Teori om invarianter

I matematikk er teorien om invarianter , spesielt initiert og utviklet av Arthur Cayley , James Joseph Sylvester , Charles Hermite , Paul Gordan og mange andre matematikere, studiet av invarianter av algebraiske former (tilsvarende symmetriske tensorer ) for gruppeaksjoner under lineære transformasjoner . På slutten av XIX - tallet er det sentrum for en stor forskningsinnsats når det ser ut til at det kan være hjørnesteinen i algoritmisk(i konkurranse med andre matematiske formuleringer av symmetriens uforanderlighet). Til tross for hardt arbeid holdt den ikke løftene sine, men tillot utvikling av flere andre fagområder. I XXI th århundre, symmetriske grupper og symmetriske funksjoner , den kommutativ algebra , de modulrom og representasjoner av Lie-gruppen som er mest fruktbart avkom.

Invarianter i klassisk geometri

De fleste invarianter av klassiske geometrier (avstander, vinkler, kryssforhold, volum) er, bortsett fra en parameter, polynomfunksjoner uforanderlige for en klassisk gruppe og har analoger på mer generelle kommutative felt. For eksempel, i et affinert euklidisk rom, er funksjonen som assosieres med to punkter kvadratet til deres avstand polynom, invariant av gruppen isometrier. Teorien om invarianter består, for en gitt gruppehandling, i å lage en liste over elementære polynomfunksjoner som er uforanderlige for den vurderte gruppen, og som en hvilken som helst annen invariant polynomfunksjon blir trukket fra.

Følgende eksempler kan siteres:

For den symmetriske gruppen som permuterer n- tall , er de elementære symmetriske polynomene uforanderlige, og ethvert polynominvariant av den symmetriske gruppen er et algebraisk uttrykk for disse elementære funksjonene. $x_ {1}, \ prikker, x_ {n}$ $x_ {1}, \ prikker, x_ {n}$
For den ortogonale gruppen som virker i et euklidisk rom , er prikkproduktet invariant, og enhver funksjon av flere vektorer polynomiske i komponentene i disse vektorene og invariante av gruppen er et algebraisk uttrykk for prikkproduktet til disse vektorene.
For den spesielle ortogonale gruppen som virker i et orientert euklidisk rom , er prikkproduktet og det blandede produktet invariant, og enhver funksjon av flere polynomvektorer i komponentene av disse vektorene og invarianten av gruppen er et algebraisk uttrykk for prikkproduktet og produkt blandet av disse vektorene.
For den lineære spesialgruppen som virker på et vektorrom med endelig dimensjon n og på dens dobbelte , er determinanten av n vektorer eller av n lineære former, så vel som produktet av en lineær form påført en vektor invarianter i gruppen, hvilken som helst funksjon av vektorer eller av lineære polynomformer i komponentene til disse vektorene eller av disse lineære former er et algebraisk uttrykk for disse determinantene og av disse produktene. $\ varphi (x)$

Ved å kombinere gruppehandling og algebraisk uttrykk, er denne teorien direkte basert på klassiske algebraiske grupper.

Se også

Relatert artikkel

Geometrisk invariant teori (i)

Eksterne lenker og bibliografi

Jean Dieudonné , teori om invarianter i XIX - tallet , Seminar Nicolas Bourbaki 1970-71 avslørte 395
(en) Hanspeter Kraft (de) og Claudio Procesi , Classical Invariant Theory, a Primer
Herman Weyl, De klassiske gruppene , Princeton University Press, (åttende utgave, 1973)