Rouchés setning
I kompleks analyse er Rouchés teorem en uttalelse om nuller og poler av meromorfe funksjoner . Det er oppkalt til ære for den franske matematikeren Eugène Rouché .
Stater
La være en enkelt koblet åpen , la f og g være to meromorfe funksjoner på med et endelig sett med nuller og poler. La γ være en enkel blonder med bilde som danner kanten på en kompakt . Ja
U⊂VS{\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}}
U{\ displaystyle U}
F{\ displaystyle F}
U-F{\ displaystyle UF}
∂K{\ displaystyle \ delvis K}
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}![| f (z) -g (z) | <| g (z) |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a4413165c0a70e8deb01d43bf75808d1a8cea5)
for ethvert punkt
z av
γ
så
Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}![{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd8916938612a296b9f3084211af1e3479e69f1)
hvor og er henholdsvis antall nuller og poler av (tatt i betraktning deres mangfoldighet) inneholdt i .
Zf{\ displaystyle Z_ {f}}
Pf{\ displaystyle P_ {f}}
f{\ displaystyle f}
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Eksempel
Tenk på de to polynomfunksjonene f og g definert av:
f(z)=z8-5z3+z-2,g(z)=-5z3{\ displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}![{\ displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d94be86e2195b518083a326fe2702a02e55165)
og vurder sirkelen for gjeng . Vi sjekker at på dette blonderet:
VS(0,1): ={z∈VS∣|z|=1}{\ displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}![{\ displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e173c7bd87b5224e40dfd308d0e7142e34bb2ac8)
|f(z)-g(z)|=|z8+z-2|≤|z|8+|z|+2=4{\ displaystyle | f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4}![| f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08920986cd97e32e95c5d62aa7cd8f3073b8691)
og
|g(z)|=|-5z3|=5{\ displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}![{\ displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefc9b0eddd5392e4acacb55adcd93671089cb77)
.
Vi kan derfor bruke Rouchés teorem:
Zf=Zg{\ displaystyle Z_ {f} = Z_ {g}}![Z_ {f} = Z_ {g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b5f06cf0dd326d15406c7870bc64a9cf1cabae)
siden f og g ikke har noen pol. På den annen side har g en trippel null ved opprinnelsen, som derfor forteller oss at funksjonen f tillater tre nuller i den åpne disken .
D(0,1){\ displaystyle D (0,1)}![D (0,1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e278b4ff5c32f3cce4a2ea680f269a5398a7d49)
Demonstrasjon
Hvis for alle , så forsvinner ikke f og g (ellers kunne ikke den strenge ulikheten bekreftes). La h være den meromorfe funksjonen på , holomorf og ikke avbryte definert av:
|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}
z∈γ{\ displaystyle z \ in \ gamma}
γ{\ displaystyle \ gamma}
U{\ displaystyle U}
γ{\ displaystyle \ gamma}![\ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
h=fg{\ displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}![{\ displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be105cd38ab77dce2d10ccec1828db902c92072)
.
For ethvert punkt z av γ ,
|h(z)-1|=|f(z)-g(z)||g(z)|<1{\ displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}![{\ displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d863f26320d6acf150ae9f13fdb64c3fd2a4a67)
.
Bildet av par er derfor inneholdt i den åpne platen i radius 1 og sentrum 1 og følgelig dreier det seg ikke om opprinnelsen. Ved å bruke prinsippet i argumentet har vi derfor:
γ{\ displaystyle \ gamma}
h{\ displaystyle h}
D(1,1){\ displaystyle D (1,1)}![D (1.1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6606c8ee3e5724a3dfdbe3d04c8b989d5f414c1)
12πJeg∫γh′(z)h(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17049217603ff500180af8d13b44376c4bd823ba)
.
På den andre siden,
h′(z)h(z)=f′(z)f(z)-g′(z)g(z){\ displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}![{\ displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a0bfa250226da5ef6f364ace361c15c4e28eae)
.
Derfor,
12πJeg∫γf′(z)f(z)dz-12πJeg∫γg′(z)g(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfbe7c2d856728cbd28f184889797dd36e4afc1)
.
Til slutt, ved å bruke prinsippet om argumentet igjen, får vi
Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}![{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd8916938612a296b9f3084211af1e3479e69f1)
.
applikasjoner
La være et polynom med verdier i og definert av:
P{\ displaystyle P}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
P(z)=på0+på1z+⋯+påikkezikke{\ displaystyle P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}![P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d08f78bb6c0f1804d3f7314a3d29c3bc8daf61d)
antar . La være stor nok til at vi for alle (sirkel med radius R) har:
påikke≠0{\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}
R>0{\ displaystyle R> 0}
z∈VS(0,R){\ displaystyle z \ i C (0, R)}![z \ i C (0, R)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52b9462af1c62d90f8754b1aaff900061f2b59d)
|P(z)-påikkezikke|=|på0+⋯+påikke-1zikke-1|<|påikkezikke|{\ displaystyle | P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a_ {n-1} z ^ {n-1} | <| a_ {n} z ^ {n} |}![| P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a _ {{n-1}} z ^ {{n-1}} | <| a_ {n } z ^ {n} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f167294f426ef1e3d6d43135094505ee4fd721)
(f.eks. egnet).
R=1+maks(|på0|,...,|påikke-1|)|påikke|{\ displaystyle R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n-1} |)} {| a_ {n} |}}}![R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a _ {{n-1}} |)} {| a_ {n} |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1c53c1dc173942960d3517a82ab29ccb39935f)
Siden innrømmer null rekkefølge ved opprinnelsen, må innrømme nuller i den åpne platen ved anvendelse av Rouchés teorem.
påikkezikke{\ displaystyle a_ {n} z ^ {n}}
ikke{\ displaystyle n}
P{\ displaystyle P}
ikke{\ displaystyle n}
D(0,R){\ displaystyle D (0, R)}![D (0, R)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb1e2a10b04b825412ac529e33c090e6293c9b2)
Generaliseringer
Et århundre senere svekket Theodor Estermann Rouchés hypotese og oppnådde:|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}![{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a4413165c0a70e8deb01d43bf75808d1a8cea5)
La f og g være to meromorfe funksjoner inne i en enkel, justerbar sløyfe γ og kontinuerlig ved grensen, og slik at
|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |}![| f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed3249b6e819628c53202b3d33711dffb0d4745)
for ethvert punkt
z av
γ .
Så som ovenfor ,
Zf-Zg=Pf-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}![{\ displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b02121079fb80039f6bb1e689f24a7716cd0d9c)
.
Referanser
-
Tidsskrift for École Polytechnique , 1862, s. 217-218 .
-
(in) T. Estermann, Complex Numbers and Functions , Athlone Press, London, 1962, s. 156.
-
(in) I-Hsiung Lin Classical Complex Analysis: A Geometric Approach , Vol. 1, verdensvitenskapelig ,2011( ISBN 978-9-81426123-4 , leses online ) , s. 558.
Se også
Relatert artikkel
Hurwitzs setning om sekvenser av holomorfe funksjoner
Bibliografi
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">