Bestillingsstatistikk

I statistikk er $k-$ rangordensstatistikken til et statistisk utvalg lik den $k$ -minste verdien. Sammen med rangstatistikk er ordrestatistikk et av de grunnleggende verktøyene for ikke-parametrisk statistikk og statistisk slutning .

To viktige tilfeller av ordrestatistikk er statistikken over minimum og maksimum , og i mindre grad medianen til utvalget samt de forskjellige kvantilene .

Når vi bruker sannsynlighetsteori til å analysere ordrestatistikken til et utvalg fra en kontinuerlig sannsynlighetslov , brukes distribusjonsfunksjonen til å redusere analysen til tilfelle ordrestatistikk på en ensartet lov, fortsetter

Notasjon og eksempler

La være et eksperiment som fører til observasjon av et utvalg på 4 tall, og ta følgende verdier:

6, 9, 3, 8,

som vi legger merke til i henhold til konvensjonen:

{\ displaystyle x_ {1} = 6; \ \ x_ {2} = 9; \ \ x_ {3} = 3; \ \ x_ {4} = 8 \,}

hvor i i abonnement brukes til å identifisere observasjonen (ved sin tidsrekkefølge, nummeret på den tilsvarende enheten osv.), og ikke er på forhånd korrelert med verdien av observasjonen.

Vi noterer ordrestatistikken:

{\ displaystyle x _ {(1)} = 3; \ \ x _ {(2)} = 6; \ \ x _ {(3)} = 8; \ \ x _ {(4)} = 9 \, }

der indeksen ( i ) angir den i rekkefølge statistikken til utvalget etter den vanlige rekkefølge relasjonen på naturlige tall .

Etter konvensjonen er den første ordens statistikk, bemerket , alltid minimumet av prøven, det vil si: ${\ displaystyle X _ {(1)}}$

{\ displaystyle X _ {(1)} = \ min \ {\, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \, \}}

Etter den vanlige konvensjonen refererer store bokstaver til tilfeldige variabler , og bokstavene med små bokstaver til de observerte verdiene (realiseringene) av disse variablene.

På samme måte er statistikken for rekkefølge n (med andre ord maksimum) for et utvalg av størrelse n

{\ displaystyle X _ {(n)} = \ max \ {\, X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \, \}.}

Bestillingsstatistikken er lokaliteten til diskontinuitetene i prøvenes empiriske distribusjonsfunksjon .

Probabilistisk analyse

Tetthet av en ordrestatistikk

Gitt et utvalg oppnås derfor ordrestatistikken ved stigende sortering. ${\ displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle X _ {(1)}, X _ {(2)}, \ ldots, X _ {(n)}}$

Teorem - Hvis vi antar at prøven X er uavhengig og identisk fordelt i henhold til en lov om tetthet f og fordelingsfunksjon F , så er tettheten til k- ordensstatistikken

{\ displaystyle f_ {X _ {(k)}} (x) = {n! \ over (k-1)! (nk)!} F (x) ^ {k-1} (1-F (x)) ^ {nk} f (x).}

Demonstrasjon Beregning via fordelingsfunksjonen

Distribusjonsfunksjonen til k- ordensstatistikken er

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} \ left (X _ {(k)} \ leq x \ right) & {} = F_ {X _ {(k)}} (x) \ quad = \ quad \ mathbb {P} (\ mathrm {au} \ \ mathrm {less} \ k \ \ mathrm {des} \ n \ X \ \ mathrm {are} \ \ leq x) \\ & = \ sum _ { j = k} ^ {n} {n \ velg j} \ mathbb {P} (X_ {1} \ leq x) ^ {j} (1- \ mathbb {P} (X_ {1} \ leq x)) ^ {nj} \\ & = \ sum _ {j = k} ^ {n} {n \ velg j} F (x) ^ {j} (1-F (x)) ^ {nj}. \ end { justert}}}

Med andre ord, antall elementer i prøven mindre enn x følger en binomial lov av parameterne n og F (x) , siden dette er n uavhengige eksperimenter, med to utfall: "å være mindre enn x " og "være større enn x ”, det første av de to resultatene har sannsynligheten F (x) , og det andre resultatet har sannsynligheten 1-F (x) . Ved å drive, finner vi en teleskopisk sum som gir tettheten:

{\ displaystyle {\ begin {align} f_ {X _ {(k)}} (x) & {} = {d \ over dx} F_ {X _ {(k)}} (x) \\ & {} = \ sum _ {j = k} ^ {n} {n \ velg j} \ venstre (jF (x) ^ {j-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nj} + F (x) ^ {j} (nj) (1-F (x)) ^ {nj-1} (- f (x)) \ høyre) \\ & {} = {n \ velg k} \, kF ( x) ^ {k-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nk} \ + \ \ sum _ {j = k + 1} ^ {n} {n \ velg j} jF (x ) ^ {j-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nj} \ - \ \ sum _ {j = k} ^ {n-1} (nj) {n \ velg j} \ F (x) ^ {j} f (x) (1-F (x)) ^ {nj-1} \\ & {} = {n \ velg k} \, kF (x) ^ {k-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nk} \ + \ \ sum _ {j = k + 1} ^ {n} {n \ velg j} jF (x) ^ {j-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nj} \ - \ \ sum _ {j = k + 1} ^ {n} (n-j + 1) {n \ velg j-1} \ F (x) ^ {j-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nj} \\ & {} = {n \ velg k} \, kF (x) ^ {k-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nk} \ + \ \ sum _ {j = k + 1} ^ {n} \ left ({n \ velg j} j- (nj + 1) {n \ velg j -1} \ høyre) \ F (x) ^ {j-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nj} \\ & {} = {n \ velg k} \, kF (x ) ^ {k-1} f (x) (1-F (x)) ^ {nk}, \ end {justert}}}

fordi

{\ displaystyle {n \ velg j} j \ = \ {\ frac {n! \, j} {j! \, (nj)!}} \ = \ {\ frac {n! \, (n-j + 1) } {(j-1)! \, (Nj + 1)!}} \ = \ (Nj + 1) {n \ velg j-1}.}

Endelig:

{\ displaystyle f_ {X _ {(k)}} (x) = {n! \ over (k-1)! (nk)!} F (x) ^ {k-1} (1-F (x)) ^ {nk} f (x).}

Direkte beregning

I en serie av n uavhengige og identiske tilfeldige eksperimenter som hver har tre mulige resultater, si en , b , og c , med respektive sannsynligheter p en , p b , p c , den felles loven om antallet av utfall N en (resp. N b , N c ) typen har . (henholdsvis b , c ) er en MULTINOMIAL fordelingsparametere n og p = (p en p b , p c ), beskrevet av:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} \ left ((N_ {a}, N_ {b}, N_ {c}) = (k_ {a}, k_ {b}, k_ {c}) \ høyre) & = {n \ velg k_ {a}, k_ {b}, k_ {c}} \ p_ {a} ^ {k_ {a}} \, p_ {b} ^ {k_ {b}} \ , p_ {c} ^ {k_ {c}} \ 1 \! \! 1_ {k_ {a} + k_ {b} + k_ {c} = n} \\ & = {\ frac {n!} {k_ {a}! \, k_ {b}! \, k_ {c}!}} \ p_ {a} ^ {k_ {a}} \, p_ {b} ^ {k_ {b}} \, p_ {c } ^ {k_ {c}} \ 1 \! \! 1_ {k_ {a} + k_ {b} + k_ {c} = n}. \ end {justert}}}

Således er tettheten av X (k) blir oppnådd ved å gjenkjenne en serie av n uavhengige og identiske tilfeldige eksperimenter som hver har tre mulige resultater, X i ≤ x , x <X i ≤ x + dx , og X i > x + dx ' ' , med respektive sannsynligheter F (x) , f (x) dx og 1-F (x) -f (x) dx . Så,

{\ displaystyle {\ begin {align} f_ {X _ {(k)}} (x) \ dx & {} = \ mathbb {P} \ left (X _ {(k)} \ i [x, \, x + dx] \ høyre) \\ & {} \ mathbb {P} \ venstre ({\ text {blant}} n \ X_ {i}, {\ text {nøyaktig}} \ k-1 \ {\ tekst {er}} \ \ leq x, {\ text {nøyaktig en av}} X_ {i} \ i [x, \, x + dx], {\ text {og de andre er}} \ \ geq x + dx \ høyre) \\ & = {\ frac {n!} {(k-1)! \, 1! \, (nk)!}} \ F (x) ^ {k-1} \, f (x) \, dx \, (1-F (x)) ^ {nk} \\ & = {\ frac {n!} {(K-1)! \, (Nk)!}} \ F (x) ^ { k-1} \, (1-F (x)) ^ {nk} \, f (x) \, dx. \ Slutt {justert}}}

Spesielt

{\ displaystyle f_ {X _ {(n)}} (x) = nF (x) ^ {n-1} \ f (x),}

formel som kan bli funnet direkte, ved å utlede resultatet av beregningen nedenfor:

{\ displaystyle {\ begin {align} P \ venstre (X _ {(n)} \ leq x \ høyre) & {} = F_ {X _ {(n)}} (x) \\ & = P \ venstre (\ max (X_ {1}, ..., X_ {n}) \ leq x \ right) \\ & = P \ left ({\ text {each of}} \ n \ X \ \ mathrm {est} \ \ leq x \ høyre) \\ & = P \ venstre (X_ {1} \ leq x \ høyre) ... P \ venstre (X_ {n} \ leq x \ høyre) \\ & = F \ venstre ( x \ høyre) ... F \ venstre (x \ høyre) \\ & = F \ venstre (x \ høyre) ^ {n} \ slutt {justert}}}

For den kontinuerlige ensartede loven er tettheten til k- rekkefølge statistikken den for en beta-lov , med parametrene k og n + 1- k .

Felles tetthet av all ordrestatistikk

Teorem - Hvis vi antar prøven X uavhengig og identisk fordelt i henhold til en lov om tetthet f , er fellestettheten til n statistikk av orden

{\ displaystyle f (x _ {(1)}, \ prikker, x _ {(n)}) \ = \ n! \ \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} f (x _ { (i)}) \ høyre) \ 1 \! \! 1_ {x _ {(1)} <x _ {(2)} <\ prikker <x _ {(n-1)} <x _ {(n )}}.}

Demonstrasjon

Det er tilstrekkelig å vise at for enhver funksjon φ målbar, avgrenset og positiv eller null,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X _ {(1)}, X _ {(2)}, \ dots, X _ {(n)}) \ right] & = \ \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ varphi (x _ {(1)}, x _ {(2)}, \ prikker, x _ {(n)}) \, n ! \ \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} f (x _ {(i)}) \ høyre) \ 1 \! \! 1_ {x _ {(1)} <x _ {( 2)} <\ prikker <x_ {(n-1)} <x _ {(n)}} dx _ {(1)} \ prikker dx _ {(n)}. \ Slutt {justert}}}

Men ettersom X i er uavhengige og har tettheter , har vi:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} \ left (\ forall i \ neq j, \ X_ {i} \ neq X_ {j} \ right) & = 1. \ end {align}}}

Derfor, nesten sikkert,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi (X _ {(1)}, X _ {(2)}, \ dots, X _ {(n)}) & = \ \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varphi (X _ {\ sigma (1)}, X _ {\ sigma (2)}, \ prikker, X _ {\ sigma (n)}) \ 1 \! \! 1_ {X _ {\ sigma (1)} <X _ {\ sigma (2)} <\ dots <X _ {\ sigma (n-1)} <X _ {\ sigma (n)} }. \ Slutt {justert}}}

Endelig:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X _ {\ sigma (1)}, X _ {\ sigma (2)}, \ dots, X _ {\ sigma (n )}) \, 1 \! \! 1_ {X _ {\ sigma (1)} <X _ {\ sigma (2)} <\ dots <X _ {\ sigma (n)}} \ right] & = \ \ mathbb {E} \ left [\ varphi (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) \, 1 \! \! 1_ {X_ {1} <X_ {2} <\ prikker <X_ {n}} \ right] \\ & = \ \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ varphi (x_ {1}, x_ {2}, \ prikker, x_ {n}) \ \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i}) \ right) \ 1 \! \! 1_ {x_ {1} <x_ {2} <\ dots <x_ {n }} dx_ {1} \ prikker dx_ {n}, \ slutt {justert}}}

siden og har samme tetthet Linjæriteten til forventningen lar oss konkludere. ${\ displaystyle (X _ {\ sigma (1)}, X _ {\ sigma (2)}, \ prikker, X _ {\ sigma (n)})}$ ${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, \ prikker, X_ {n})}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i}). \}$

Referanser

Herbert Aron David og Haikady N. Nagaraja, ordrestatistikk , Wiley ,august 2003, 3 e ed. , 458 s. ( ISBN 978-0-471-38926-2 )