Schwarz-setning

Den Schwarz teorem , Clairaut eller Young er en teorem for analyse på den andre partielle deriverte av en funksjon av flere variable . Det vises for første gang i et kurs i differensialregning gitt av Weierstrass i 1861 som Hermann Schwarz da deltok i Berlin .

Stater

Theorem Schwarz - Let $E$ og $F$ to normerte områder , $U$ en åpen av $e$ og $f : U \to F$ en dobbelt påføring differensierbar ved et punkt $et$ av $U$ . Deretter blir bilineær kartet $d 2 f et : E x E \to F$ er symmetrisk .

Resultat - La $f være$ en funksjon med reelle verdier definert på et åpent sett med $ℝ n$ . Hvis $f$ to ganger kan differensieres på et punkt, er dens hessiske matrise på dette punktet symmetrisk .

Hessisk symmetri betyr at resultatet av en delvis avledning i rekkefølge 2 med hensyn til to variabler ikke avhenger av rekkefølgen som avledningen er laget med hensyn til disse to variablene:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) (a) = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) (a)}

Denne setningen kalles noen ganger av den engelske " Young's theorem " ( teorem Young ), et navn som også betyr en utvidelse til høyere ordens derivater.

Et moteksempel

Ovennevnte resultat kan mislykkes når forutsetningene ikke bekreftes. Et første moteksempel , ganske komplisert, ble gitt av Schwarz selv i 1873. Et annet, enklere moteksempel ble foreslått av Peano i 1884. Det er funksjonen definert av:

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) = {\ begin {cases} {\ frac {xy \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right)} {x ^ {2} + y ^ {2}}} og {\ text {si}} \ venstre (x, y \ høyre) \ neq \ venstre (0,0 \ høyre) \\ 0 & {\ tekst {ellers,}} \ slutt { saker}}}

som sjekker

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} \ left (0,0 \ right) = - 1 \ quad {\ text {while}} \ quad {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ left (0,0 \ right) = 1}

Søknad på differensialskjemaer

Tenk i dimensjon 2 følgende eksakte differensial 1-form , hvor $f$ er av klasse C 2 :

{\ displaystyle \ mathrm {d} f = a (x, y) \, \ mathrm {d} x + b (x, y) \, \ mathrm {d} y.}

Så,

{\ displaystyle a (x, y) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) {\ text {et}} b (x, y) = {\ frac {\ partial f } {\ delvis y}} (x, y).}

Ved å anvende Schwarz teorem utleder vi:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial b} {\ partial x}} (x, y) = {\ frac {\ partial a} {\ partial y}} (x, y).}

Dette er derfor en nødvendig forutsetning for at differensialformen er riktig. En differensiell form som tilfredsstiller denne nødvendige tilstanden sies å være lukket .

Mer generelt, i dimensjon n :

enhver eksakt form for klasse C 1 er stengt,

som, i det spesielle tilfellet av en 1-form $ω$ , er skrevet:

{\ displaystyle {\ text {si}} \ omega = \ mathrm {d} f {\ text {then}} \ mathrm {d} \ omega: = \ sum _ {i <j} \ left ({\ frac { \ partial \ omega _ {j}} {\ partial x_ {i}}} - {\ frac {\ partial \ omega _ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right) \ mathrm {d} x ^ {i} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {j} = 0.}

Demonstrasjon for en 1-form

Vurder en nøyaktig 1-form

{\ displaystyle \ omega = \ mathrm {d} f = \ omega _ {1} \ mathrm {d} x_ {1} + \ omega _ {2} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + \ omega _ {n} \ mathrm {d} x_ {n}}

der funksjonen f er av klasse $C 2$ . Det vet vi også

{\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} \ mathrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { 2}}} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} \ mathrm {d} x_ {n}}

Så for alt ${\ displaystyle i, j <n}$

{\ displaystyle \ omega _ {i} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {j} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}}}

Ved å utlede og henholdsvis i henhold til og , $\ omega _ {i}$ $\ omega _ {j}$ $x_ {j}$ $x_ {i}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ omega _ {i}} {\ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j }}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ omega _ {j}} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i }}}}

I kraft av Schwarz teorem - som gjelder her fordi det antas å være av klasse $C$ $1$ - er disse to delderivatene like, derav $\ omega _ {i}$

{\ displaystyle \ forall i, j <n, \ quad {\ frac {\ partial \ omega _ {i}} {\ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial \ omega _ {j}} { \ delvis x_ {i}}}}

som fullfører demonstrasjonen.

Merknader og referanser

I Frankrike og Belgia kalles det noen ganger Clairauts teorem . Jf. James Stewart ( overs. Micheline Citta-Vanthemsche), analyse. Konsepter og sammenhenger , vol. 2: Funksjoner av flere variabler , De Boeck ,2006, 1064 s. ( ISBN 978-2-8041-5031-0 , leses online ) , s. 764.
Knut Sydsaeter , Peter Hammond ( overs. Fra engelsk av Micheline Citta-Vanthemsche), Matematikk for økonomien [" Matematikk for økonomisk analyse "], Pearson ,2014.
Sylvie Benzoni-Gavage , Differensialregning og differensiallikninger: leksjoner og korrigerte øvelser , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( les online ) , s. 72.
En demonstrasjon er tilgjengelig på Wikiversity ( se nedenfor ).
Den teorem er ofte angitt og vist under mer restriktiv antagelse at $f$ er av klasse C- 2 på $U$ .
Henri Cartan , Kurs i differensialregning , Hermann , 1967, opptrykk. 1977, s. 65-69 .
(in) "Young's theorem" (utgivelse av 11. juli 2006 på internettarkivet ) , fra UC Berkeley , Department of Agricultural & Resource Economics .
(in) RGD Allen, matematisk analyse for økonomer , New York, St. Martin's Press,1964( les online ) , s. 300-305.
Ernst Hairer og Gerhard Wanner ( trans. Fra engelsk), The Analysis gjennom historien [ " Analyse av dets historie "], Springer ,2001( 1 st ed. 1996) ( lest på nettet ) , s. 316-317.
Denne telleren-eksemplet er detaljert på Wikiversité ( se nedenfor ).

Se også

Lemma av Poincaré