelt de kanoniske affineområdene (også betegnet ) som tjene som modeller .
K{\ displaystyle K}PÅikke(K).{\ displaystyle A ^ {n} (K).}PÅikke{\ displaystyle A_ {n}}
Referanse eller affin base
En affin base av rom E , som mange forfattere også kaller affin referanse, er en familie av punkter i dette rommet, fri forbedring og generator for hele rommet.
Gratis raffinementfamilie
I en det affine rom E , en familie (A I ) i ∈ I punkter E sies å være fri for avgrensning hvis ingen av punktene A j av familien tilhører subrom generert av de andre punktene (A- I ) I ∈ Jeg , jeg ≠ j . Det er faktisk flere måter å si at en familie er fri forbedring, ved å gå tilbake til det underliggende vektorområdet, eller til og med ved å bruke barycenters . Dermed er en familie gratis raffinement hvis og bare hvis den tilfredsstiller en av følgende egenskaper (alt tilsvarende):
- for en gitt j i I , vektorenes familie:
(PÅjPÅJeg→)Jeg∈Jeg,Jeg≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq j}}
er en
gratis familie ;
- for alle j i I , vektorenes familie:
(PÅjPÅJeg→)Jeg∈Jeg,Jeg≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq j}}
er en
gratis familie ;
- ingen av poengene i familien til (A i ) i ∈ I er baresenter for de gjenværende punktene;
- et gitt punkt i rommet generert av (A i ) i ∈ I a, som barycenter for (A i ), en enkelt normalisert skrift (sum av koeffisientene lik 1);
- ethvert punkt i rommet generert av (A i ) i ∈ I a, som barycenter for (A i ), en normalisert skrift (sum av koeffisientene lik 1) unik.
Plass generert
Rommet generert av en familie (A i ) i ∈ I (eller et sett) av punkter i det affine rommet E er det minste affine underområdet som inneholder alle disse punktene, dvs. skjæringspunktet mellom alle affine underrom som hver inneholder alle (A i ). Det er fremdeles settet med barycenters av (A i ). Når det genererte rommet er hele det affine rommet, sier vi også at familien er generativ. En familie er derfor en generator hvis og bare hvis for en gitt j i I familien av vektorer:
(PÅjPÅJeg→)Jeg∈Jeg,Jeg≠j{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {j} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq j}}er generator .
Base eller referanseindeks
Til slutt er et affinert grunnlag for E en fri og genererende familie (A i ) i ∈ I , og vi ser at dette tilsvarer:
(PÅ0PÅJeg→)Jeg∈Jeg,Jeg≠0{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {0} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq 0}}er et grunnlag for det tilknyttede vektorrommet, dvs.
(PÅ0;(PÅ0PÅJeg→)Jeg∈Jeg,Jeg≠0){\ displaystyle \ left (\ mathrm {A} _ {0}; \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {A} _ {0} \ mathrm {A} _ {i}}} \ right) _ {i \ i I, i \ neq 0} \ right)}er en kartesisk referanseramme av det affine rom E , en affin referanseramme i forrige forstand, idet de to forestillingene derfor er nært knyttet sammen.
Ethvert punkt i et affinert rom er barsentrisk av punktene i en barsentrisk referanseramme, listen over barsentriske koeffisienter er unik bortsett fra en multiplikasjonsfaktor (unik hvis vi antar at summen av koeffisientene må være 1), dette er de barsentriske koordinatene .
Ferdig dimensjon
I endelig dimensjon n har alle affine basene samme kardinal n + 1, alle de frie raffineringsfamiliene har en kardinal på det meste lik n + 1, alle generasjonsfamiliene har en kardinal minst lik n + 1. Disse egenskapene er utledet fra de som er analoge for basene , fri familie og vektorgenererende familie ved ekvivalensene i de foregående avsnittene.
Spesielt er et affinert grunnlag en fri familie på n + 1 poeng, det vil si (A 0 , ..., A n ) som tilfredsstiller en av vilkårene i avsnittet #Familiefri forbedring . Så:
- en affin base av en affin linje består av to forskjellige punkter derav;
- en affin base av et affin plan består av 3 ikke-justerte punkter;
- et affint grunnlag av et affint rom av dimensjon 3 består av 4 ikke-planare punkter.
Merknader og referanser
-
Vi finner denne definisjonen av affine eller kartesisk koordinatsystem for eksempel i Ladegaillerie 2003 , s. 19.
-
Fresnel 1996 snakker om et koordinatsystem eller affin base, det forrige begrepet kalles et kartesisk koordinatsystem. Lelong-Ferrand 1985 bruker også affin benchmark,. Ladegaillerie 2003 bruker affine base for denne forestillingen og affine referansereserven for den forrige.
-
Fresnel 1996 , s. 11
-
Se Fresnel 1996 , s. 11 eller Ladegaillerie 2003 , s. 27
Se også
Relaterte artikler
Bibliografi
-
Jean Fresnel , moderne metoder i geometri , Paris, Hermann ,1996, 408 s. ( ISBN 2-7056-1437-0 ).
-
Yves Ladegaillerie , Geometry: affine, projective, euclidean and anallagmatic , Paris, Ellipses ,2003, 515 s. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
-
Jacqueline Lelong-Ferrand , Fundamenter for geometri , Paris, PUF ,1985, 287 s. ( ISBN 2-13-038851-5 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">