Pause tid

I sannsynlighetsteori , spesielt i studien av stokastiske prosesser , er en stoppetid (også kalt valgfri stoppetid , og tilsvarer en Markov- tid eller et bestemt Markov-øyeblikk ) en tilfeldig variabel hvis verdi tolkes som øyeblikket hvor oppførselen til en gitt stokastisk prosess er av interesse. Nedetid er ofte definert av en nedleggelsesregel, en mekanisme for å bestemme om en prosess skal fortsette eller stoppe basert på nåværende posisjon og tidligere hendelser.

Denne stoppetiden kan for eksempel være øyeblikket når en stokastisk prosess slutter, eller i en Poisson- prosess og andre Lévy-prosesser med uavhengig stasjonær økning, øyeblikket for et inkrementelt "hopp".

Denne forestillingen om nedetid som ikke er avhengig av fremtidige hendelser, er nært knyttet til den sterke egenskapen til Markov-prosesser .

Stoppetider spiller en viktig rolle i beslutningsteorien og i martingaler styres av Doobs stoppsetning (eller valgfri stoppsetning ).

Definisjoner

Definisjon  -  En tilfeldig variabel er en stoppetid med hensyn til en filtrering hvis, T:Ω→IKKE∪{∞}{\ displaystyle T: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}} (Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

∀ikke∈IKKE,{T=ikke}∈Fikke,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T = n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n},}

eller på tilsvarende måte, hvis

∀ikke∈IKKE,{T≤ikke}∈Fikke.{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N}, \ quad \ {T \ leq n \} \ i {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Tolkning

La oss forestille oss at de her angir stammen som genereres etterpå, og at de tilfeldige variablene representerer resultatene til en spiller under de påfølgende delene av et spill. I tilfelle tilfeldige variabler med verdier i et endelig eller tellbart tilstandsrom , tilhører en del til hvis og bare hvis det eksisterer slik at  Fikke {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} (Xk)0≤k≤ikke, {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}, \}  Xk {\ displaystyle \ scriptstyle \ X_ {k} \} E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \} PÅ⊂Ω {\ displaystyle \ scriptstyle \ A \ subset \ Omega \} Fikke {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} B⊂Eikke+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B \ delmengde E ^ {n + 1} \}

PÅ={(X0,X1,...,Xikke)∈B}={ω∈Ω | (Xk(ω))0≤k≤ikke∈B}.{\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ venstre \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ prikker, X_ {n}) \ i B \ høyre \} \\ & = \ venstre \ { \ omega \ i \ Omega \ | \ \ venstre (X_ {k} (\ omega) \ høyre) _ {0 \ leq k \ leq n} \ i B \ høyre \}. \ slutt {justert}}}

Anta at det representerer nummeret på spillet som spilleren bestemmer seg for å slutte å spille etter: er derfor en time out hvis og bare hvis beslutningen om å stoppe er tatt basert på resultatene av spillene som allerede ble spilt på tidspunktet for spillet. dvs. hvis det eksisterer et delsett som for alt :  T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} ikke {\ displaystyle \ scriptstyle \ n \} Bikke⊂Eikke+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B_ {n} \ delmengde E ^ {n + 1} \}

{T=ikke}⇔{(X0,X1,...,Xikke)∈Bikke}.{\ displaystyle \ {T = n \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ in B_ {n} \ right \}. }

Øyeblikket når spilleren stopper er derfor en tidsavbrudd hvis beslutningen om å stoppe ikke tar hensyn til resultatene av fremtidige spill, derfor under antagelse om at gaven med dobbeltsyn og juks er ekskludert.

Notasjoner

• La være en sekvens av tilfeldige variabler (en stokastisk prosess ) og T en stoppetid med hensyn til en filtrering . Prosessen observert på tidspunktet T (eller stoppet på tidspunktet T ) er notert og er definert av(Xikke)ikke≥0 {\ displaystyle (X_ {n}) _ {n} \ geq 0 \} (Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}} XT(ω), {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega), \}

XT(ω)=XT(ω)(ω)=∑ikke≥0Xikke(ω)1T(ω)=ikke.{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {T} (\ omega) & = X_ {T (\ omega)} (\ omega) \\ & = \ sum _ {n \ geq 0} X_ {n} (\ omega) 1_ {T (\ omega) = n}. \ end {align}}} I det hele tatt er definisjonen av problematisk: tvetydigheten fjernes de facto ved å stille{ω∈Ω|T(ω)=+∞}, {\ displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega \, | \, T (\ omega) = + \ infty \}, \} XT(ω) {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) \} XT(ω)=0. {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) = 0. \}

• Enten nedetid og entenT{\ displaystyle T \,}IKKE∈IKKE:{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}:}
  • T∧IKKE{\ displaystyle T \ wedge N} er den tilfeldige variabelen definert av (T∧IKKE)(ω)=min(T(ω),IKKE);{\ displaystyle (T \ wedge N) (\ omega) = \ min (T (\ omega), N) \,;}
  • T∨IKKE{\ displaystyle T \ vee N}er den tilfeldige variabelen definert av .(T∨IKKE)(ω)=maks(T(ω),IKKE){\ displaystyle (T \ vee N) (\ omega) = \ max (T (\ omega), N) \,}

Eiendommer

Eiendom  -  Enten nedetid eller . Så og er nedetid. T{\ displaystyle T \,}IKKE∈IKKE{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}S: =T∧IKKE, S′: =T∨IKKE {\ displaystyle S: = T \ wedge N, \ S ^ {\ prime}: = T \ vee N \} S′′: =T+IKKE {\ displaystyle \ S ^ {\ prime \ prime}: = T + N \}

Demonstrasjon

Vi vil bare bevise det første punktet, de to andre er like:

{S=ikke}={T∧IKKE=ikke}={T=ikke,ikke≤IKKE}∪{ikke=IKKE,T≥IKKE}.{\ displaystyle \ {S = n \} = \ {T \ wedge N = n \} = \ {T = n, n \ leq N \} \ cup \ {n = N, T \ geq N \}.}

Gull

{T=ikke}∈Fikke  og {T≥IKKE}={T≤IKKE-1}vs.∈FIKKE-1⊂FIKKE.{\ displaystyle \ {T = n \} \ i {\ mathcal {F}} _ {n} \ {\ text {and}} \ {T \ geq N \} = \ {T \ leq N-1 \} ^ {c} \ in {\ mathcal {F}} _ {N-1} \ subset {\ mathcal {F}} _ {N}.}

Eiendom  -  Likeledes, hvis det er nedetid, er det. S et T{\ displaystyle S \ og \ T}S∧T{\ displaystyle S \ wedge T}

Definisjon og eiendom  -  Enten nedetid og kalles en hendelse før hvis: T{\ displaystyle T \,}PÅ∈F∞ : PÅ{\ displaystyle A \ i {\ mathcal {F}} _ {\ infty} \: \ A \,}T{\ displaystyle T \,}

∀ikke∈IKKE PÅ∩(T=ikke)∈Fikke.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Alle disse hendelsene danner en understamme av kalt stamme før og bemerketF∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}T{\ displaystyle T \,}FT.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}.}

Demonstrasjon

• FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}} inneholder Ω{\ displaystyle \ Omega \,}
• FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}} er stabil av tellbar forening
• Enten . Vi Hvorikke∈IKKE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}PÅ∩(T=ikke)∈Fikke et (T=ikke)∈Fikke. {\ displaystyle A \ cap (T = n) \ i {\ mathcal {F}} _ {n} \ og \ (T = n) \ i {\ mathcal {F}} _ {n}. \}

Fikke∋(T=ikke)∩(PÅ∩(T=ikke))vs.=(T=ikke)∩(PÅvs.∪(T≠ikke)){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} \ ni (T = n) \ cap (A \ cap (T = n)) ^ {c} = (T = n) \ cap (A ^ {c } \ cup (T \ neq n))}

=((T=ikke)∩PÅvs.)∪((T=ikke)∩(T≠ikke))=((T=ikke)∩PÅvs.)∪∅=PÅvs.∩(T=ikke){\ displaystyle = ((T = n) \ cap A ^ {c}) \ cup ((T = n) \ cap (T \ neq n)) = ((T = n) \ cap A ^ {c}) \ cup \ emptyset = A ^ {c} \ cap (T = n)},

og er stabil av komplementaritet.FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Proposisjon  -  La og være to stoppetider slik at ps. Det har vi da . S{\ displaystyle S \,}T{\ displaystyle T \,}S≤T{\ displaystyle S \ leq T}FS⊂FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {S} \ subset {\ mathcal {F}} _ {T}}

Demonstrasjon

Enten , det vil si . Som mer ps . Som et resultat, PÅ∈FS{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {S}}∀ikke∈IKKE , PÅ∩(S≤ikke)∈Fikke{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \, \ A \ cap (S \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}S≤T{\ displaystyle S \ leq T \,}(T≤ikke)⊂(S≤ikke){\ displaystyle (T \ leq n) \ subset (S \ leq n)}

PÅ∩(T≤ikke)=PÅ∩(T≤ikke)∩(S≤ikke).{\ displaystyle A \ cap (T \ leq n) = A \ cap (T \ leq n) \ cap (S \ leq n).}

Gull og fordi er nedetid. Derfor PÅ∩(S≤ikke)∈Fikke{\ displaystyle A \ cap (S \ leq n) \ i {\ mathcal {F}} _ {n}}(T≤ikke)∈Fikke{\ displaystyle (T \ leq n) \ i {\ mathcal {F}} _ {n}}T{\ displaystyle T \,}

PÅ∩(T≤ikke)∈Fikke.{\ displaystyle A \ cap (T \ leq n) \ i {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Lemma  -  La være en målbar tilfeldig variabel . er -målbart iff er -målbart. Z{\ displaystyle Z \,}F∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}∀ikke , 1(T=ikke)×Z{\ displaystyle \ forall n \, \ 1 _ {(T = n)} \ ganger Z}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Demonstrasjon

⇒{\ displaystyle \ Rightarrow} :

Z{\ displaystyle Z \,}er målbar. medFT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}(1(T=ikke)×Z)-1(x)=Z-1(x)∩(T=ikke){\ displaystyle (1 _ {(T = n)} \ times Z) ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n)}Z-1(x)∈FT.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ i {\ mathcal {F}} _ {T}.}

Gull FT={PÅ∈F∞/∀ikke PÅ∩(T=ikke)∈Fikke}.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T} = \ {A \ i {\ mathcal {F}} _ {\ infty} / \ forall n \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \}.}

Derfor Z-1(x)∩(T=ikke)∈Fikke.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ i {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Til slutt er det målbart. 1(T=ikke)×Z{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ ganger Z \,}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

⇐{\ displaystyle \ Leftarrow} :

(1(T=ikke)∗Z)-1(x)=Z-1(x)∩(T=ikke)∈Fikke{\ displaystyle (1 _ {(T = n)} * Z) ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ i {\ mathcal {F}} _ {ikke}}

med mer . Derfor (i henhold til definisjonen av ). Så er målbart. Z-1(x)∈F∞{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ i {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}Z-1(x)∈FT{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ i {\ mathcal {F}} _ {T}}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Forslag  -  er -målbart. XT{\ displaystyle X_ {T} \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Demonstrasjon XT=∑ikke1(T=ikke)XT+1(T=∞)X∞=∑ikke1(T=ikke)Xikke+1(T=∞)X∞{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {T} & = \ sum _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {T} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty } \\ & = \ sum _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {n} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty} \ end {align}}}

med hvem er -målbare, derav er -målbare. I følge det forrige lemmaet er det målbart. 1(T=ikke) et Xikke{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ og \ X_ {n}}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}XT×1(T=ikke){\ displaystyle X_ {T} \ times 1 _ {(T = n)} \,}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}XT{\ displaystyle X_ {T} \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Eksempler og moteksempler

Vurder en sekvens av tilfeldige variabler, med verdier i et sett og legg merke til stammen som genereres deretter. De tilfeldige variablene nedenfor er stoppetider for filtreringen  :  X=(Xk)k≥0 {\ displaystyle \ scriptstyle \ X = (X_ {k}) _ {k \ geq 0} \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} Fikke {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} (Xk)0≤k≤ikke. {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}. \} (Fikke)ikke≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

• La være et element av  ; vi kaller tidspunktet for første retur i , og vi betegner det tilfeldig variabel definert nedenfor: j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \} E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \} j, {\ displaystyle \ scriptstyle \ j, \} Rj, {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {j}, \}

Rj={inf{ikke>0|Xikke=j}hvis{ikke>0|Xikke=j}≠∅,+∞Hvis ikke.{\ displaystyle R_ {j} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} && {\ textrm {si}} \ quad \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {ellers.}} \ end {array}} \ høyre.}

• På samme måte for en del av en samtale øyeblikk for første oppføring i og en noterer den tilfeldige variabelen definert nedenfor: VS {\ displaystyle \ scriptstyle \ C \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \} TVS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ T_ {C}, \}

TVS={inf{ikke≥0|Xikke∈VS}hvis{ikke≥0|Xikke∈VS}≠∅,+∞Hvis ikke.{\ displaystyle T_ {C} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ in C \ right \} && { \ textrm {si}} \ quad \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ i C \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {ellers. }} \ end {array}} \ right.}

• Øyeblikkelig av -th retur i notert og definert av gjentakelse av: k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k} Jeg, {\ displaystyle \ scriptstyle \ i, \} RJeg(k) {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {i} ^ {(k)} \}

RJeg(k)={inf{ikke>RJeg(k-1)|Xikke=Jeg}hvis{ikke>RJeg(k)|Xikke=Jeg}≠∅,+∞Hvis ikke.,{\ displaystyle R_ {i} ^ {(k)} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n> R_ {i} ^ {(k-1)} \, \ grønn \, X_ {n} = i \ høyre \} && {\ textrm {si}} \ quad \ venstre \ {n> R_ {i} ^ {(k)} \, \ grønn \, X_ {n} = i \ right \} \ neq \ emptyset, \\ + \ infty && {\ textrm {ellers.}} \ end {array}} \ right.,} eller igjen øyeblikkelig av -th oppføring er ta. k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \}

• For og i vi stiller Vi kan vise at det ikke er en stoppetid, men at det derimot er en stoppetid. Jeg {\ displaystyle \ scriptstyle \ i \} j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} T=inf{ikke≥0|Xikke=Jeg og Xikke+1=j}. {\ displaystyle \ scriptstyle \ T = \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} = i {\ text {and}} X_ {n + 1} = j \ right \}. \} T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} T+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ T + 1 \}

Referanser

1. (in) Michiel Hazewinkel , Encyclopaedia of Mathematics , Springer Science & Business Media,1 st desember 2013( ISBN  978-94-009-5991-0 , leses online ) , s.  100, 110.
2. (en) Geoffrey Grimmett og David Stirzaker , Sannsynlighet og tilfeldige prosesser , Oxford; New York: Oxford University Press,2001( ISBN  978-0-19-857223-7 og 978-0-19-857222-0 , leses online ) , s.  263, 264, 498, 499.

Relaterte artikler

• Sekretærens problem

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">