Napoleons teorem

Den Napoleon teorem er en teorem av geometri på likesidet trekant er bygget opp av en trekant en.

Selv om det tradisjonelt tilskrives Napoleon Bonaparte (derav navnet på teoremet), er det ikke noe konkret bevis for at han faktisk er forfatteren av teoremet. Uttalelsen vises i 1825 i magasinet The Ladies 'Diary (i) , fire år etter keiserens død. Navnet Napoleon tilskrevet denne teoremet vises for første gang i 1911 i et italiensk matematisk verk; forfatteren bekrefter der at problemet ble stilt av Napoleon til Lagrange uten noen annen presisjon; det er mulig det er snakk om en forveksling med Napoleon-problemet , som man har ganske pålitelige vitnesbyrd for.

Stater

Napoleons teorem - Hvis vi konstruerer tre ensidige trekanter fra sidene av en hvilken som helst trekant, alle utenfor eller hele innsiden, danner midtpunktene til disse like sidene trekanter i seg selv en liksidig trekant.

Merknader:

Ved "eksteriør" er det for eksempel nødvendig å forstå at med notasjonene til vår figur og en orientert referanse, har trekantene ABC og ABZ motsatte retninger (her er ABC i trigonometrisk retning og ABZ i anti-trigonometrisk retning) , ditto for de to andre. I "interiør" -saken ville de ha samme betydning.
For en likesidig trekant, ved "sentrum", er det nødvendig å forstå tyngdepunktet, det vil si isobarycenter , skjæringspunktet mellom de tre medianene , forvekslet med ortosenteret eller sentrene i de innskrevne og omskrevne sirkler .

Demonstrasjon

I klassisk geometri

MCL- og ACX- trekanter er like , med et forhold på √ 3 . Faktisk er CA / CM = √ 3 = CX / CL og vinklene MĈL og AĈX er like. Eller på et mer moderne språk: ved den direkte likheten ( sammensatt av en homotitet og en rotasjon ) av sentrum C , av vinkelen ± 30 grader (i riktig retning) og av forholdet √ 3 , blir punktene M og L punktene A og X respektivt .

Fra hvilket det resulterer at lengden på segmentet AX er lik √ 3 ganger lengden på ML .

Ved å bruke samme resonnement på trekantene NBL og ABX viser vi at lengden på AX også er lik √ 3 ganger lengden på NL . Dermed har ML og NL samme lengde.

Vi viser også - sammenlignet med BY - at LM og NM har samme lengde.

Avslutningsvis: NL = ML = NM og trekanten MNL er like-sidig.

Med komplekse tall

Vi vil merke ( vanlig notasjon ) og vi vil bruke notasjonene i figuren. $j = e ^ {{i {\ frac {2 \ pi} {3}}}}$

Kompleksplanet er utstyrt med et direkte ortonormalt koordinatsystem . La a , b , c , l , m og n være de respektive festene til punktene A , B , C , L , M og N i denne referanserammen.

Ved konstruksjon er A bildet av B ved rotasjonen av sentrum N og vinkelen , noe som resulterer i: $\ textstyle {+ {\ frac {2 \ pi} {3}}}$

(an) = j (bn).

Like måte:

(bl) = j (cl) \ quad {\ text {and}} \ quad (cm) = j (am).

Vi kan utlede:

(1-j) n = a-jb, \ quad (1-j) l = b-jc \ quad {\ text {and}} \ quad (1-j) m = c-ja.

Liker og , da: $\ textstyle {{\ frac {1} {j}} + 1 + j = 0}$ $j ^ {3} = 1$

{\ begin {justert} (1-j) (mn) & = (- 1-j) a + jb + c \\ & = j ^ {2} a + j ^ {4} b + j ^ {3} c \\ & = - j ^ {2} [- a + (1 + j) b-jc] \\ & = - j ^ {2} [(b-jc) - (a-jb)] \\ & = -j ^ {2} (1-j) (ln) \ slutt {justert}}

Ved å dele med (1- j ) får vi . $(mn) = - j ^ {2} (ln) = e ^ {{i {\ frac {\ pi} {3}}}} (ln)$

Punktet M er bildet av L ved rotasjonen av sentrum N og av vinkelen, derfor er NLM en direkte liksidig trekant. $\ textstyle {+ {\ frac {\ pi} {3}}}$

Merk: denne demonstrasjonen er fortsatt gyldig når det gjelder "indre" trekanter ved å endre noen få tegn.

Lemma

Lemma 1 - The tyngdepunkter av utgangs trekanten ABC og den endelige trekant LMN sammenfallende.

Dette lemmaet kan enkelt demonstreres ved å ta bevisene med bevis med komplekse tall:

{\ begin {justert} (1-j) (n + l + m)) & = a-jb + b-jc + c-ja \\ & = (1-j) (a + b + c) \ end {justert}}

derav likestilling for anbringelse av barycenters ${\ tfrac {n + l + m} {3}} = {\ tfrac {a + b + c} {3}}$

Lemma 2 - Forskjellen mellom arealet til den siste "ytre" trekanten LMN og arealet til den siste "indre" trekanten L 1 M 1 N 1 er lik arealet til starttrekanten ABC .

La oss ta igjen de foregående notasjonene, for den "indre" trekanten (merk forbigående at punktet N 1 er det symmetriske av punktet N sammenlignet med linjen AB ); vi får da:

(1-j) n_ {1} = b-ja

(1-j) l_ {1} = c-jb

(1-j) m_ {1} = a-jc

og å vite at arealet til en ligesidig trekant med side a kan oppnås ved: og at , la oss beregne forskjellen: ${\ mathcal {A}} = {\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}} a ^ {2}$ $z \ overline {z} = \ left | z \ right | ^ {2}$

{\ begin {align} {\ mathcal {A}} & = {\ frac {{\ sqrt {3}}} {4}} \ left [(ln) \ overline {(ln)} - (l_ {1} -n_ {1}) \ overline {(l_ {1} -n_ {1})} \ right] \\ & = {\ frac {{{\ sqrt {3}}} {4}} {\ frac {1 } {(1-j) \ overline {(1-j)}}} \ left \ {\ left [(ba) -j (cb) \ right] \ left [\ overline {(ba)} - j ^ { 2} \ overline {(cb)} \ right] - \ left [(cb) -j (ba) \ right] \ left [\ overline {(cb)} - j ^ {2} \ overline {(ba)} \ right] \ right \} {\ text {car}} \ overline {j} = j ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {4 {\ sqrt {3}}}} \ left \ { 2j (ba) \ overline {(cb)} - (cb) \ overline {(ba)} - 2j (cb) \ overline {(ba)} + (ba) \ overline {(cb)} \ høyre \} \ slutt {justert}}

ved å utvikle og vite det $j ^ {2} = - 1-j.$

Som det kommer: $2j = -1 + i {\ sqrt {3}}$

{\ begin {align} {\ mathcal {A}} & = {\ frac {1} {4 {\ sqrt {3}}}} \ venstre \ {i {\ sqrt {3}} (ba) \ overline { (cb)} - i {\ sqrt {3}} (cb) \ overline {(ba)} \ right \} \\ & = {\ frac {1} {4i}} \ left \ {(cb) \ overline {(ba)} - (ba) \ overline {(cb)} \ høyre \} \ ende {justert}}

Det forrige resultatet er faktisk det (algebraiske) området i trekanten hvis toppunkt-påsatser er a , b og c .

Merknader og referanser

(in) W. Rutherford , " Issues in 1439 " , The Ladies Diary , Vol. 122,1825, s. 47.
(De) Fritz Schmidt , " 200 Jahre französische Revolution - Problem und Satz von Napoleon " , Didaktik der Mathematik , vol. 19,1990, s. 15-29 ( les online ).
(i) John E. Wetzel , " Converse of Napoleon's Theorem " , Amer. Matte. Månedlig , vol. 99,1992, s. 339-351 ( les online ) Oppsummering om Zentralblatt .
(i) Branko Grünbaum , " Er Napoleons teori virkelig Napoleons teorem? » , Amer. Matte. Månedlig , vol. 119, n o 6,2012, s. 495-501 ( DOI 10.4169 / amer.math.monthly.119.06.495 ).
(it) Aureliano Faifofer (it) , Elementi di geometria, ad uso degli istituti tecnici e dei licei , Venice, Sorteni & Vidotti,1911, 17 th ed.. Teoremet vises på s.186.
Grünbaum 2012 , op. cit. . Ifølge denne forfatteren, har identifisering av teoremet ved navn Napoleon vært så vellykket i XX th århundre har det nå blitt fåfengt å prøve å beskrive det på annen måte.
I henhold til General Review, Brussel, Didier Hatier, 1994 nr. 6 til 12, side 36 , blir teoremet nevnt gjennom hele XIX - tallet uten referanse til Napoleon, bortsett fra i 1898, og denne prisen forblir tvilsom.
På Universitetet i Grenoble hjemmeside, se Geometrien av trekanten , noe som gir flere sitater om dette temaet.

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

(no) Eric W. Weisstein , “ Napoleons teorem ” , på MathWorld
Michel Hort, " The Triangle of Napoleon " , på le-triangle-et-ses-calculs.ch