En geometrisk transformasjon er en sammenheng av en del av et geometrisk sett i seg selv.
Studiet av geometri er i stor grad studiet av disse transformasjonene.
Geometriske transformasjoner kan klassifiseres i henhold til størrelsen på det geometriske settet: hovedsakelig plane transformasjoner og transformasjoner i rommet.
Vi kan også klassifisere transformasjoner i henhold til deres konserverte elementer:
Transformasjon | Bevarte elementer | Eksempler |
---|---|---|
Avstander og orienterte vinkler | Oversettelser og rotasjoner | |
Isometrier | Avstander og vinkler | Forskyvninger, symmetrier inkludert refleksjoner |
Likheter | Avstandsrapporter | Isometrier og homoteti |
Affine transformasjoner | Parallelisme | Likheter og tilhørigheter |
Homografiske transformasjoner | Rettigheter | Homologier |
Möbius transformasjoner | Sett med linjer og sirkler (plan sak)
Sett med fly og kuler (i rommet) |
Inversjoner |
Inntil nest siste inneholder hver av disse klassene den forrige.
Andre transformasjoner er også mulig:
Og til slutt, inkludert de forrige:
ekvivalent transformasjon
Vi oppretter deretter grupper og undergrupper av transformasjoner.
Refleksjoner, symmetrier, oversettelser og rotasjoner er eksempler på flyets eller romets isometrier. De to siste holder de orienterte vinklene og kalles da forskyvninger. Alle bevegelsene danner en gruppe.
Homothety og isometrier er eksempler på likheter mellom plan og rom. Det er til og med vist at disse transformasjonene genererer alle likhetene. Likheter som holder orienterte vinkler danner en gruppe som kalles gruppen av direkte likheter.
Affiniteter og likheter er eksempler på affinetransformasjoner av planet eller rommet. Vi beviser til og med at disse transformasjonene genererer settet med affine transformasjoner.
Det er også transformasjoner som ikke er definert i hele planet eller rommet. Blant disse kan vi sitere inversjoner, homologier som er homografiske transformasjoner.