Wiener - Wintner-teorem

I matematikk er Wiener-Wintner-setningen (1941) , oppkalt etter Norbert Wiener og Aurel Wintner , en forsterkning av den ergodiske setningen .

Stater

Anta at det er en transformasjon som bevarer målene til et målt rom S av endelig mål. Hvis f er en virkelig verdsatt funksjon og integrerbar over S , fastslår Wiener-Wintner-setningen at det eksisterer et sett E av mål null slik at gjennomsnittet $\ tau$

limℓ→∞12ℓ+1∑j=-ℓℓeJegjλf(τjP){\ displaystyle \ lim _ {\ ell \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 \ ell +1}} \ sum _ {j = - \ ell} ^ {\ ell} e ^ {ij \ lambda} f (\ tau ^ {j} P)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ ell \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 \ ell +1}} \ sum _ {j = - \ ell} ^ {\ ell} e ^ {ij \ lambda} f (\ tau ^ {j} P)}

eksisterer for enhver reell og for enhver P som ikke tilhører E. $\ lambda$

Det spesielle tilfellet er egentlig Birkhoffs ergodiske setning , hvorfra umiddelbart følger eksistensen av et sett E med mål null, for et hvilket som helst fast λ , eller for et hvilket som helst tellbart sett av . Interessen til Wiener-Wintner-teoremet er at vi kan velge det eksepsjonelle settet E uavhengig av . ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda$ $\ lambda$

Denne teoremet er et spesielt tilfelle av returtidssetningen.

Referanser

(en) “Wiener - Wintner theorem” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lest online ) (en) “Wiener - Wintner theorem” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lest online )
Wiener, Norbert; Wintner, Aurel (1941), "Harmonic analysis and ergodic theory", American Journal of Mathematics, 63: 415–426, doi: 10.2307 / 2371534, ( ISSN 0002-9327 ) , JSTOR 2371534, MR 0004098