Meridian bue
I geodesi er målingen av en bue av en meridian den mest nøyaktige mulige bestemmelsen av avstanden mellom to punkter som ligger på samme meridianen , dvs. på samme lengdegrad . To eller flere slike bestemmelser på forskjellige steder og angi formen på referansen ellipsoiden som gir den beste tilnærming av formen på geoide . Denne prosessen kalles "å bestemme figuren på jorden ". De første målingene av størrelsen på en sfærisk jord trengte en enkelt bue . De siste målingene bruker astrogeodetiske målinger og satellittgeodesimetoder for å bestemme referanseellipsoiden .
Matematisk beskrivelse
En meridianbue på en ellipsoid har den eksakte formen på en ellips . Derfor kan lengden fra ekvator til et punkt på breddegrad be beregnes som en elliptisk integral og tilnærmet av en avkortet serie. Følgende utvikling som involverer firkanten av eksentrisiteten e ble gitt av Jean-Baptiste Joseph Delambre i 1799:
B≈på(1-e2){(1+34e2+4564e4+175256e6+1102516384e8)φ -12(34e2+1516e4+525512e6+22052048e8)synd2φ +14(1564e4+105256e6+22054096e8)synd4φ -16(35512e6+3152048e8)synd6φ +18(31516384e8)synd8φ}.{\ displaystyle {\ begin {align} B \ approx & \; a (1-e ^ {2}) \ left \ {\ left (1 + {\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {45} {64}} e ^ {4} + {\ frac {175} {256}} e ^ {6} + {\ frac {11025} {16384}} e ^ {8} \ right) \ varphi \ right. \\ & \ - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {15} {16}} e ^ {4} + {\ frac {525} {512}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {2048}} e ^ {8} \ right) \ sin 2 \ varphi \\ & \ + { \ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {15} {64}} e ^ {4} + {\ frac {105} {256}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {4096}} e ^ {8} \ right) \ sin 4 \ varphi \\ & \ - {\ frac {1} {6}} \ left ({\ frac {35} {512}} e ^ {6} + {\ frac {315} {2048}} e ^ {8} \ right) \ sin 6 \ varphi \\ & \ + {\ frac {1} {8}} \ left. \ left ({\ frac {315 } {16384}} e ^ {8} \ høyre) \ sin 8 \ varphi \ høyre \}. \\\ slutt {justert}}}
Friedrich Robert Helmert brukte følgende formel i 1880 og stilte :
ikke=1-1-e21+1-e2≃e24{\ displaystyle n = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {1 + {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} \ simeq {\ frac {e ^ {2}} {4}}}
B≈på1+ikke{(1+ikke24+ikke464)φ-32(ikke-ikke38)synd2φ +1516(ikke2-ikke44)synd4φ-3548ikke3synd6φ+315512ikke4synd8φ}.{\ displaystyle {\ begin {align} B \ approx & \; {\ frac {a} {1 + n}} \ left \ {\ left (1 + {\ frac {n ^ {2}} {4}} + {\ frac {n ^ {4}} {64}} \ høyre) \ varphi - {\ frac {3} {2}} \ left (n - {\ frac {n ^ {3}} {8}} \ høyre) \ sin 2 \ varphi \ høyre. \\ & \ \ venstre. + {\ frac {15} {16}} \ venstre (n ^ {2} - {\ frac {n ^ {4}} {4 }} \ høyre) \ sin 4 \ varphi - {\ frac {35} {48}} n ^ {3} \ sin 6 \ varphi + {\ frac {315} {512}} n ^ {4} \ sin 8 \ varphi \ høyre \}. \\\ slutt {justert}}}
Kazushige Kawase ga en generell formel i 2009:
B=på1+ikke∑j=0∞(∏k=1jεk)2{φ+∑l=12j(1l-4l)synd2lφ∏m=1lεj+(-1)m⌊m/2⌋(-1)m},{\ displaystyle B = {\ frac {a} {1 + n}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ left (\ prod _ {k = 1} ^ {j} \ varepsilon _ {k } \ høyre) ^ {2} \ venstre \ {\ varphi + \ sum _ {l = 1} ^ {2j} \ venstre ({\ frac {1} {l}} - 4l \ høyre) \ sin 2l \ varphi \ prod _ {m = 1} ^ {l} \ varepsilon _ {j + (- 1) ^ {m} \ lfloor m / 2 \ rfloor} ^ {(- 1) ^ {m}} \ right \}, }
der .
εJeg=3ikke/2Jeg-ikke{\ displaystyle \ varepsilon _ {i} = 3n / 2i-n}
Ved å avkutte summen til j = 2, får vi Helmerts formel.
Tilnærminger
Polaravstanden kan tilnærmes med Muirs formel :
ms=∫0π/2M(φ)dφ≈π2[på3/2+b3/22]2/3.{\ displaystyle m_ {p} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! M (\ varphi) \, d \ varphi \; \ approx {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {a ^ {3/2} + b ^ {3/2}} {2}} \ right] ^ {2/3} \, \!.}![{\ displaystyle m_ {p} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! M (\ varphi) \, d \ varphi \; \ approx {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {a ^ {3/2} + b ^ {3/2}} {2}} \ right] ^ {2/3} \, \!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0519794eb690db9354a3ecfb500c0fd12398b544)
Merknader og referanser
-
Delambre, JBJ (1799): Analytiske metoder for bestemmelse av en meridianbue ; innledes med en memoar om samme emne av AM Legendre , De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
-
(De) Helmert, FR (1880): Die mathematatischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie , Einleitung und 1 Teil , Druck und Verlag von BG Teubner, Leipzig, 44–48
-
(ja)河 瀬 和 重 (Kawase, K.) (2009):緯度 を 与 え 赤道 か ら の の 弧長 弧長 求 め る 一 子 般 的 な 計算 式 (En generell formel for meridional avstand fra Ekvator til gitt bredde) , 国土 地理 院 時報 (Journal of the Geographical Survey Institute), 119 , 45–55
-
(in) Kawase, K. (2011): En generell formel for beregning av meridianbuelengde og dens anvendelse for å koordinere konvertering i Gauss-Kruger-projeksjonen , Bulletin for Geospatial Information Authority of Japan , 59 , 1-13
Se også
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">