Det statiske faste stoffet er grenen av det statiske som studerer balansen mellom deler i en mekanisme . Det er et viktig ledd i størrelsen på virkelige mekaniske systemer.
Forenklingene av punktmekanikken er basert på det faktum at punktet er uforanderlig ved rotasjon, og at alle kreftene påføres materialet. Da er kreftene nok til å endre posisjonen. For faste stoffer, som består av en uendelig mengde materielle punkter, er mulige forskyvninger, også kalt frihetsgrader , av to typer: oversettelser ( 3 hovedretninger) og rotasjoner (rundt disse tre retningene). Mens oversettelser kan bare være forårsaket av krefter , blir rotasjoner generert av momenter av disse krefter, eller andre par av krefter.
Når likevekten til et punkt krever etablering av bare 3 algebraiske forhold (vektors ligning av krefter i 3 dimensjoner ), krever det for det faste stoffet å ta hensyn til 3 ekstra ligninger (vektors ligning av momenter). Det grunnleggende prinsippet for statikk består da av den resulterende setningen (null sum av krefter) og øyeblikkssatsen (null sum av øyeblikk).
Studien av likevekten til et fast stoff krever alltid å ta hensyn til disse to setningene , selv om visse enkle tilfeller, behandlet i punktmekanikk, ser ut til å være løst med bare en av de to delene . Som en generell regel er det ikke mulig å behandle de to aspektene (krefter og øyeblikk) hver for seg: det er virkelig et komplekst 6-dimensjonalt problem .
På den annen side tar statikken til det faste stoffet og mer generelt mekanismene hensyn til de "overførbare kreftene" i en mekanisk forbindelse . Studiet av disse forbindelsene gir a priori og utvetydig visse egenskaper ved kreftene og momentene til handlinger mellom faste stoffer. Målet er fullstendig bestemmelse av alle disse ukjente anstrengelsene.
Målet med mekanikken er å bestemme alle kreftene som brukes på et system, fra kunnskapen til en del av dem. Når det gjelder mekanismene, er det også et spørsmål om å kjenne til belastningene i alle koblingene. Mekanikeren har på forhånd ingen informasjon om selve arrangementet av disse kreftene. Imidlertid, for hver forbindelse, hvis oppførsel er kjent, er visse komponenter (krefter eller momenter) null eller tvert imot overførbare. Dermed kan vi si at reaksjonen til en plan støtte på en belegningsstein er en kraft som nødvendigvis er vinkelrett på kontakten hvis det ikke er noen friksjon. Når studien er ferdig, kan vi beskrive hver tilkoblingskraft som deretter blir kraften som faktisk overføres.
Et fast stoff er et volum, en del av et tredimensjonalt rom. Imidlertid kan vi i en rekke tilfeller bruke plangeometri for å løse problemene: når kraftvektorene bare har to komponenter. Vi vil anta at dette planet er (O, x , y ) planet .
Denne forenklingen er mulig hvis:
Merk at et par kan beskrives som to motstridende krefter. Ettersom kraftvektorene er i ( x , y ) -planet , er øyeblikkets vektorer nødvendigvis av aksen z . Vi kan derfor uttrykke øyeblikkene som en skalar, positive hvis momentvektoren er i retning av z- aksen , negativ i motsatt retning.
Under planproblemhypotesen er de overførbare mekaniske handlingene tre i antall: krefter i henhold til x og y, øyeblikk i henhold til z. Det er derfor på det meste tre tilkoblingsgrader. visse mekaniske forbindelser blir dermed ekvivalente; for eksempel kan en kuleledd overføre de samme kreftene som en sving på z-aksen.
I praksis brukes derfor bare tre mekaniske forbindelser blant de ti elementære forbindelsene:
Disse tre gradene av forbindelse brukes til å blokkere tre frihetsgrader: oversettelser langs x og y og rotasjon langs z. Dette er for eksempel tilfellet med forbindelsesstang-veivsystemet med tanke på enden av veiv, av toget som kua ser forbi, av mekanismen til en klokke osv. På den annen side må vi ikke forveksle hypotesen om et planproblem med statisk med hypotesen om planproblem i kinematikk; hypotesen om et planproblem i dynamikk som kombinerer de to.
Hvis forbindelsene er perfekte, har vi tilleggsinformasjon om de overførbare kreftene i disse forbindelsene, nemlig:
Disse dataene skal føres i balansen over krefter utenfor et fast stoff. Studien vil føre til identifisering av alle kreftene som effektivt overføres (inkludert i settet med overførbare krefter), nemlig for hver styrke, dens anvendelsespunkt, dens handlingslinje, retning og intensitet.
Grafisk metodeMange planproblemer kan løses ved hjelp av en grafisk metode ; den eneste problematiske saken er tilstedeværelsen av et par. Disse grafiske metodene viser seg å være raskere enn den analytiske metoden, mye enklere når antall krefter er redusert, og til slutt relativt presise (presisjonen avhengig av den anvendte skalaen).
I denne sammenheng er mekaniske handlinger representert av kraftvektorer. Som fører til vurdering for hver handling:
Studien er bare ferdig hvis disse tre karakteristikkene (punkt, linje og vektor) er definert for hver kraft. Noen få sjeldne tilfeller krever ikke en fullstendig studie.
Når problemet inkluderer en kraft av dreiemomenttypen, er oppløsningen delvis analytisk.
Øyeblikk og par av krefterUnder planet problemet med antagelsen, ekspresjonen av tiden kan endres. Vi vurderer ikke lenger rotasjonene rundt en akse, men bare i Z-retning eller faktisk rundt et punkt (det vil si rundt en akse i Z-retning som går gjennom det betraktede punktet). Ettersom bare en komponent ikke er null, blir vektorrepresentasjonen skalar.
Moment of a forceLikevekten til et fast stoff betyr at det ikke beveger seg (i en gitt referanseramme) heller:
Vi kan da vurdere kapasiteten til en styrke for å få den solide til å dreie rundt et gitt punkt. Denne størrelsen kalles kraftmoment. Det er ikke behov for en virkelig sving. Dette øyeblikket avhenger av flere faktorer: intensiteten til kraften, de relative posisjonene til kraften og punktet.
M (F) = +/- dF (i N m ) der d spakarm er (minimum) avstand mellom punktet og kraftens handlingslinje. tegnet blir verdsatt i henhold til om kraften har en tendens til å rotere i direkte (x til y) eller indirekte (y til x) retning. Med andre modeller som torsor, oppstår ikke skiltvalget; den er direkte utledet fra beregninger, og dens betydning er knyttet til orienteringen av rommet (direkte trihedron).
Det er interessant å se nå tilfeller av nullitet for øyeblikket til en styrke. Fra ovenstående ligning kan vi enkelt utlede to:
Hvis to motsatte krefter (derfor av samme intensitet), gjelder den samme kroppen etter to forskjellige handlingslinjer (derfor strengt parallelle) og fjernt fra d , er det lett å forestille seg at disse kreftene blir kompensert for, men likevekten til kroppen ser ut til å være uforsikret. Denne ordningen kalles et par krefter . For å verifisere dette, ved å bruke metoden som er sett ovenfor, la oss beregne summen av øyeblikkene til disse to kreftene, på forskjellige punkter i rommet.
I alle tilfeller har denne summen den samme verdien C = - dF . Denne verdien uavhengig av betraktet dreiepunkt kalles et moment . Bak navnet par forsvinner styrkene (siden de kompenserer hverandre). I virkeligheten, i naturen, eksisterer ikke et par (uten krefter til å generere det). Parets interesse er dette nullresultatet. Alle vil ha opplevd å løsne et bilhjul med en sveiv (enkelt kraft og kraftmoment i forhold til skruens akse) som lett riper, eller med et kryss (2 motsatte krefter som danner et par) og sørger for ikke bare større løsningsintensitet, men også bedre verktøystabilitet. I en elektrisk motor er viklingen slik at det alltid er to "ender av ledningen" symmetrisk anordnet i forhold til rotasjonsaksen og krysset av strømmer som induserer to motsatte Laplace-krefter , dvs. et elementært moment.
Mer generelt er et par ikke-null summen av krefter som resulterer i at de forsvinner. For resten vil hvert par som kunngjøres ikke lenger vise kreftene som genererer det.
Denne elementære saken gjør det mulig å vise hvordan et problem med statikk ikke dissosierer krefter og øyeblikk. Ikke bare studien tillater bestemmelse av alle kreftene, men også de geometriske likevektsbetingelsene. For denne casestudien, som for de følgende, gir det grunnleggende prinsippet for statikk oss følgende forhold:
Tenk på studiet av en pendel: Figur 1 nedenfor gir enhver posisjon. Målet er å bestemme likevektsforholdene. resultatene av eksterne handlinger gir oss:
Likevektsligningen relatert til kreftene gir derfor: Det som definerer handlingen i pivoten entydig, de to kreftene danner deretter et par. Den foreslåtte posisjonen (figur 2) er derfor ikke en likevektsposisjon.
Ligningen av øyeblikk, for eksempel beregnet ved punkt A, gir oss: enten
Som tilsvarer å si at A tilhører vektlinjens handlingslinje. Vi ville ha kommet til den samme konklusjonen, kanskje vanskeligere, ved å beregne øyeblikkene når som helst. Som hovedregel må beregningspunktet for øyeblikkene velges på et kriterium om enkelhet i beregningen. Her sørger A eller G (tyngdepunkt) for annullering av et av øyeblikkene av kraft.
Derfor er de eneste likevektsposisjonene de der pendelen er vertikal, under (stabil posisjon) eller over aksen (ustabil posisjon).
Oppsummert, for et fast stoff som er utsatt for to krefter skal være i likevekt:
For den grafiske løsningen av et problem med statikk tilsvarer disse geometriske forholdene uttalelsen om det grunnleggende prinsippet om statikk.
3-krafts likevektstilfelleDette er absolutt det hyppigste tilfellet i mekanismer som ikke er veldig hyperstatiske. Som i den forrige studien, gjør samtidig anvendelse av de to setningene det mulig å bestemme både kreftene, men også deres arrangement.
Tenk på saken med vognen som holdes i en nedstigning av sålebremsen på forhjulet, bakhjulet er fritt. Bare vognens vekt er kjent.
En første vurdering av eksterne handlinger viser:
Det virker vanskelig å etablere nullsummen av styrkene siden to av dem er ukjente. Men vi kan skrive . Geometrisk resulterer dette i konstruksjonen av en lukket trekant, hvor bare den ene siden for øyeblikket er perfekt definert.
Minst to handlingslinjer er kjent her: de av handlingen i B og vekten. De stemmer overens på et punkt som vi vil betegne med K. Deres respektive øyeblikk i K er derfor null. Hvis vi bruker teoremet til dette punktet K, får vi:
enten fra hvor
Nødvendigvis tilhører K handlingslinjen i A. Som tilsvarer å si at de tre linjene er samtidige i K. Vi vet nå retningen på handlingslinjen i A.
La oss gå tilbake til den første ligningen; det er da mulig å konstruere trekanten. Ved først å plotte den kjente vekten, plottes en linje henholdsvis parallell med linjene til de to andre handlingene i hver ende. Trekanten blir deretter dannet og avlesningen av lengden på sidene gir resultatet. Denne metoden pålegger til og med betydningen av mekaniske handlinger. Det vil forbli å kontrollere at handlingen i A tilfredsstiller Coulombs lover om friksjon for å validere likevekten.
Oppsummert: for et system utsatt for 3 eksterne krefter , inkludert to samtidige :
Hvis de to kjente linjene ikke hadde vært samtidig, ville de ha vært parallelle. Dette tilsvarer tilfellet med spaken gitt ovenfor. Når det gjelder parallell kraft, er det nødvendig med en beregning (relatert til øyeblikkets skriving) for å bestemme et forhold mellom kreftene.
Likevektstilfelle med 2 krefter og et parHvis et fast stoff blir utsatt for to krefter (av punkt og linjer med forskjellige handlinger), og et par krefter (derfor virkning av null resulterende kraft), følger likevekten i henhold til det grunnleggende prinsippet om statikk følgende konsekvenser:
For eksempel en dynamo som aktiveres av en sveiv : viklingene induserer et dreiemoment hvis intensitet er relatert til den genererte elektriske strømmen . Handlingen på veivsystemet, som i det gunstigste tilfellet er omkrets (tangent til sirkelen beskrevet av hånden). Til slutt er sveiven koblet til rammen ved hjelp av en styring langs en svingeforbindelse , hvis overførbare kraft påføres aksen. Fra det første forholdet trekker vi frem retningen på lagerets handling, som dreier med hånden; Fra den andre etableres deretter forholdet mellom skyvekraftens virkning og dreiemomentet av elektrisk opprinnelse.
Den friksjon berører den statiske virkemåten av mekaniske forbindelser . Noen modeller som Coulombs lover beskriver denne oppførselen. Derfor, selv om dette kompliserer problemet, induserer det ikke bare en ekstra statisk ukjent, men i visse tilfeller reduserer det antallet.
Det er noen ganger obligatorisk å vurdere friksjon for å løse et problem, for eksempel å balansere en skala , eller dimensjonere en clutch .
Dette er for eksempel tilfelle av en aksel som deltar i en spiral utstyr , en vinkel overføringssystem, eller hvorfor ikke en sykkel kranksett når vi er interessert i konsekvensene av for langt fra hverandre pedalene.
De torsor tilbyr en global og helhetlig skrivingen av krefter ( krefter og momenter ) som utøves på et system (vanligvis en solid). Slike torsorer kalles vanligvis stresstorsorer. Denne formalismen er absolutt tung å håndtere og grådig i papir, men den tillater systematisk løsning av statiske mekaniske problemer og egner seg godt til modellering og databehandling. I kraft av sin analytiske form tillater det fremfor alt en parametrisert modellering av et problem, som for eksempel gir tilgang til alle posisjonene til en mekanisme, i motsetning til den raskere grafiske studien, men som må gjøres om for hvert tilfelle og som er mye mindre nøyaktig.
En kraft er perfekt definert når vi kjenner kraftvektoren (også kalt den resulterende) og applikasjonspunktet (der øyeblikket forsvinner). Konseptet med kraft, spesielt tilkoblingskreftene, er mye bredere, og torsoren tillater beskrivelse av alle tilfeller.
Den mekaniske virknings torsorenKrafttorsoren, i sin utviklede form, gir disse reduksjonselementene, nemlig:
Det er nødvendig å vurdere 3 nivåer av skriving av torsor:
Eksempler på mekaniske handlinger representert av torsorer
Denne kraft torsoren representerer kreftene som overføres gjennom seksjonen S (x) av en bjelke. Det kan beregnes ved å isolere oppstrømsdelen (seksjon [0, x]). Det er alltid definert i sentrum av treghet G (x) i seksjonen betraktet som S (x). Beregningsartikler brukt i motstand mot materialer. Dermed blir kreftene som gjennomgås inne i delen eksterne for den isolerte delen, slik at det kan brukes prinsippet om statikk.
Med formalismen til torsorer uttrykkes det grunnleggende prinsippet om statikk (PFS) som følger
Hvis et materielt system er i likevekt under påvirkning av mekaniske handlinger modellert av torsorene ; ; …, Så er summen av disse torsorene lik nulltorsoren.Er
Det omvendte (summen av torsorene null likevekt) er falsk. I mange bøker er det grunnleggende prinsippet om statikk skrevet bakover.Denne relasjonen er generalisert i dynamikk , ved å definere en dynamisk torsor som på samme prinsipp forener akselerasjonen og det dynamiske øyeblikket til et fast stoff i det samme matematiske objektet. Den Newtons bevegelseslover tillater deretter å skrive forholdet forbinder nøkkel til å skiftenøkkel dynamiske ytre krefter.
Skrevet i den mest utviklede formen gir systemets likevekt 6 ligninger hvis ukjente er komponentene i hver ekstern handlingstorsor.
Metode for å løse et statisk problem med momentverktøyetÅ løse et statisk problem er ikke mye forskjellig fra andre metoder.
For mange problemer er det ofte nødvendig å isolere flere systemer som multipliserer antall ligninger som er tilgjengelige, men også antall ukjente.
Resulterende setning ( 3 ligninger )
Momentteorem ( 3 ligninger )
Påminnelse: alle øyeblikkene blir uttrykt på samme punkt.
Løsning av ligningssystemetEt statisk problem vil i beste fall ha et antall ligninger som tilsvarer 6 ganger antall deler. Dessverre er isolasjonen av et enkelt sett av en mekanisme generelt ikke tilstrekkelig, antall ukjente forbindelser er lett større enn 6. Det er derfor nødvendig å velge andre delsystemer for å oppnå nye ligningsligninger (med fare for å legge til nye bindende ukjente); det er ikke uvanlig å måtte løse et system med 18 eller til og med 24 ligninger på en enkel mekanisme. Kraftgrafen er et beslutningsverktøy for å velge de mekaniske systemene som skal isoleres for å oppnå det minst kostbare systemet når det gjelder beregning.
I eksemplet motsatt gjør studiet av veivbalansen det mulig å etablere forholdet mellom det ytre dreiemomentet og tilkoblingshandlingene ( 6 ligninger ). Da vil "isolasjonen" av settet {koblingsstang + oscillator} tillate (kanskje) sammenligningen med F (det vil si 12 ligninger ). I virkeligheten vil det også være nødvendig å isolere koblingsstangen ( 18 ligninger i alt). Dessuten kan dette problemet omfatte flere ukjente enn ligninger, og et første arbeid vil bestå i å eliminere ukjente forbindelser av hensyn til klarering i forbindelsene. Den statiske studien av mekanismer faller derfor innenfor kompetansen til den mekaniske konstruktøren som kombinerer både teknologisk og fysisk kunnskap.
Imidlertid ser vi i mange (isostatiske) problemer to uavhengige ligningssystemer vises:
Avhengig av behovene er det ikke nødvendig å løse alle ligningene. Den såkalte virtuelle kraftmetoden gjør det mulig å skille disse to ukjente gruppene matematisk.
Når det gjelder hyperstatiske systemer, forblir antall ligninger utilstrekkelig. Deretter tyr man til eliminering av ukjent ved hensyn til klarering i forbindelsene, eller deretter til skriving av nye ligninger ved å utgjøre studiet av bestemte deleres elastiske oppførsel.