Fraktal

En fraktalfigur er et matematisk objekt som har en lignende struktur i alle skalaer .

Det er et "uendelig fragmentert" geometrisk objekt hvis detaljer kan observeres i en vilkårlig valgt skala. Ved å zoome inn på en del av figuren er det mulig å finne hele figuren; det sies da at det er "selvlignende".

Fraktaler er paradoksalt definert, litt som russedukker som inneholder en figur som er mer eller mindre identisk med nærmeste skala. Fraktalobjekter kan betraktes som nestede strukturer når som helst - og ikke bare som et antall punkter. Denne holografiske (nestede på alle punkter) oppfatningen av fraktaler innebærer denne rekursive definisjonen: et fraktalt objekt er et objekt som hvert element også er et (lignende) fraktalt objekt.

Mange naturlige fenomener - som kystlinjens utforming eller utseende av romansk kål - har omtrentlige fraktalformer.

Historisk

Mange eksempler på fraktaler, som Kochs snøflak eller teppe Serpinski ble oppdaget i slutten av 19 th  århundre, men Benoit Mandelbrot , som i 1975 trakk oppmerksomhet til disse objektene og deres allestedsnærværende i naturen, skaper denne gangen adjektivet "fraktal" fra Latin root fractus , som betyr "ødelagt", "uregelmessig", og slutten "-al" til stede i adjektivene "marine" og "banal" (flertall: marine, banaler, fraktaler); bruk påførte deretter substantivet en fraktal for å betegne en figur eller en ligning av fraktalgeometri.

Kjennetegn

Et fraktalobjekt har minst en av følgende egenskaper:

Gyldighetsområder

Fraktaltall trenger ikke å tilfredsstille alle egenskapene nevnt ovenfor for å fungere som modeller. Det er tilstrekkelig for dem å foreta passende tilnærminger av hva som er av interesse i et gitt gyldighetsfelt (Mandelbrots grunnleggende bok Fractal Objects gir et bredt utvalg av eksempler). Størrelsen på alveolene i lungen, for eksempel størrelsen der den slutter å dele seg fraktalt, er relatert til størrelsen på den gjennomsnittlige frie banen til oksygenmolekylet ved kroppstemperatur.

Dimensjonen som brukes er Hausdorff , og vi observerer at den tilsvarer en ny egenskap ved uregelmessige overflater. Vi kjenner gyldighetsområdene til Hausdorff-dimensjonene som er observert på jorden for fjell, skyer etc.

Eksempler på figurer av fraktaler er gitt av sett av Julia, Fatou og Mandelbrot The Fractal Lyapunov , Cantor-settet , Sierpinski-teppet , Sierpinski-pakningen , Peano-kurven eller Koch-snøfnugg . Fraktaltall kan være deterministiske eller stokastiske fraktaler. De vises ofte i studiet av kaotiske systemer .

Fraktaltall kan deles inn i tre brede kategorier:

  1. De itererte funksjonssystemene . Disse har en fast geometrisk erstatningsregel (Cantorsettet, Sierpinski-teppet , Sierpinski-trekanten , Peano-kurven , Koch-flak );
  2. Fraktaler definert av et gjentakelsesforhold på hvert punkt i et rom (for eksempel det komplekse planet). Eksempler på denne typen er Mandelbrot-settene og Lyapunov-fraktalen  ;
  3. Tilfeldige fraktaler, generert av stokastiske og ikke-deterministiske prosesser , for eksempel fraktallandskap .

Av alle disse fraktalfigurene viser bare de som er konstruert av systemer med itererte funksjoner, egenskapen til selvlikhet, noe som betyr at deres kompleksitet er uforanderlig ved skalaendring.

Tilfeldige fraktaler er de mest brukte i praksis, og kan brukes til å beskrive mange ekstremt uregelmessige gjenstander i den virkelige verden. Eksempler inkluderer skyer, fjell, flytende turbulens , kystlinjer og trær. Fraktalteknikker har også blitt brukt i fraktal komprimering av bilder, så vel som i mange vitenskapelige disipliner.

Brøkdimensjon

Dimensjonen til en rett linje, en sirkel og en vanlig kurve er 1. Når en opprinnelse og en retning er fikset, kan hvert punkt i kurven bestemmes av et tall som definerer avstanden mellom opprinnelsen og punktet. Dette tallet er negativt hvis det er nødvendig å bevege seg i motsatt retning den som ble valgt i starten.

Dimensjonen til en enkel figur i planet er 2. Når et koordinatsystem er definert, kan hvert punkt i figuren bestemmes av to tall. Dimensjonen til en enkel kropp i rommet er 3.

En figur som en fraktal er ikke enkel. Dimensjonen er ikke lenger så lett å definere og er ikke lenger nødvendigvis komplett. Den mer komplekse fraktaldimensjonen uttrykkes ved hjelp av Hausdorff-dimensjonen .

Når fraktalen består av mindre replikaer av seg selv, kan dens fraktaldimensjon beregnes som følger:

der startfraktalen er dannet av n eksemplarer hvis størrelse har blitt redusert med en faktor h (for homotety ).

Noen eksempler :

En mye lengre liste finner du under: Liste over fraktaler etter Hausdorff-dimensjon .

Fraktale gjenstander i naturen

Grove fraktalformer sees lett i naturen . Disse objektene har en selvlignende struktur i utvidet, men begrenset skala: skyer , snøflak , fjell , elvesystemer , blomkål eller brokkoli og blodkar .

De trær og bregner er fraktale i naturen og kan modelleres med datamaskin ved anvendelse rekursive algoritmer, slik som L-Systems . Den rekursive naturen er tydelig i disse eksemplene; grenen av et tre eller en bregne er en miniatyrreplika av settet: ikke identisk, men lik i form.

Overflaten på et fjell kan modelleres på en datamaskin ved hjelp av en fraktal: la oss ta en trekant i et tredimensjonalt rom hvis midtpunkter vi forbinder på hver side med segmenter, dette resulterer i fire trekanter. Midtpunktene flyttes deretter tilfeldig opp eller ned, innenfor en definert radius. Fremgangsmåten gjentas, og reduserer radiusen med halvparten for hver iterasjon. Algoritmens rekursive natur sørger for at alt er statistisk lik alle detaljer.

Endelig har noen astrofysikere lagt merke til likheter i fordelingen av materie i universet på seks forskjellige skalaer. De påfølgende kollapsene av interstellare skyer, på grunn av tyngdekraften, ville være opprinnelsen til denne (delvis) fraktale strukturen. Dette synet ga opphav til fraktaluniversmodellen , som beskriver et univers basert på fraktaler.

Bruksområder

Bruksområdene til fraktaler er svært mange, man kan spesielt sitere:

Alle disse feltene - og mange andre - kan dra nytte av beskrivelsen og modelleringen i fraktale termer av de tilknyttede fenomenene.

Modellen begynner Spesielt for å utvikle seg innen finans, der Mandelbrot-fraktaltilnærmingen gir seg til ustabile markeder. Noen selskaper bruker en modell som identifiserer matematiske repetisjoner for å forutsi visse kortsiktige prisbevegelser. Denne systematiske tilnærmingen er basert på volatiliteten og akselerasjonen av verdipapirhandel for å validere trender. En forventning om variasjonene er dermed umiddelbart registrert på modell: hvis variasjonen er kraftig nok, det gjør det mulig for eksempel å ta en kort posisjon ( "short" posisjon, dvs. kort salg i, spekulerer på nedsiden verdt.) marked.

Industriell bruk

Blainespesifikt overflateareal : finheten til sliping av en sement uttrykkes i form av spesifikt overflateareal (cm² / g) og målt ved Blaine-metoden , kjent som luftpermeabilitet , ved bruk av Darcy's lov , og loven av Kozeny-Carman som etablerer at passasjen av et lag av granulat av en væske påvirkes av granulatens spesifikke overflate.

Ved å beregne tiden det tar en trykkgass å passere gjennom et gitt volum granulat, blir overflatearealet til granulatene trukket derfra. Jo finere sliping, jo større er det beregnede overflatearealet.

Ettersom denne opplevelsen skjer i et bestemt volum, kan man forestille seg å få en uendelig utviklet overflate ved å male sementen mer og mer fint. Dette er en industriell bruk av en modell forklart av fraktal matematikk (et objekt med endelig måldimensjon, avgrenset av en dimensjonsgrense , av mål som har en tendens til uendelig).

Informatikk

Bildegalleri

Merknader og referanser

Merknader

  1. Benoît Mandelbrot , Fractals, chance and finance , Paris, Flammarion, coll.  "Field Science" ( repr.  2009) ( 1 st  ed. 1997 ), 246  s. ( ISBN  978-2-08-122510-7 ) , kap.  1.3 (“Skala prinsipper, skalerende fordelinger, fraktaldimensjoner og H”), s.  56 :

    “Det er sant at [tekstene mine på 77 og 82] hadde uforsiktighet til å foreslå, for begrepet fraktal, en 'definisjon å se' eller 'taktisk definisjon'. Dens største feil, som raskt dukket opp, fikk meg til å trekke den fra den andre utgaven [av teksten i 82]. Men hun vedvarer med å bli sitert og i å bekymre seg. Så jeg sa at settet E er fraktalt hvis […] . "

  2. Mandelbrot , da han publiserte A Fractal Approach to Markets (Odile Jacob, 2004), var veldig mistenksom overfor grunnleggende forskning som ble anvendt på ulike økonomiske profetier relatert til markedet ... Han hadde forgjeves advart om deres falskhet ( jf. Intervju i Le Monde )

Referanser

  1. “  Fraktaler  ” , på maths-et-tiques.fr (åpnet 2. oktober 2020 ) .
  2. "50 år etter at Einstein avslørte universets mysterier", Science and Life n o  936, september 1995, side 51.
  3. Skatten av paradokser , Philippe Boulanger og Alain Cohen, Éd. Belin, 2007.
  4. verden av fraktaler, Jacques Dubois & Jean Chaline

Vedlegg

Bibliografi

Relaterte artikler

Eksterne linker