Picards teoremerker

I kompleks analyse er teoremene til Picard , til matematikeren Émile Picard , to i antall:

Den lille teoremet Picard sa at hele funksjonen ikke er konstant, tar hvert komplekse tall som verdi, bortsett fra kanskje noe komplekst tall.

Den store setningen til Picard sa at en holomorf funksjon som har en essensiell singularitet, tar på seg hvert nabolag i denne singulariteten, hvilket som helst komplekst tall utallige ganger som en verdi, bortsett fra kanskje et komplekst tall.

Merknader

"Unntatt kanskje en" i disse uttalelsene er nødvendig, som eksemplene nedenfor viser. Hele funksjonen (den komplekse eksponensielle ) forsvinner ikke. Den har til og med en essensiell singularitet i uendelig (det er en transcendent funksjon ). Funksjonen er et eksempel på en ikke-avbrytende funksjon med avgrenset essensiell singularitet (på punktet ). ${\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {1 / z}}$ ${\ displaystyle 0}$
Tilfellet med polynomfunksjoner er en direkte konsekvens av d'Alembert-Gauss-setningen .
Den lille teoremet kan trekkes umiddelbart fra den store, fordi enhver hel funksjon er enten et polynom eller den har en essensiell singularitet ved uendelig.
Picards store setning generaliserer Weierstrass-Casorati-teoremet .

En nylig antagelse av B. Elsner er knyttet til Picards store setning: la åpne tilkoblet som møter den stumpe enhetsdisken . På hver åpen , la en injeksjon holomorf funksjon som på alle kryssene . Så henger disse differensialene sammen i en meromorf 1-form på platen . (Hvis resten er null, kommer antagelsen fra Picards store teorem.) ${\ displaystyle U_ {1}, U_ {2}, \ prikker, U_ {n}}$ ${\ displaystyle D \ setminus \ {0 \}}$ $U_ {j}$ $f_ {j}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f_ {j} = \ mathrm {d} f_ {k}}$ $U_ {j} \ cap U_ {k}$ $D$

Merk

(in) Serge Lang , Complex Analysis , vol. 103, Springer Verlag , koll. " Graduate Texts in Mathematics ",1985, 2 nd ed. , 367 s. ( ISBN 978-1-4757-1871-3 , leses online ) , s. 343
s. 330 av (en) Bernhard Elsner, “ Hyperelliptic action integral ” , Annales de Institut Fourier , vol. 49, n o 1,1999, s. 303-331 ( les online ).

Relatert artikkel

Landaus teorem , generalisering av Picards “lille” teorem