Eksentrisitet (matematikk)

I euklidisk geometri er eksentrisitet en karakteristisk parameter for en konisk kurve . Det er et positivt reelt tall , ofte angitt som $e$ .

Kjegleformer vises i Newtonian mekanikk, spesielt med banen til et punktlegeme i et radialt gravitasjonsfelt . Det er derfor, som en første tilnærming, formen på banene til planetene rundt solen , deres satellitter og kometer .

Når en kropp har en elliptisk bane rundt solen, er sistnevnte ikke i sentrum av ellipsen, men i en av dens foci. Eksentrisiteten måler deretter forskyvningen av fokuset på ellipsens hovedakse. Det er nær 0 for en nesten sirkulær bane, og nærmere 1 når ellipsen er veldig langstrakt.

Definisjon

Et konisk snitt er en kurve oppnådd med et plant snitt av en kjegle i tredimensjonalt euklidisk rom . Det blir også realisert som settet med avbrytelsespunkter for en kvadratisk funksjon , eller igjen som en nivåkurve for forholdet mellom avstanden til et fast punkt ( fokus ) og avstanden til en linje ( directrix ).

I et tilpasset ortonormalt koordinatsystem tar ligningen til et ikke- degenerert kjeglesnitt en av følgende tre former: -

${\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1$ med : kurven er en ellipse eller en sirkel og dens eksentrisitet er skrevet $a \ geq b$ ${\ displaystyle e = {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$
${\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1$ : kurven er en hyperbola og dens eksentrisitet er skrevet ${\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle y ^ {2} = 2px}$ : kurven er en parabel og dens eksentrisitet er lik 1.

Med unntak av sirkelen er eksentrisiteten det positive tallet slik at: $e$

{\ displaystyle e = {\ frac {\ mathrm {MF}} {\ mathrm {MH}}}

hvor punktet $F$ er et fokuspunkt og punktet $H$ indikerer den ortogonale projeksjonen av punktet $M$ på linjen $D$ , kalt directrix .

Det vises i formelen for kjegler gitt i polare koordinater fra en av dens fokus:

{\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {p} {1-e \ cos (\ theta)}}}

Når verdien av $e$ har en tendens til uendelig , degenererer kjeglesnittet til en rett linje: linjen $D$ , dens directrix.

Eksterne linker

(no) Eric W. Weisstein , “ Eksentrisitet ” , på MathWorld