Flux (matematikk)
I vektoranalyse kaller vi flyt av et vektorfelt for to analoge skalare størrelser , avhengig av om det beregnes gjennom en overflate eller en kurve .
Flyt gjennom en overflate
Vi kaller fluks (eller overflate integral ) i vektorfeltet til gjennom den orienterte overflate av skalar størrelse
F{\ displaystyle \ mathbf {F}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} Σ{\ displaystyle \ Sigma}
Φ≡∫ΣF⋅dS{\ displaystyle \ Phi \ equiv \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}
hvor betegner en elementær normalvektor og de skalarproduktet . Hvis overflaten er gitt av parameteriseringen (hvor og varierer i en åpen ), er denne vektoren levert av
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}}⋅{\ displaystyle \ cdot}σ(u,v){\ displaystyle \ sigma (u, v)}u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}Ω{\ displaystyle \ Omega}
dS=[∂σ∂u×∂σ∂v]dudv{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ left [{\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial u}} \ times {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial v}} \ høyre] \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
og flyten er da
Φ=∬ΩF(σ(u,v))⋅[∂σ∂u×∂σ∂v]dudv=∬Ωdet(F,∂σ∂u,∂σ∂v)dudv{\ displaystyle \ Phi = \ iint _ {\ Omega} \ mathbf {F} {\ bigl (} \ sigma (u, v) {\ bigr)} \ cdot \ left [{\ frac {\ partial \ sigma} { \ partial u}} \ times {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial v}} \ right] \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v = \ iint _ {\ Omega} \ det \ venstre (\ mathbf {F}, {\ tfrac {\ partial \ sigma} {\ partial u}}, {\ tfrac {\ partial \ sigma} {\ partial v}} \ right) \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
Hvis det er en lukket overflate (også kalt fritt bord ) som omgir et volum, kan strømmen bestemmes på en annen måte ved å påkalle strømningsavvikssetningen :
Σ{\ displaystyle \ Sigma}V{\ displaystyle V}
Φ=∮ΣF⋅dS=∭VdivFd3V{\ displaystyle \ Phi = \ anint _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} = \ iiint _ {\ mathcal {V}} \ operatorname {div} \, \ mathbf {F} \; {\ rm {d}} ^ {3} V}
Flyt gjennom en kurve
På samme måte definerer vi strømmen av feltet av gjennom kurven mengden
F=(P,Q){\ displaystyle \ mathbf {F} = (P, Q)}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Γ{\ displaystyle \ Gamma}
Ψ=∫ΓF⋅dikke=∬Γ(Pdy-Qdx){\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {n} = \ iint _ {\ Gamma} (P \, \ mathrm {d} yQ \, \ mathrm {d} x)}
hvor representerer en elementær normalvektor. Det tilsvarer å definere strømmen av som sirkulasjonen (eller krøllet integral ) av det ortogonale feltet :
dikke=(dy,-dx){\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {n} = (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}F{\ displaystyle \ mathbf {F}}G=(-Q,P){\ displaystyle \ mathbf {G} = (- Q, P)}
Ψ=∫ΓG⋅dr{\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {G} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}
med . Flytningen av et felt gjennom en kurve, i motsetning til sirkulasjonen, avhenger bare av komponenten normal til kurven.
dr=(dx,dy){\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y)}
Se også
Merknader
-
er da kanten på og vi betegner .Σ{\ displaystyle \ Sigma}V{\ displaystyle V}∂V=Σ{\ displaystyle \ partial V = \ Sigma}