Martingale (stokastisk kalkulus)

En martingale er en sekvens av tilfeldige variabler (med andre ord en stokastisk prosess ), slik som den matematiske forventningen for øyeblikket , forutsatt at informasjonen som er tilgjengelig på et tidligere tidspunkt , betegnet , er (med ). Xt{\ displaystyle X_ {t}} E(Xt){\ displaystyle E (X_ {t})}t{\ displaystyle t}s{\ displaystyle s}Fs{\ displaystyle F_ {s}}E(Xt|Fs)=Xs{\ displaystyle E (X_ {t} | F_ {s}) = X_ {s}}s≤t{\ displaystyle s \ leq t}

Spesielt i en diskret prosess (heltall t) . E(Xt+1|X0,X1,...Xt)=Xt{\ displaystyle E (X_ {t + 1} | X_ {0}, X_ {1}, ... X_ {t}) = X_ {t}}

En martingale kan modellere gevinster / tap akkumulert av en spiller under uavhengige gjentakelser av et sjansespill med null forventninger (selv om spilleren tillater seg å endre sin innsats basert på tidligere gevinster), derav lånet av begrepet martingale fra spillverdenen .

Vi vil si at det er en prosess som er egnet for filtrering . X{\ displaystyle X} F{\ displaystyle F}

Vi vil snakke om sub-martingale if og super-martingale if . E(Xt|Fs)≥Xs{\ displaystyle E (X_ {t} | F_ {s}) \ geq X_ {s}}E(Xt|Fs)≤Xs{\ displaystyle E (X_ {t} | F_ {s}) \ leq X_ {s}}

Definisjoner

Stokastisk prosess

En stokastisk prosess er en familie av tilfeldige variabler , vanligvis indeksert av eller . R+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Filtrering

En filtrering er en økende serie stammer (eller sigma-algebraer) , det vil si . (Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}Fikke⊂Fikke+1,  ∀ikke∈IKKE{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} \ subset {\ mathcal {F}} _ {n + 1}, \ \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}

Naturlig filtrering

La være en serie tilfeldige variabler. Vi sier at definert av er den naturlige filtreringen av sekvensen . (Xikke)ikke≥0{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}(Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}Fikke=σ(X0,...,Xikke), ∀ikke∈IKKE{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = \ sigma (X_ {0}, \ ldots, X_ {n}), \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}(Xikke)ikke≥0{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Tilpasset prosess

Prosessen sies å være egnet for filtrering hvis den er målbar for et helt tall n. (Xikke)ikke≥0{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}(Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}Xikke{\ displaystyle X_ {n}}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Martingale i IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Enten filtrering. (Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

La være en serie tilfeldige variabler. (Mikke)ikke≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Vi sier at det er en martingale med hensyn til hvis: (Mikke)ikke≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}(Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

1. (Mikke)ikke≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}er egnet for filtrering .(Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}
2. Mikke{\ displaystyle M_ {n} \,}er integrerbar for alle heltall n .
3. E(Mikke+1|Fikke)=Mikke{\ displaystyle E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = M_ {n}}.

Hvis respekterer de to første forholdene, og da kalles det sub-martingale, og hvis , så kalles det super-martingale. (Mikke)ikke≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}E(Mikke+1|Fikke)≥Mikke ∀ikke{\ displaystyle E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) \ geq M_ {n} \ \ forall n}E(Mikke+1|Fikke)≤Mikke ∀ikke{\ displaystyle E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) \ leq M_ {n} \ \ forall n}

De sier det er en -martingale. (Mikke)ikke≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Forutsigbar prosess

Enten filtrering. (Fikke)ikke≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

La være en serie tilfeldige variabler. (Yikke)ikke≥0{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Vi sier at det er en forutsigbar prosess hvis den er -målbar og er -målbar for alle heltall n. (Yikke)ikke≥0{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ geq 0}}Y0{\ displaystyle Y_ {0} \,}F0{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}}Yikke+1{\ displaystyle Y_ {n + 1} \,}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Navnehistorikk

La oss her gi en antikronologisk historie med navnet (og ikke konseptet) til martingale (som følge av dette notatet)

I sannsynlighetsteorien er ordets martingale (og ikke av begrepet) første opptreden i avhandlingen til Jean Ville (i 1939 ), i kapittel IV, avsnitt 2 i uttrykket: “system of game or martingale”. Han spesifiserer at dette begrepet er lånt fra spillernes vokabular. Legg merke til at det engelske navnet ( martingale ) ble hentet fra det franske av Joseph Leo Doob , som da var ordfører for avhandlingen til Ville.

Martingalen i spill

På språket for spill vises begrepet martingale for første gang i 1611 i den fransk-engelske ordboken til Randle Cotgrave . Uttrykket "martingale" er definert med ordene: absurd, tåpelig, utilsiktet, grovt, frekt, på den mest hjemmelagde måten ( absurd, dum, irriterende, grovt, brutalt stygg måte ). I ordboken til Abbé Antoine François Prévost fra 1750 foreslås en strategi som består i at spilleren skal doble innsatsen ved hvert tap "for å trekke seg med en sikker gevinst, forutsatt at han vinner en gang". Man kan tro at denne strategien kan betraktes som absurd . I følge et provençalsk uttrykk betyr jouga a la martegalo : å spille på en uforståelig, absurd måte . Merk at begrepet martingale dukket opp i ordboken til det franske akademiet i 1762 .

Er martingalen absurd  ?

Begrepet martegalo refererer til innbyggerne i Martigues . Den bortgjemte plasseringen av Martigues , det XVI th  -tallet, "har tjent sin innbyggere velkjente naivitet rykte"  ; de tilskrives en viss "ledighet", "naivitet" så vel som "hånlige bemerkninger".

Eiendommer

Eiendom 1

Enten en martingale. (Mikke)ikke≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Vi har E(Mikke+1)=E(E(Mikke+1|Fikke))=E(Mikke)=...=E(M0){\ displaystyle E (M_ {n + 1}) = E (E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n})) = E (M_ {n}) = \ ldots = E (M_ {0})}

Med andre ord er sekvensen konstant. (E(Mikke))ikke≥0{\ displaystyle (E (M_ {n})) _ {n \ geq 0}}

Eksempler på martingaler

• La være en integrerbar tilfeldig variabel og .X{\ displaystyle X \,}Xikke: =E(X|Fikke){\ displaystyle X_ {n}: = E (X | {\ mathcal {F}} _ {n})}

Så er en -martingale. (Xikke)ikke{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n} \,}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

• La være en serie uavhengige og sentrerte tilfeldige variabler.(Xk)k{\ displaystyle (X_ {k}) _ {k} \,}

Sekvensen definert av er en -martingale med . (Sikke)ikke{\ displaystyle (S_ {n}) _ {n} \,}Sikke: =∑k=1ikkeXk{\ displaystyle S_ {n}: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k}}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}Fikke=σ(X0,...,Xikke){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = \ sigma (X_ {0}, \ ldots, X_ {n})}

• Enten en -martingale, eller en avgrenset prosess som er forutsigbar mht .(Xikke)ikke{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n}}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}(Yikke)ikke{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n}}(Fikke)ikke{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n}}

Så definert av er en -martingale. (Zikke)ikke{\ displaystyle (Z_ {n}) _ {n} \,}Zikke: =Y0X0+∑k=1ikkeYk(Xk-Xk-1){\ displaystyle Z_ {n}: = Y_ {0} X_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} Y_ {k} (X_ {k} -X_ {k-1})}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

• Doob's Martingale

Vi studerer den betingede forventningen til en tilfeldig variabel X i henhold til en sekvens av tilfeldige variabler definert på samme sannsynlighetsrom, og vi setter: (Yikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Xikke=E[X|Y0,...,Yikke]{\ displaystyle X_ {n} = \ mathbb {E} [X | Y_ {0}, ..., Y_ {n}]}

Sekvensen av kalles Doobs martingale. (Xikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

• Martingale of Wald

Vi definerer sekvensen av i henhold til genereringsfunksjonen til en sekvens av uavhengige identisk fordelte tilfeldige variabler(Xikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(Yikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Xikke=et∑Jeg=1ikkeYJegE[etY]-ikke{\ displaystyle X_ {n} = e ^ {t \ sum _ {i = 1} ^ {n} Y_ {i}} \, \ mathbb {E} [e ^ {tY}] ^ {- n}}

Sekvensen av kalles Wald martingale. (Xikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

• Kontinuerlig eksempel på martingale

For eksempel kan vi definere martingaler med browniske bevegelser. Dette har mange koblinger med stokastisk integrasjon. Vi begynner med å definere filtrering som den naturlige filtreringen av en standard brownian bevegelse . Så den stokastiske prosessen er en martingale. Dette gir også Doob-spaltning av submartingale(Bt)t{\ displaystyle (B_ {t}) _ {t}}(Mt=Bt2-t)t{\ displaystyle (M_ {t} = B_ {t} ^ {2} -t) _ {t}}(Bt2)t{\ displaystyle (B_ {t} ^ {2}) _ {t}}

Martingales og nedetid

Setning 1

Enten en martingale og en nedetid . (Mikke)ikke{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n} \,}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}T{\ displaystyle T \,}

Så er det en martingale (kalt "stoppet martingale"). (Mikke∧T)ikke{\ displaystyle (M_ {n \ wedge T}) _ {n} \,}

Demonstrasjon

• Mikke∧T=∑j=1ikke-1Mj∗1(T=j)+Mikke∗1(T≥ikke){\ displaystyle M_ {n \ wedge T} = \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} + M_ {n} * 1 _ {(T \ geq ikke)}}.

∀k<ikke Mk et 1(T=j){\ displaystyle \ forall k <n \ M_ {k} \ og \ 1 _ {(T = j)}}er målbare. Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

(T≥ikke)=(T<ikke)vs.=(⋃k=0ikke-1(T=k))vs.∈Fikke{\ displaystyle (T \ geq n) = (T <n) ^ {c} = (\ bigcup _ {k = 0} ^ {n-1} (T = k)) ^ {c} \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}.

Så er målbart Mikke∧T{\ displaystyle M_ {n \ wedge T} \,}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

• |Mikke∧T|≤|Mikke|+|∑j=1ikke-1Mj|{\ displaystyle | M_ {n \ wedge T} | \ leq | M_ {n} | + | \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} M_ {j} |}dermed er integrerbar.Mikke∧T{\ displaystyle M_ {n \ wedge T} \,}

• E(Mikke+1∧T|Fikke)=E(∑j=1ikke-1+1Mj∗1(T=j)|Fikke)+E(Mikke+1∗1(T≥ikke+1)|Fikke){\ displaystyle E (M_ {n + 1 \ wedge T} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = E (\ sum _ {j = 1} ^ {n-1 + 1} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} | {\ mathcal {F}} _ {n}) + E (M_ {n + 1} * 1 _ {(T \ geq n + 1)} | {\ mathcal { F}} _ {ikke})}.

Eller er målbare , det samme for . Mj et 1(T=j){\ displaystyle M_ {j} \ og \ 1 _ {(T = j)}}Fikke{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}∀j≤ikke{\ displaystyle \ forall j \ leq n}1(T≥ikke+1){\ displaystyle 1 _ {(T \ geq n + 1)}}

E(Mikke+1∧T|Fikke)=∑j=1ikkeMj∗1(T=j)+1(T≥ikke+1)∗E(Mikke+1|Fikke)=∑j=1ikkeMj∗1(T=j)+1(T≥ikke+1)∗Mikke=Mikke∧T{\ displaystyle E (M_ {n + 1 \ wedge T} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} + 1 _ {(T \ geq n + 1)} * E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = \ sum _ {j = 1} ^ { n} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} + 1 _ {(T \ geq n + 1)} * M_ {n} = M_ {n \ kil T}}.  

Resultat

E(M0)=E(Mikke∧T){\ displaystyle E (M_ {0}) = E (M_ {n \ wedge T})}.

Bibliografi

• Stokastiske prosesser, Dominique Foata og Aimé Fuchs, Dunod, 2004, ( ISBN  2 10 048850 3 )
• (no) David Williams, Sannsynlighet med martingaler , Cambridge University Press,2018( 1 st  ed. 1991) ( ISBN  978-0-521-40605-5 )

Merknader og referanser

1. [1] historie om martingaler , Roger Mansuy, Math. & Sci. nynne. / Matematiske Social Sciences ( 43 rd  år, n ° 169, 2005 (1), s. 105-113)
2. Ville, J., Kritisk studie av begrepet kollektiv , Paris, Gauthier-Villars,1939
3. A Dictionarie of the French and English Tongues A Dictionarie of the French and English Tongues , Randle Cotgrave, original 1611 utgave.
4. [2] Leksikonhåndbok eller bærbar ordliste med ord François ( 1750 ).
5. [3] , se Lou Trésor dou Félibrige eller Dictionary of Provençal-French (1879), av Frédéric Mistral for provençalske uttrykk.
6. hvor betegner stammen generert av derfor settet med deler avσ(X0,...,Xikke){\ displaystyle \ sigma (X_ {0}, \ ldots, X_ {n})}XJeg{\ displaystyle X_ {i}}{X0,...,Xikke}{\ displaystyle \ {X_ {0}, \ ldots, X_ {n} \}}