Iwasawa teori

Den teori for Iwasawa kan sees som et forsøk på å forlenge konvensjonelle aritmetiske resultat på kroppene til nummer (utvidelser Finite legeme rasjonell) til uendelig utvidelser ved å føre fremgangs på grensen av endelige utvidelser til endeløse utvidelser. Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Generell

De grunnleggende objektene til Iwasawas teori er - utvidelser; det vil si Galois-utvidelser der Galois-gruppen er profini-gruppen , for et fast primtall. Ved Galois-korrespondansen tilsvarer dataene til en utvidelse dataene til et tårn med utvidelser slik at hver er Galois på Galois- gruppen . Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}} Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}s{\ displaystyle p}Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}K=K0⊂K1⊂⋯⊂Kikke⊂⋯⊂K∞{\ displaystyle K = K_ {0} \ subset K_ {1} \ subset \ dots \ subset K_ {n} \ subset \ dots \ subset K _ {\ infty}}Kikke{\ displaystyle K_ {n}}K{\ displaystyle K}Z/sikkeZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}

• For hvert tallfelt kan en bestemt utvidelse konstrueres ved å legge til røtter -th enhet: den cyklotomiske -forlengelsen .Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}s{\ displaystyle p}Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• Under antagelsen fra Leopoldt innrømmer et tallfelt -linjært uavhengige utvidelser, hvor vurderes antall par konjugerte komplekse innblandinger i feltet; som også kan oppgis ved å si at sammensetningen av alle disse utvidelsene har Galois-gruppen .r2+1{\ displaystyle r_ {2} +1} Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}r2{\ displaystyle r_ {2}}Zsr2+1{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {r_ {2} +1}}

Grunnleggende setning

Teoriens grunnleggende setning, på grunn av Iwasawa, gjelder oppførselen til gruppen av klasser langs en utvidelse. La være et primtall, en kropp av tall og en utvidelse av . For hver er vi interessert i kardinal du - Sylow fra gruppen klasser av  ; legg merke til det . Deretter eksisterer det heltall , (positive), (av et hvilket som helst tegn), slik at vi for store nok har: Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}s{\ displaystyle p \,}K{\ displaystyle K \,}⋃ikkeKikke{\ displaystyle \ bigcup _ {n} K_ {n} \,}Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \,}K{\ displaystyle K \,}ikke{\ displaystyle n \,}s{\ displaystyle p \,}Kikke{\ displaystyle K_ {n} \,}seikke{\ displaystyle p ^ {e_ {n}} \,}μ{\ displaystyle \ mu \,}λ{\ displaystyle \ lambda \,}ν{\ displaystyle \ nu \,}ikke{\ displaystyle n \,}

eikke=μsikke+λikke+ν{\ displaystyle e_ {n} = \ mu p ^ {n} + \ lambda n + \ nu \,}

Idé om demonstrasjonen

Merk A (K n ) til p -Sylow gruppen av klasser av legemet K n . Ved feltteoriklasser er det en utvidelse L n av K n slik at  : L n er p - utvidelse abelisk ikke forgrenet maksimum K n . Foreningen av kropp L n gir deretter en kropp L , som er pro p - utvidelse Abelian maksimum ikke-forgrenet . PÅ(Kikke)≃Gpål(Likke/Kikke){\ displaystyle A (K_ {n}) \ simeq Gal (L_ {n} / K_ {n})}K∞{\ displaystyle K _ {\ infty}}

Vi vurderer deretter Galois-gruppen  : X=Gpål(L/K∞){\ displaystyle X = Gal (L / K _ {\ infty})}

• X er den projiserte grense av gruppene , som vises som kvotienter X .Gpål(Likke/Kikke){\ displaystyle Gal (L_ {n} / K_ {n})}
• X som pro- p -gruppe abelske har en naturlig struktur -module.Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• Videre virker Galois-gruppen i den cyklotomiske forlengelsen på X , som kan vises å være utstyrt med en -modulstruktur, det vil si en Iwasawa-modul .Gpål(K∞/K){\ displaystyle Gal (K _ {\ infty} / K)}Zs[[T]]{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [[T]]}

Undersøkelsen av strukturen til Iwasawas moduler kommer under lineær algebra. Å vite deres klassifisering opp til pseudo-isomorfisme, og etter å ha beregnet etter hvilken undergruppe vi kvotient X skal oppnå , kan vi utlede det asymptotiske estimatet av kardinaliteten til disse gruppene, som gir formelen kunngjort på A (K n ) . Gpål(Likke/Kikke){\ displaystyle Gal (L_ {n} / K_ {n})}

Noen resultater og antagelser

• Invarianten er null for den -cyclotomic utvidelsen over en abelian utvidelse av ( Ferrero-Washington teorem ). Eksempler er kjent om andre utvidelser der den ikke er null.μ{\ displaystyle \ mu}Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
• Invarianten er for eksempel kjent for imaginære kvadratiske felt , etter Kidas formel . Det antas at det er null for totalt virkelige kropper , dette er Greenberg-formodningen .λ{\ displaystyle \ lambda}
• Modulstrukturen til gruppen Iwasawa er i noen tilfeller koblet til visse funksjoner L p-adic (fr) , ved hovedformodningen om Iwasawa-teorien, demonstrert for av Mazur og Wiles i 1984, deretter for et hvilket som helst tallfelt som er helt reelt av Wiles i 1990. Deres teknikker ble inspirert av de som ble brukt av Ken Ribet i hans bevis på Herbrand-Ribet-setningen . Karl Rubin demonstrerte andre generaliseringer av antagelsen for imaginære kvadratiske felt. Mer nylig, med inspirasjon fra Ribets metode, kunngjorde Chris Skinner og Eric Urban et bevis på den viktigste gjetningen for GL (2).X=Gpål(L/K∞){\ displaystyle X = Gal (L / K _ {\ infty})} Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Utvikling

Utviklingen av Iwasawas ideer kan skje langs flere linjer:

• vi vurderer oppførselen langs stadiene av en utvidelse av andre objekter enn gruppen av klasser, spesielt Mordell-Weil-gruppen til en elliptisk kurve . Vi snakker om Iwasawas teori om elliptiske kurver .Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• man vurderer oppførselen til aritmetiske objekter ikke lenger langs en -forlengelse, men i uendelige utvidelser som har andre Galois-grupper: for eksempel , eller mer generelt en p -adisk analytisk gruppe . En ikke-kommutativ teori om Iwasawa utviklet seg således , særlig under ledelse av John Coates .Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}Zsd{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {d}}

Merknader og referanser

Merknader

1. (in) B. Mazur og A. Wiles , "  Class fields of abelian extensions of Q  " , Inventiones Mathematicae , vol.  76, n o  to 1984, s.  179–330 ( les online )
2. (in) A. Wiles , "  The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields  " , Annals of Mathematics , vol.  131, n o  3, 1990, s.  493–540 ( DOI  10.2307 / 1971468 )
3. (in) K. Rubin , "  The" conjectures hand "of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields  " , Inventiones Mathematicae , vol.  103, n o  1, 1991, s.  25–68 ( DOI  10.1007 / BF01239508 )
4. (en) C. Skinner et É. Urban, The Iwasawa main conjectures for GL 2 , preprint (2010).

Referanser

• (fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Iwasawa theory  " ( se listen over forfattere ) .
• (en) Lawrence C. Washington  (de) , Introduction to Cyclotomic Fields [ detalj av utgaver ]