Landau-Zener-formel

Den Landau-Z-formelen er en analytisk løsning på ligningene for bevegelse styrer overgangs dynamikken i en to- energi kvante -system , med en tidsavhengig Hamilton varierende, slik at energiforskjellen mellom nivåene, eller en lineær funksjon av tiden. Formelen, som gir sannsynligheten for en diabetisk (og ikke adiabiatisk ) overgang mellom de to energitilstandene, ble publisert separat av Lev Landau og Clarence Zener i 1932.

Problemet som stilles er følgende: hvis systemet er i den uendelig fjerne fortiden, i egenstaten med lavest energi, ønsker vi å beregne sannsynligheten for å finne systemet i egenstaten til den mest energien. Høyt i den uendelig fjerne fremtiden (dvs. den har gjennomgått en Landau-Zener-overgang). For en uendelig langsom variasjon av energidifferansen (det vil si en null Landau-Zener-hastighet), indikerer den adiabatiske teorien at denne typen overgang ikke vil finne sted, systemet er alltid i en tilstand Hamiltonians eget øyeblikksbilde på dette øyeblikket. Ved hastigheter som ikke er null, skjer overgangene med en sannsynlighet som kan oppnås med Landau-Zener-formelen.

Landau-Zener tilnærming

Slike overganger skjer mellom tilstandene i systemet som helhet, og antyder at enhver beskrivelse av systemet må omfatte ytre påvirkninger inkludert kollisjoner og eksterne elektriske og magnetiske felt . For at bevegelsesligningene for systemet kan løses analytisk, utføres et sett med forenklinger (tilnærminger fra Landau-Zener). Disse forenklingene er som følger:

forstyrrelsesparameteren i Hamiltonian er en kjent lineær funksjon av tiden.
energiseparasjonen av diabetiske tilstander varierer lineært med tiden.
kobling i den diabetiske Hamilton-matrisen er uavhengig av tid.

Den første forenklingen tillater en semiklassisk behandling. Når det gjelder et atom i et magnetfelt, blir feltets styrke en klassisk variabel som kan måles nøyaktig under overgangen. Denne antagelsen er ganske begrensende fordi en lineær variasjon generelt ikke vil presentere den optimale profilen for å oppnå ønsket overgangssannsynlighet.

Den andre forenklingen tillater erstatning:

{\ displaystyle \ Delta E = E_ {2} (t) -E_ {1} (t) \ equiv \ alpha t}

hvor og er energiene til de to tilstandene til enhver tid , gitt av elementene i Hamilton-matrisen, og er en konstant. For tilfellet med et atom i et magnetfelt tilsvarer dette en lineær modifikasjon i nevnte felt. For en lineær Zeeman-forskyvning kommer dette direkte fra den første forenklingen. $\ scriptstyle {E_ {1} (t)}$ $\ scriptstyle {E_ {2} (t)}$ $\ scriptstyle {t}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ alpha}}$

Den siste forenklingen krever at den tidsavhengige forstyrrelsen ikke induserer kobling i diabetiske tilstander, eller rettere sagt må koblingen skyldes et avvik fra Coulomb-potensialet i , ofte beskrevet som en kvantefeil . ${\ displaystyle \ scriptstyle {1 / r}}$

Landau-Zener-formel

Detaljene i Zeners løsning er ganske uklare, og stole på et sett med erstatninger for å sette bevegelsesligningen i form av Webers ligning for å kunne bruke den kjente løsningen. C. Wittig ga en klarere oppløsning ved å bruke en kantintegral .

Poenget å fremheve denne tilnærmingen er hastigheten til Landau-Zener:

v _ {{LZ}} = {{\ frac {\ partial} {\ partial t}} | E_ {2} -E_ {1} | \ over {\ frac {\ partial} {\ partial q}} | E_ {2} -E_ {1} |} \ approx {\ frac {dq} {dt}}

hvor er forstyrrelsesvariabelen (elektrisk eller magnetisk felt, molekylærbinding eller annet), og og er energiene til de to diabetiske tilstandene (kryssende). En stor fører til stor sannsynlighet for diabetisk overgang, og omvendt. $\ scriptstyle {q}$ $\ scriptstyle {E_ {1}}$ $\ scriptstyle {E_ {2}}$ $\ scriptstyle {v _ {{LZ}}}$

Ved å bruke Landau-Zener-formelen er sannsynligheten for en diabetisk overgang gitt av: $\ scriptstyle {P_ {D}}$

{\ begin {align} P_ {D} & = e ^ {{- 2 \ pi \ Gamma}} \\\ Gamma & = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ left | {\ frac {\ partial } {\ partial t}} (E_ {2} -E_ {1}) \ høyre |} = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ venstre | {\ frac {dq} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (E_ {2} -E_ {1}) \ høyre |} \\ & = {a ^ {2} \ over \ hbar | \ alpha |} \\\ ende {justert }}

hvor er lik halvparten av avstanden i energi til statene i den adiabatiske basen til .

{\ displaystyle a}

t = 0

Se også

adiabatisk teorem

Referanser

L. Landau, “ Zur Theorie der Energieubertragung. II ”, Physics of the Soviet Union , vol. 2,1932, s. 46–51
C. Zener, “ Ikke-adiabatisk kryssing av energinivåer ”, Proceedings of the Royal Society of London, serie A , vol. 137, n o 6,1932, s. 692–702 ( les online )
(in) M. Abramowitz og IA Stegun, håndbok for matematiske funksjoner: med formler, grafer og matematiske tabeller , New York, Dover Publications,1976, 498 s. ( ISBN 0-486-61272-4 )
C. Wittig, “ The Landau - Zener Formula ”, Journal of Physical Chemistry B , vol. 109, n o 172005, s. 8428–8430 ( les online )

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen “ Landau-Zener formula ” ( se listen over forfattere ) .