Én-parameter undergruppe

En undergruppe til en parameter i en gruppe i Lie ekte G er en Lie gruppe morphism c : ℝ → G . Mer spesifikt er c en differensierbar kontroll:

{\ displaystyle \ forall s, t \ in \ mathbb {R}, c (t + s) = c (t) c (s)}

Eiendommer

Ved å utlede denne relasjonen med hensyn til variabelen s og ved å evaluere ved s = 0, kommer den:

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, c '(t) = T_ {e} L_ {c (t)} \ left (c' (0) \ right)}

hvor L c ( t ) betegner venstre multiplikasjon med c ( t ). En undergruppe til en parameter som oppnås bane av det nøytrale element i et vektorfelt invariant igjen av G . Et slikt felt X bestemmes av verdien X ( e ) ved det nøytrale elementet e . Det er derfor et utvetydig forhold mellom undergruppe med en parameter, og tangenten plass g fra G til E :

med hvilken som helst undergruppe med en parameter c av G er knyttet vektoren c ' (0) i g ;
til en hvilken som helst vektor v av g er undergruppen assosiert med en parameter c : ℝ → G definert av differensiallikningen c '( t ) = T e L c ( t ) [ v ] og starttilstanden c ' (0) = v .

Én-parameter-undergrupper griper naturlig inn i definisjonen av det eksponentielle kartet til Lie-gruppen G :

det eksponentielle kartet er kartet exp: g → G definert av exp ( v ) = c (1) der c er en-parameter undergruppe av G assosiert med X ;
hvilken som helst enparametergruppe c skrives unikt c ( t ) = exp ( t . v ) hvor v = c '(0).

Eksempler

Kommutativ løgngruppe

Ethvert endelig dimensjonalt reelt vektorrom E er en Lie-gruppe, den interne loven er vektortilsetningen. Tangensrommet ved 0 av E identifiserer seg naturlig med E som et reelt vektorrom. Undergruppene til en parameter E er ganske enkelt applikasjoner t ↦ t . v hvor v løper E : som er parametriserte vektorlinjer E .

Klassifiseringen av kommutative Lie-grupper er kjent og elementær. Enhver kommutativ Lie gruppe G er realisert som en kvotient av et vektorrom S ved en diskret undergruppe, en nettverks E . Undergrupper en parameter G oppnås således ved å passere rett kvotienten parameterisert E .

Et viktig eksempel er torus ℝ n / ℤ n . Énparametergruppene er kartleggingen c v : t → t . v mod ℤ n der v krysser ℝ n . Ulike atferd vises:

hvis v er proporsjonalt med et element i gitteret ℤ n , er c v et periodisk kart, en nedsenking av den virkelige linjen og en lokal diffeomorfisme av ℝ på en sirkel av ℝ n / ℤ n ;
ellers er c en fordypning av den virkelige linjen, men bildet er ikke en variant. I dimensjon n = 2 er bildet tett i torusen. I høyere dimensjon er vedheftet til bildet en diffeomorf undervariasjon til en torus, og alle mellomdimensjonene som går fra 2 til n er oppnåelige.

Rotasjonsgruppe

For en hvilken som helst ikke-null vektor v av ℝ 3 , kartet R assosiere med t rotasjonen av orienterte akse ℝ. v og vinkel t er en undergruppe med en parameter av rotasjonsgruppen SO (3) i det euklidiske rommet.

Dette er nøyaktig alle en-parameter-undergruppene til SO (3). Det er bemerkelsesverdig å merke seg at de alle er periodiske applikasjoner.

Som en påminnelse er det vanlig å parametere SO (3) -gruppen etter enhetskvaternjoner .

Undergruppene med en parameter av S 3 har som bilder spor av de virkelige vektorplanene til H som inneholder 1. Dette er lokale diffeomorfismer av ℝ i store sirkler av S 3 .

Én-parameter gruppe av diffeomorfismer

Definisjonen kan lett generaliseres til løgngrupper av uendelig dimensjon. Standardeksemplet er gruppen av diffeomorfismer av en differensialmanifold M med dimensjon n . Det er for eksempel mulig å introdusere forestillingen om en gruppe med en diffeomorfismparameter .

En gruppe med forskjellige parametere er et differensierbart kart f : ℝ × M → M slik at seksjonene f t er diffeomorfismer av manifolden M som tilfredsstiller:

{\ displaystyle \ forall t, s \ in \ mathbb {R}, f_ {t + s} = f_ {t} \ circ f_ {s}}

Det er rett og slett en differensierbar handling på ℝ millioner .

Denne oppfatningen skal sammenlignes med vektorfeltet:

til hvilken som helst gruppe med en diffeomorfismeparameter f av M er assosiert med et unikt felt av vektorer X på M gitt av: ${\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, {\ frac {d} {dt}} f_ {t} (x) = X \ left [f_ {t} (x) \ right]}$ ;
Derimot, hvis M er kompakt , hvilket som helst vektorfeltet X på M er forbundet med en enkelt gruppe til en parameter diffeomorphism f bestemmes av forholdet ovenfor, og som kalles strømningsfelt X .

Feltet sies da å være globalt .

Hvis M har mer struktur ( Riemannian manifold , symplectic manifold eller contact manifold for eksempel), vil vi kanskje at seksjonene f t skal bevare denne strukturen; i dette tilfellet er begrepet diffeomorfisme erstattet av et tilpasset ordforråd.