Kontinuerlig enhetlig lov

For n  ≥ 2 er n - kumulanten av den ensartede loven over intervallet [0, 1] b n / n , der b n er det n - Bernoulli-tallet .

Eiendommer

Bestillingsstatistikk

La X- 1 , ..., X n være et eksempel IID følge loven U (0, 1). La X ( k ) være den k - ordens statistikk for prøven. Deretter er fordelingen av X ( k ) en beta-fordeling av parametrene k og n  -  k  + 1. Forventningen er

E[X(k)]=kikke+1.{\ displaystyle \ mathbb {E} [X _ {(k)}] = {k \ over n + 1}.}

Dette faktum er nyttig når du konstruerer en Henry-linje .

Avvikene er

Var⁡(X(k))=k(ikke-k+1)(ikke+1)2(ikke+2).{\ displaystyle \ operatorname {Var} (X _ {(k)}) = {k (n-k + 1) \ over (n + 1) ^ {2} (n + 2)}.}

Det ensartede utseendet

Sannsynligheten for at en ensartet variabel faller i et gitt intervall er uavhengig av posisjonen til dette intervallet, men avhenger bare av lengden, forutsatt at dette intervallet er inkludert i lovens støtte. Så hvis X ≈ U ( a , b ) og [ x , x + d ] er et delintervall på [ a , b ], med d > 0 fast, så

P(X∈[x,x+d])=∫xx+ddyb-på=db-på{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X \ in \ left [x, x + d \ right] \ right) = \ int _ {x} ^ {x + d} {\ frac {\ mathrm {d} y} {ba}} \, = {\ frac {d} {ba}} \, \!}

som er uavhengig av x . Dette faktum motiverer betegnelsen på denne loven.

Standard uniformslov

Det spesielle tilfellet a = 0 og b = 1 gir opphav til standard ensartet lov , også bemerket U (0, 1). Legg merke til følgende faktum: Hvis u 1 fordeles i henhold til en standard uniform fordeling, er dette også tilfelle for u 2 = 1 - u 1 .

Ensartet lov på sett A

I hvilken som helst del A av Borel er Lebesgue-tiltaket λ ( A ) endelig og strengt positiv, vi forbinder en sannsynlighetsfordeling, kalt Uniform Law A of probability density function ƒ definert for av: Rd,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d},} x∈Rd,{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d},}

f(x) = 1λ(PÅ) χPÅ(x),{\ displaystyle f (x) \ = \ {\ frac {1} {\ lambda (A)}} \ \ chi _ {A} (x),}

hvor χ A er den indikator funksjon av sammenstillingen A . Tetthet ƒ er null utenfor Et men lik konstanten 1 / λ ( A ) av A .

Det spesielle tilfellet som hovedsakelig behandles på denne siden er tilfellet der d = 1 og hvor A er et intervall [ a , b ] påR.{\ displaystyle \ mathbb {R}.}

Transport og uforanderlighet

Tilstrekkelig tilstand  -  Loven til den tilfeldige variabelen Y = T ( X ) , bilde, ved en transformasjon T , av en ensartet variabel X på en del A av er fortsatt den enhetlige loven på T ( A ) hvis T er, ved et sett ubetydelig nær, injiserende og differensierbar, og hvis den absolutte verdien til Jacobian of T , nesten overalt på A , er konstant. Rd,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d},}

• Hvis T er affinert og bijektiv, følger Y den ensartede loven over T ( A ) .
• Særlig hvis T er en isometrisk av forlater A invariant, Y har den samme fordeling som X .Rd{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
• For eksempel er en isometri av blader som er uforanderlige, den ensartede loven på enhetsballen sentrert ved opprinnelsen, under forutsetning av at den forlater opprinnelsevarianten.Rd{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
• Et annet eksempel på isometri: hvis U er jevn over [0, 1], er 1 - U også.
• Hvis er brøkdelen av x , og ikke er injeksjonsdyktig eller differensierbar over alle [0, 1], men tilfredsstiller hypotesene som er angitt ovenfor, med T ([0, 1 [) = [0, 1 [ . Følgelig, og til og med virke som U . Ved å la rammen på denne siden være litt, og ved å merke M ( x ) punktet til den trigonometriske sirkelen som har for påføring, kan man da se M ( U ) som et punkt tegnet tilfeldig jevnt på den trigonometriske sirkelen. Punktene og blir deretter oppnådd ved rotasjon av vinkel 2π a (resp. Ved symmetri i forhold til linjen med retningsvinkel π a ) som er isometrier som etterlater enhetssirkelen invariant. Det er derfor ikke overraskende at disse punktene fortsatt følger den enhetlige loven om enhetssirkelen . Dette oversetter en veldig spesiell egenskap ved den ensartede loven: det er Haar-målet på{x}{\ displaystyle \ {x \}}T+,på(x)={på+x}{\ displaystyle T _ {+, a} (x) = \ {a + x \}}T-,på(x)={på-x}{\ displaystyle T _ {-, a} (x) = \ {ax \}}{på+U}{\ displaystyle \ {a + U \}}{på-U}{\ displaystyle \ {aU \}} e2Jegπx,{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi x},}M({på+U}){\ displaystyle M (\ {a + U \})}M({på-U}){\ displaystyle M (\ {aU \})}R∖Z.{\ displaystyle \ mathbb {R} \ backslash \ mathbb {Z}.}

Konsekvens  -  Hvis sekvensen er en sekvens av uavhengige og ensartede tilfeldige variabler over [0, 1] og deretter er sekvensen en sekvens av uavhengige og ensartede tilfeldige variabler over [0, 1] . V=(V1,V2,...,Vikke){\ displaystyle V = (V_ {1}, V_ {2}, \ prikker, V_ {n})}Uk={V1+V2+⋯+Vk},{\ displaystyle U_ {k} = \ {V_ {1} + V_ {2} + \ prikker + V_ {k} \},}U=(U1,U2,...,Uikke){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ prikker, U_ {n})}

Den betingede loven om å vite at er loven som tilfeldigvis er den ensartede loven på [0, 1], som vi nettopp har sett noen få linjer ovenfor. Så den betingede loven om å vite at absolutt ikke avhenger av Dette har to konsekvenser: Uk,{\ displaystyle U_ {k},}(V1,V2,...,Vk-1)=(på1,på2,...,påk-1),{\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ prikker, V_ {k-1}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ prikker, a_ {k-1}),}{på1+på2+⋯+påk-1+Vk},{\ displaystyle \ {a_ {1} + a_ {2} + \ prikker + a_ {k-1} + V_ {k} \},}Uk{\ displaystyle U_ {k}}(V1,V2,...,Vk-1)=(på1,på2,...,påk-1){\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ prikker, V_ {k-1}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ prikker, a_ {k-1})}(på1,på2,...,påk-1).{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ prikker, a_ {k-1}).}

• Uk{\ displaystyle U_ {k}} følger ensartet lov på [0, 1];
• Uk{\ displaystyle U_ {k}}er uavhengig av stammen generert av og, a fortiori, av stammen generert av siden(V1,V2,...,Vk-1){\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ prikker, V_ {k-1})}(U1,U2,...,Uk-1),{\ displaystyle (U_ {1}, U_ {2}, \ prikker, U_ {k-1}),}σ(V1,V2,...,Vk-1) ⊃ σ(U1,U2,...,Uk-1).{\ displaystyle \ sigma (V_ {1}, V_ {2}, \ dots, V_ {k-1}) \ \ supset \ \ sigma (U_ {1}, U_ {2}, \ dots, U_ {k- 1}).}

Dette er nok til å konkludere.

Det kan virke overraskende at variablene og for eksempel, er uavhengige, mens de begge avhengige avgjørende på variabler og dette er en spesiell konsekvens av invarians eiendom av uniformen lov: for eksempel være tiltak de Haar av det er idempotent for den konvolusjon . {V1+V2}{\ displaystyle \ {V_ {1} + V_ {2} \}}{V1+V2+V3},{\ displaystyle \ {V_ {1} + V_ {2} + V_ {3} \},}V1{\ displaystyle V_ {1}}V2.{\ displaystyle V_ {2}.}R∖Z,{\ displaystyle \ mathbb {R} \ backslash \ mathbb {Z},}

Tilknyttede distribusjoner

Følgende teorem sier at alle distribusjoner er relatert til den ensartede loven:

Gjensidig teorem  -  For en tilfeldig variabel med en fordelingsfunksjon F , betegner vi med G den generelle gjensidige , definert, for av: ω∈]0,1[,{\ displaystyle \ omega \ in] 0.1 [,}

G(ω)=inf{x∈R | F(x)≥ω}.{\ displaystyle G (\ omega) = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ right \}.}

Hvis betegner en ensartet reell tilfeldig variabel over [0, 1], så har fordelingsfunksjonenU{\ displaystyle U}X=G(U){\ displaystyle X = G (U)}F.{\ displaystyle F.}

Kort fortalt, for å oppnå (uavhengige) tegninger i henhold til loven preget av F , er det tilstrekkelig å reversere denne funksjonen og bruke den på ensartede (uavhengige) tegninger.

Her er noen eksempler på denne loven:

• Y = –ln ( U ) / λ fordeles i henhold til den eksponensielle loven med parameteren λ;
• Y = 1 - U 1 / n fordeles i henhold til beta-loven til parameter 1 og n . Dette innebærer derfor at standard uniform lov er et spesielt tilfelle av beta loven, med parameter 1 og 1.

En mer komplett tabell finner du her . Videre er kunsten å generere tilfeldige variabler av vilkårlige lover, for eksempel ved bruk av ensartede variabler, utviklet i Non-Uniform Random Variate Generation , av Luc Devroye , publisert av Springer, tilgjengelig på nettet.

applikasjoner

I statistikk , når en p-verdi ( p-verdi ) brukes i en statistisk testprosedyre for en nullhypotese enkel, og at testen av fordelingen er kontinuerlig, blir p-verdien jevnt fordelt i henhold til den jevne fordelingen på [ 0, 1] hvis nullhypotesen holder.

Få ensartede lovprestasjoner

De fleste programmeringsspråk gir en pseudo-tilfeldig tallgenerator, hvis distribusjon er effektivt standard uniform lov.

Hvis u er U (0, 1), følger v = a + ( b - a ) u loven U ( a , b ).

Få realisasjoner av kontinuerlig lov

I følge teoremet sitert ovenfor, gjør den ensartede loven teoretisk det mulig å oppnå trekk fra enhver lov om kontinuerlig tetthet. Det er tilstrekkelig for å invertere funksjonen til distribusjon av denne loven, og å bruke den på tegninger av standard uniform lov. I mange praktiske tilfeller har vi dessverre ikke et analytisk uttrykk for distribusjonsfunksjonen; man kan da bruke en numerisk inversjon (kostbar i beregninger) eller konkurrerende metoder, for eksempel avvisningsmetoden .

Det viktigste eksemplet på svikt i den omvendte transformasjonsmetoden er Normalloven . Imidlertid Box-Muller gir Metode en praktisk metode for å transformere en ensartet prøve i en normal prøve på en nøyaktig måte.

Ensartede tilfeldige permutasjoner og ensartet lov

Matematikere som Luc Devroye eller Richard P. Stanley populariserte bruken av uniformsloven på [0, 1] for å studere tilfeldige permutasjoner ( størrelser på sykluser , Eulerian tall , analyse av sorteringsalgoritmer som for eksempel rask sortering , for eksempel).

Konstruksjon av en enhetlig tilfeldig permutasjon ved hjelp av et utvalg av jevn fordeling

La være en sekvens av ensartede iid tilfeldige variabler på [0, 1], definert på et sannsynlig rom (for eksempel definert på utstyrt med sin stamme av borelianere og dens Lebesgue-mål , av eller på en ekvivalent måte av For alle heltall k mellom 1 og n , la U=(U1,U2,...,Uikke){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ prikker, U_ {n})}(Ω,PÅ,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}Ω=[0,1]ikke{\ displaystyle \ Omega = [0,1] ^ {n}}Uk(ω1,ω2,...,ωikke) = ωk,{\ displaystyle U_ {k} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ prikker, \ omega _ {n}) \ = \ \ omega _ {k},}U(ω)=ω.{\ displaystyle U (\ omega) = \ omega.}

σ(k,ω) = VSpård{Jeg tels que 1≤Jeg≤ikke, et tels que UJeg(ω)≤Uk(ω)}.{\ displaystyle \ sigma (k, \ omega) \ = \ \ mathrm {Card} \ left \ {i \ \ mathrm {slik ~ som} \ 1 \ leq i \ leq n, \ \ mathrm {og ~ slik ~ at } \ U_ {i} (\ omega) \ leq U_ {k} (\ omega) \ right \}.}

Dermed blir tolket som en rang av i prøven, når den er anordnet i stigende rekkefølge. σ(k,ω){\ displaystyle \ sigma (k, \ omega)}Uk(ω){\ displaystyle U_ {k} (\ omega)}

Proposisjon  -  Kartet er en enhetlig tilfeldig permutasjon. k↦σ(k,ω){\ displaystyle k \ mapsto \ sigma (k, \ omega)}

Demonstrasjon

For en fast permutasjon τ , betegne

PÅτ= {x∈Rikke∣xτ(1)<xτ(2)<⋯<xτ(ikke)},{\ displaystyle A _ {\ tau} = \ \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x _ {\ tau (1)} <x _ {\ tau (2)} <\ prikker <x_ {\ tau (n)} \ høyre \},}

og posere

τ.x= (xτ(1),xτ(2),...,xτ(ikke)).{\ displaystyle \ tau .x = \ (x _ {\ tau (1)}, x _ {\ tau (2)}, \ prikker, x _ {\ tau (n)}).}

Så

{x∈PÅτ} ⇔ {τ.x∈PÅJegd}.{\ displaystyle \ {x \ i A _ {\ tau} \} \ \ Leftrightarrow \ \ {\ tau .x \ i A _ {\ mathrm {Id}} \}.}

Dessuten, selvfølgelig, hvis da U(ω)∈PÅτ,{\ displaystyle U (\ omega) \ i A _ {\ tau},}

{∀k tel que 1≤k≤ikke,σ(τ(k),ω) = k} ou eikkevs.ore {σ(.,ω)=τ-1}.{\ displaystyle \ left \ {\ forall k \ \ mathrm {such ~ que} \ 1 \ leq k \ leq n, \ quad \ sigma (\ tau (k), \ omega) \ = \ k \ right \} \ \ mathrm {eller ~ igjen} \ \ {\ sigma (., \ omega) = \ tau ^ {- 1} \}.}

Som

⋃τ∈SikkePÅτ = {x∈Rikke|les xJeg soikket tous dJegffe´reikkets},{\ displaystyle \ bigcup _ {\ tau \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} A _ {\ tau} \ = \ \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \, | \, \ mathrm {the} \ x_ {i} \ \ mathrm {er ~ alle ~ diff {\ akutte {e}} leier} \ høyre \},}

det følger at

B=Ω∖(⋃τ∈SikkePÅτ) = ⋃1≤Jeg<j≤ikke{x∈Rikke|xJeg=xj}.{\ displaystyle B = \ Omega \ backslash \ left (\ bigcup _ {\ tau \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} A _ {\ tau} \ right) \ = \ \ bigcup _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \, | \, x_ {i} = x_ {j} \ right \}.}

Hvis det finnes et par i < j som og følgelig Således σ (., Ω ) er ikke en permutasjon. Til slutt, siden B og typesettene danner en partisjon av det, følger det for enhver permutasjon τ , U(ω)∈B,{\ displaystyle U (\ omega) \ i B,}UJeg(ω)=Uj(ω),{\ displaystyle U_ {i} (\ omega) = U_ {j} (\ omega),}σ(Jeg,ω)=σ(j,ω).{\ displaystyle \ sigma (i, \ omega) = \ sigma (j, \ omega).}PÅρ{\ displaystyle A _ {\ rho}}Rikke,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}

{U(ω)∉PÅτ} ⇒ {σ(.,ω)≠τ-1},{\ displaystyle \ left \ {U (\ omega) \ notin A _ {\ tau} \ right \} \ \ Rightarrow \ \ {\ sigma (., \ omega) \ neq \ tau ^ {- 1} \}, }

Følgelig

P(U∈PÅτ) = P(σ=τ-1).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (U \ in A _ {\ tau} \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (\ sigma = \ tau ^ {- 1} \ right).}

Siden komponentene i den tilfeldige vektoren er uavhengige tilfeldige variabler med tetthet av respektive angitte tettheter, vet vi at den tilfeldige vektoren U i seg selv har en tetthet f , definert av U=(U1,U2,...,Uikke){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ prikker, U_ {n})} fJeg,1≤Jeg≤ikke,{\ displaystyle f_ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq n,}

f(x)=∏Jeg=1ikkefJeg(xJeg).{\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} (x_ {i}).}

Likeledes er en sannsynlighetstettheten til den tilfeldige vektoren τ.U er g , definert ved:

g(x)=∏Jeg=1ikkefτ(Jeg)(xJeg).{\ displaystyle g (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} f _ {\ tau (i)} (x_ {i}).}

I tilfelle, som her, der komponentene i en tilfeldig vektor er iid, kan vi velge tettheter av sannsynligheter som alle er like. Dermed er tettheten f og g av de tilfeldige vektorene U og τ.U like: de tilfeldige vektorene U og τ.U har derfor samme lov. Derfor, for enhver permutasjon τ , fJeg{\ displaystyle f_ {i}}

P(U∈PÅJegd) = P(τ.U∈PÅJegd) = P(U∈PÅτ) = P(σ=τ-1).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (U \ in A _ {\ mathrm {Id}} \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (\ tau .U \ in A _ {\ mathrm {Id }} \ høyre) \ = \ \ mathbb {P} \ venstre (U \ i A _ {\ tau} \ høyre) \ = \ \ mathbb {P} \ venstre (\ sigma = \ tau ^ {- 1} \ høyre).}

Ellers,

P(U∈B) = P(∃Jeg<j tels que UJeg=Uj) ≤ ∑1≤Jeg<j≤ikkeP(UJeg=Uj) = 0.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (U \ in B \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (\ exist i <j \ \ mathrm {such ~ that} \ U_ {i} = U_ { j} \ høyre) \ \ leq \ \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ mathbb {P} \ left (U_ {i} = U_ {j} \ right) \ = \ 0.}

Faktisk hyperplan har en null Lebesgue mål , og sannsynligheten lov av U er ved tetthet derfor helt kontinuerlig med hensyn til Lebesgue måle, derfor {xJeg=xj}{\ displaystyle \ {x_ {i} = x_ {j} \}}

{λ({xJeg=xj})=0} ⇒ {0=PU({xJeg=xj})(=P(UJeg=Uj))}.{\ displaystyle \ left \ {\ lambda (\ {x_ {i} = x_ {j} \}) = 0 \ right \} \ \ Rightarrow \ \ left \ {0 = \ mathbb {P} _ {U} ( \ {x_ {i} = x_ {j} \}) (= \ mathbb {P} \ venstre (U_ {i} = U_ {j} \ høyre)) \ høyre \}.}

Endelig

ikke!P(σ=τ)=ikke!P(U∈PÅτ-1) = ikke!P(U∈PÅJegd)=∑ρ∈SikkeP(U∈PÅρ)=P(U∈B)+∑ρ∈SikkeP(U∈PÅρ)=1,{\ displaystyle {\ begynn {justert} n! \, \ mathbb {P} \ venstre (\ sigma = \ tau \ høyre) & = n! \, \ mathbb {P} \ venstre (U \ i A _ {\ tau ^ {- 1}} \ høyre) \ = \ n! \, \ Mathbb {P} \ venstre (U \ i A _ {\ mathrm {Id}} \ høyre) \\ & = \ sum _ {\ rho \ i {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ mathbb {P} \ venstre (U \ i A _ {\ rho} \ høyre) \\ & = \ mathbb {P} \ venstre (U \ i B \ høyre) + \ sum _ {\ rho \ i {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ mathbb {P} \ venstre (U \ i A _ {\ rho} \ høyre) \\ & = 1, \ end {align}}}

der den siste likheten bruker det faktum at B og settene danner en partisjon av PÅρ{\ displaystyle A _ {\ rho}}Rikke.{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}

Ovennevnte proposisjon forblir sant hvis sannsynlighetsfordelingen som er felles for variablene, har en tetthet , uansett hva den er, og ikke bare for den ensartede tettheten. Vi kan til og med være fornøyde med iid-variabler hvis lov er diffus (uten atomer), og modulerer en mindre modifikasjon av beviset. Imidlertid er den ensartede loven spesielt praktisk for forskjellige bruksområder. UJeg{\ displaystyle U_ {i}}

Antall nedstigninger av tilfeldig permutasjon, og Eulerianske tall

La være antall utforkjøringer av en permutasjon trukket tilfeldig jevnt i Selvfølgelig, Xikke(ω){\ displaystyle X_ {n} (\ omega)}σ(ω){\ displaystyle \ sigma (\ omega)}Sikke.{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}.}

P(Xikke=k)=ikkeombre de vs.pås fpåvorpåblesikkeombre de vs.pås sossJegbles=PÅ(ikke,k)ikke!,{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = k \ right) & = {\ frac {\ mathrm {number ~ of ~ gunstig ~ cases}} {\ mathrm {number ~ av ~ mulige ~ saker}}} \\ & = {\ frac {A (n, k)} {n!}}, \ end {justert}}}

hvor A ( n , k ) angir antall permutasjoner for å ha nøyaktig k nedstigninger. A ( n , k ) kalles et eulerisk nummer . La oss stille Sikke{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

Sikke=U1+U2+⋯+Uikke.{\ displaystyle S_ {n} = U_ {1} + U_ {2} + \ prikker + U_ {n}.}

Vi har da

Teorem (S. Tanny, 1973)  -  Tilsvarende

P(Xikke=k) = P(⌊Sikke⌋=k) = P(k≤Sikke<k+1),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = k \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (\ lfloor S_ {n} \ rfloor = k \ right) \ = \ \ mathbb { P} \ venstre (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ høyre),}

eller

PÅ(ikke,k) = ikke! P(k≤Sikke<k+1).{\ displaystyle A (n, k) \ = \ n! \ \ mathbb {P} \ left (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ right).} Demonstrasjon

Vi antar at sekvensen konstruert ved hjelp av en sekvens av uavhengige og ensartede tilfeldige variabler på [0, 1], via forholdet. Vi vet da, takket være invarianshensyn ( se ovenfor ), at en sekvens er av uavhengige og ensartede tilfeldige variabler på [0 , 1]. Vi konstruerer deretter en jevn tilfeldig permutasjon σ (., Ω ) ved bruk av sekvensen U , som angitt i avsnittet ovenfor  : det er nedstigning til rangering i for σ (., Ω ) hvis σ ( i , ω )> σ ( i + 1, ω ) eller, på en ekvivalent måte, hvis man parallelt trekker på den trigonometriske sirkelen , hvor punktene har for fikseringene, foretar man deretter en tur på enhetssirkelen, bestående i å krysse punktene og deretter ..., deretter i det rekkefølge, fortsatt vri mot klokken, og starte fra punkt A med påføring 1 (med kartesiske koordinater (0, 1)). Den totale lengden på stien som dermed er reist er da U=(U1,U2,...,Uikke){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ prikker, U_ {n})}V=(V1,V2,...,Vikke){\ displaystyle V = (V_ {1}, V_ {2}, \ prikker, V_ {n})}Uk={V1+V2+⋯+Vk}.{\ displaystyle U_ {k} = \ {V_ {1} + V_ {2} + \ dots + V_ {k} \}.}U=(U1,U2,...,Uikke){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ prikker, U_ {n})}UJeg(ω)>UJeg+1(ω).{\ displaystyle U_ {i} (\ omega)> U_ {i + 1} (\ omega).}Mk(ω){\ displaystyle M_ {k} (\ omega)} e2JegπUk(ω).{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi U_ {k} (\ omega)}.}M1(ω),{\ displaystyle M_ {1} (\ omega),}M2(ω),{\ displaystyle M_ {2} (\ omega),}Mikke(ω),{\ displaystyle M_ {n} (\ omega),}

2π (V1+V2+⋯+Vikke).{\ displaystyle 2 \ pi \ \ left (V_ {1} + V_ {2} + \ dots + V_ {n} \ right).}

Videre er det ned til et nivå i for σ (., Ω ) hvis og bare hvis trinn av det ovennevnte reise fra punkt utvikles gjennom A . Så antall nedstigninger av σ (., Ω ) er antall kryssinger av punkt A , som også er antall komplette svinger av enhetssirkelen som ble gjort under turen fra A til I lys av beregningen som gir den totale lengden på stien så godt som reist, se ovenfor, antall komplette svinger er også skrevet: MJeg(ω){\ displaystyle M_ {i} (\ omega)}MJeg+1(ω){\ displaystyle M_ {i + 1} (\ omega)}Mikke(ω).{\ displaystyle M_ {n} (\ omega).}

⌊V1(ω)+V2(ω)+⋯+Vikke(ω)⌋.{\ displaystyle \ left \ lfloor V_ {1} (\ omega) + V_ {2} (\ omega) + \ dots + V_ {n} (\ omega) \ right \ rfloor.}

Dermed er antallet nedstigninger av σ (., Ω ) lik Antall nedstigninger av σ har derfor samme lov som⌊V1(ω)+V2(ω)+⋯+Vikke(ω)⌋.{\ displaystyle \ left \ lfloor V_ {1} (\ omega) + V_ {2} (\ omega) + \ dots + V_ {n} (\ omega) \ right \ rfloor.}⌊Sikke⌋.{\ displaystyle \ left \ lfloor S_ {n} \ right \ rfloor.}

Fra dette følger umiddelbart en sentral grensesetning for via Slutskys setning . Xikke,{\ displaystyle X_ {n},}

Merknader og referanser

1. Se detaljert artikkel her .
2. PDF-versjonen (gratis og autorisert) av (en) Luc Devroye , Non-Uniform Random Variate Generation , New York, Springer-Verlag,1986, 1 st  ed. ( les online ) er tilgjengelig, samt en humoristisk beretning om Luc Devroye's krangel med redaktøren.
3. Nærmere bestemt krever metode to uavhengige trekker U (0, 1) for å tilveiebringe to uavhengige normal trekker.
4. se (i) S. Tanny , "  En sannsynlig tolkning av Eulerianske tall  " , Duke Math. J. , vol.  40,1973, s.  717-722eller (en) RP Stanley , “  Eulerian partitions of a unit hypercube  ” , Higher Combinatorics , Dordrecht, M. Aigner, red., Reidel,1977.

Relaterte artikler

• Box-Muller-metoden
• Høyre til Henry
• Pseudo-tilfeldig tallgenerator
• Diskret enhetlig lov
• Betalov