Matematikkens historie

Den matematikkens historie strekker seg over flere årtusener og spenn mange deler av verden fra Kina til Mellom-Amerika . Inntil XVII th  århundre , utvikling av kunnskaps matematikk er i hovedsak gjort i siloer i ulike deler av verden . Fra XIX th og spesielt i XX th  århundre , overflod av forskning og globaliseringen av kunnskap fører til en heller kutte denne historien basert på matematiske felt .

Forhistorie

Den ben av Ishango dateres tilbake over 20.000 år er vanligvis sitert for å være den tidligste bevis på kunnskap om primprimtall og multiplikasjon, men denne tolkningen forblir gjenstand for diskusjon. Det sies at de megaliths i Egypt i V th tusen BC eller England i III th tusen ville omfatte geometriske ideer som sirkler , de ellipser , og Pytagoras- tripler . I 2600 før vår tid vitner egyptiske konstruksjoner om en empirisk og teknisk kunnskap om geometri, uten at det imidlertid er mulig å sertifisere at disse konstruksjonene ble unnfanget av den metodiske bruken av matematikk.

Disse spørsmålene har ført til et forskningsfelt kalt etnomatematikk , som ligger på grensen til antropologi, etnologi og matematikk, og som blant annet tar sikte på å forstå den progressive utviklingen av matematikk i de første sivilisasjonene fra objektene, instrumentene, maleriene, og andre dokumenter funnet.

Fra Sumer til Babylon

Begynnelsen på skrivingen tilskrives vanligvis Sumer , i bassenget til Tigris og Eufrat eller Mesopotamia . Denne skrivingen, kjent som kileskrift , stammer fra behovet for å organisere vanning og handel. Sammen med fødselen av skrivingen ble den første utilitaristiske matematikken (økonomi, overflateberegninger) født. Det første numeriske systemet vises: sexagesimal-systemet . I nesten to tusen år vil matematikk utvikle seg i regionen Sumer, Akkad og deretter Babylon . Nettbrettene fra denne perioden består av digitale tabeller og bruksanvisninger. Dermed på Nippur (noen hundre kilometer fra Bagdad ), ble oppdaget i det XIX th  århundre skole tabletter fra perioden paleo-babylonske (2000 BC.). Så vi vet at de kjente de fire operasjonene, men har deltatt i mer komplekse beregninger med veldig høy presisjon, for eksempel algoritmer for ekstraksjon av kvadratrøtter , terningsrøtter , oppløsningen av kvadratiske ligninger . Mens de gjorde divisjonene ved å multiplisere med omvendt, spilte de inverse tabellene en stor rolle. Vi fant noen med inverser for tall med seks kjønnssifre sifre, noe som indikerer en veldig høy presisjon. Det er også funnet tabletter som viser lister over heltall kvadrater, kuberlister og en liste som ofte tolkes som den for Pythagoras trippel, noe som tyder på at de visste egenskapen til rette trekanter mer enn 1000 år før Pythagoras. Tabletter er også funnet som beskriver algoritmer for å løse komplekse problemer.

De var i stand til å bruke lineære interpolasjoner for beregninger av mellomverdier som ikke er vist i tabellene. De rikeste perioden for disse matematikk er tiden for Hammurabi ( XVIII th  århundre  BC. ). Rundt 1000 f.Kr. J. - C., observerer man en utvikling av beregningen mot matematisk astronomi .

Egypt

De beste kildene til matematisk kunnskap i det gamle Egypt er Rhind Papyrus ( Second mellomepoke , XX th  århundre), som utvikler mange geometri problemer og Moskva Mathematical Papyrus (1850 BC. ) Og roller skinn. Til disse dokumentene er det lagt til tre andre papyri og to tre-tabletter; mangelen på dokumenter tillater ikke bevis på denne kunnskapen. Egypterne brukte matematikk først og fremst for å beregne lønn, styre avlinger, beregne areal og volum, og i vannings- og konstruksjonsarbeidet (se Egyptian Sciences ). De brukte et ekstra nummerskrivningssystem ( egyptisk nummerering ). De var kjent med alle de fire operasjonene, var kjent med brøkregning (bare basert på inversen av naturlige tall) og klarte å løse første grads ligninger ved hjelp av falske posisjonsmetoden . De brukte en brøkdel tilnærming av π . Ligningene er ikke nedskrevet, men de ligger til grunn for forklaringene.

Kina

Den eldste viktigste kilden til vår kunnskap om kinesiske matematikk kommer fra manuskriptet Jiǔzhāng suanshu eller Ni kapitler om den matematiske kunst , datert jeg st  -tallet , men sannsynligvis eldste gruppering resultater. Vi oppdager at kineserne hadde utviklet egne beregnings- og demonstrasjonsmetoder: aritmetikk , brøker , utvinning av firkantede og kubiske røtter , metode for beregning av skivearealet , volumet av pyramiden og metoden for omdreining av Gauss . Deres utvikling av beregningsalgoritmer Men vi finner også graveringer på bein av sauer og okser som viser at de brukte et posisjonelt desimalsystem ( kinesisk tall ). De er også opprinnelsen til diagrammer som hjelper dem med å beregne. Kinesisk matematikk før vår tid er hovedsakelig orientert mot utilitaristiske beregninger. De utvikler rent mellom jeg st og VII th  århundre e.Kr.. AD og mellom X th og XIII th  århundre .

Pre-colombianske sivilisasjoner

The Mayan sivilisasjonen strekker seg fra 2600 BC. AD til 1500 e.Kr. E.Kr. med en topp i den klassiske perioden fra III -  tallet og IX -  tallet . Matematikk er hovedsakelig numerisk og vender seg mot kalenderberegning og astronomi. Mayaene bruker et base tjue posisjonelt nummereringssystem ( Maya nummerering ). Mayakildene er hovedsakelig avledet kodeks (skrevet rundt XIII -  tallet ). Men de aller fleste av disse ble ødelagt av inkvisisjonen, og bare fire kodekser (den fra Dresden , Paris , Madrid og Grolier ) gjenstår i dag , den siste kan være falsk.

Inka-sivilisasjonen (1400-1530) utviklet et posisjoneringsnummereringssystem i base 10 (derfor lik den som brukes i dag). De visste ikke hvordan de skulle skrive, og de brukte quipus til å "skrive" statsstatistikk . En quipu er en tau som har tre typer knuter som symboliserer henholdsvis enheten, de ti og hundre. Et arrangement av knuter på en streng gir et tall mellom 1 og 999; tillegg av strenger som tillater å gå til tusen, til millioner osv.

India

Den kultur av den Indus utviklet en vesentlig praktisk bruk av matematikk: desimalsystemet av mål og vekt og regulariteten av proporsjoner i fremstillingen av murstein. De eldste skriftlige kildene om indisk matematikk er Śulba-Sūtras (fra 800 f.Kr. til 200 f.Kr. ). Dette er religiøse tekster skrevet på sanskrit som regulerer størrelsen på offeralter. Matematikken som presenteres der, er i hovedsak geometrisk og uten demonstrasjon. Det er ikke kjent om dette er den eneste matematiske aktiviteten i denne perioden eller bare spor etter en mer generell aktivitet. Indianerne kjente setningen til Pythagoras , visste hvordan de skulle konstruere nøyaktig kvadratet til et rektangel (konstruksjon av et kvadrat i samme område) og på en tilnærmet måte sirkelen. Vi ser også brøkdelte tilnærminger av π og kvadratrot av to vises . Mot slutten av denne perioden ser vi de ni sifrene i desimalsystemet blir satt på plass .

Så må du vente på tiden Jain ( V th  century AD. ) For å se fødselen av nye matematiske tekster. Matematikerne fra den tiden begynte å tenke på uendelig , utviklet beregninger på tall av formen x 1/2 n som de kalte første kvadratrot, andre kvadratrot, tredje kvadratrot. Fra denne perioden dateres Aryabhata (499), oppkalt etter forfatteren, skrevet på sanskrit og i vers, og avhandlingene om astronomi og matematikk av Brahmagupta (598-670). I den første er det volum- og arealberegninger, sinusberegninger som gir verdien av halvakkordet som støttes av en bue, serien av heltall, kvadrater av heltall, kuber av heltall. Mye av denne matematikken er orientert mot astronomi. Men det er også beregninger av gjeld og kvitteringer der vi ser de første reglene for tillegg og subtraksjon på negative tall . Men det er til Brahmagupta at vi skylder driftsreglene på null som tall og tegnregelen.

antikkens Hellas

I motsetning til egyptisk og mesopotamisk matematikk kjent fra bemerkelsesverdig godt bevarte gamle papyri- eller leirtavler, har gresk matematikk ikke kommet til oss takket være arkeologiske bevis. Vi kjenner dem takket være kopier, oversettelser og kommentarer fra deres etterfølgere.

Den store nyheten med gresk matematikk er at den forlater nytteområdet for å gå inn i abstraksjonen. Matematikk blir en gren av filosofien . Fra det filosofiske argumentet oppstår den matematiske argumentasjonen. Det er ikke lenger nok å søke, det er nødvendig å bevise og overbevise: dette er fødselen til demonstrasjonen . Det andre aspektet av denne nye matematikken gjelder studiet. I stedet for å jobbe med metoder, studerer matematikk objekter, ufullkomne representasjoner av perfekte objekter, jobber vi ikke på en sirkel, men på ideen om en sirkel.

De store figurene i disse nye matematikkene er Thales ( -625 - -547 ), Pythagoras ( -580 - -490 ) og Pythagoras skole , Hippokrates ( -470 - -410 ) og skolen til Chios , Eudoxus of Cnidus ( -408 - -355 ) og skolen av Cnidus , theaetetus of Athens ( -415 - -369 ) så Euclid .

Det er sannsynlig at denne greske matematikkskolen ble påvirket av mesopotamiske og egyptiske bidrag. Dermed ville Thales ha reist til Egypt, og han kunne ha ført tilbake kunnskap om geometri til Hellas. Han jobbet med likebenede trekanter og trekanter innskrevet i en sirkel .

I følge Pythagoreas skole er "alt nummer". De to foretrukne grenene av studien er aritmetikk og geometri . Jakten på perfekte gjenstander førte til at grekerne i utgangspunktet bare aksepterte de rasjonelle tallene som ble materialisert av forestillingen om målbare lengder  : to lengder kan vurderes hvis det er en enhet der disse to lengdene er hele. Mangelen på dette valget som ble materialisert av irrasjonaliteten til kvadratroten av to, fører til at de bare aksepterer tall som kan konstrueres med en linjal og et kompass. Deretter kommer de opp mot de tre problemene som vil krysse historien: kvadrering av sirkelen , tredeling av vinkelen og duplisering av kuben . I regning satte de opp forestillingen om et jevnt , merkelig , perfekt og figurativt tall .

Denne idealiseringen av tall og bekymringen for å knytte dem til geometriske hensyn er sannsynligvis knyttet til det ganske upraktiske greske tallsystemet : hvis systemet er desimal, er det additivt og gir seg derfor ikke lett til numeriske beregninger. I geometri studerer de vanlige polygoner med en forkjærlighet for den vanlige femkant .

Hippokrates of Chios som søker å løse problemet som ble satt opp av Pythagoras, oppdager kvadratene til lunules og perfeksjonerer prinsippet for demonstrasjonen ved å introdusere forestillingen om tilsvarende problemer.

Eudoxus of Cnidus arbeider med teorien om proporsjoner og aksepterer dermed å manipulere forholdet til irrasjonelle tall. Han er sannsynligvis opprinnelsen til formaliseringen av utmattelsesmetoden for beregningen ved suksessive tilnærminger av arealer og volumer.

Théétète jobber med vanlig polyhedra .

Den viktigste syntesen av gresk matematikk kommer fra Elements of Euclid . Geometriske objekter må defineres: de er ikke lenger ufullkomne objekter, men den perfekte ideen om objekter. I sine Elements lanserer Euclid den første formaliseringen av matematisk tanke. Den definerer geometriske objekter (linjer, sirkler, vinkler), den definerer rom ved hjelp av en serie aksiomer, den demonstrerer ved implikasjon egenskapene som følger av det og danner den formelle koblingen mellom antall og lengde. Denne boken blir værende i European Matematics Curriculum fram til XIX th  century .

Etter Euclid kaster andre store navn lys på gresk matematikk. Archimedes som perfeksjonerte metodene til Eudoxus, og Apollonius av Perga hvis avhandling om kjegler regnes som en klassiker av gresk geometri.

I sen antikken er matematikk representert av Alexandria- skolen .

Diophantus vil studere de såkalte Diophantine-ligningene , og vil bli kalt " algebraens far  ".

Islamsk sivilisasjon

I perioden 800 til 1500 e.Kr. AD , er det i regionene erobret av muslimene matematikken utvikler seg mest. Den arabiske språket blir det offisielle språket i de erobrede landene. Det gjøres en stor innsats med samlinger og kommentarer av tekster. På den ene siden på gresk matematikk, på den andre siden på indisk og kinesisk matematikk som deres kommersielle forhold tillater dem å kjenne, vil muslimske matematikere betydelig berike matematikken og utvikle embryoet til det som blir algebra , og spre det indiske desimalsystemet med tall feilaktig kalles arabiske tall og utviklingsberegningsalgoritmer . Blant de mange muslimske matematikerne kan vi sitere persen Al-Khwarizmi og hans arbeid al-jabr . Vi er vitne til en betydelig utvikling innen astronomi og trigonometri .

Vest

I middelalderen

Mens matematikk stagnere og selv regress i Vesten på den tiden av høymiddelalderen ( V E  -  X th  tallet), de opplever en økning fra X th  århundre Gerbert av Aurillac (938-1003) (Monk Benedictine som skulle bli pave under navnet Sylvester II ), som etter et opphold i klosteret Vic i Catalonia innførte arabiske tall. Musikkens rolle var viktig i middelalderen for utvidelse av tallfeltet. Det var i middelalderen at anvendelsen av algebra til handel førte den nåværende bruken av irrasjonelle tall i øst, en bruk som deretter ble overført til Europa. Det var også i middelalderen, men i Europa, at for første gang ble negative løsninger akseptert i problemer.

Under den europeiske renessansen

Fra XII th  århundre virksomhet er i Italia en oversettelse av arabiske tekster og dermed gjenoppdagelsen av greske tekster. Toledo , et tidligere kultursenter i det muslimske Spania , ble etter Reconquista et av de viktigste oversettelsessentrene, takket være arbeidet til intellektuelle som Gérard de Cremona og Adélard de Bath .

Den økonomiske og kommersielle boom som Europa opplevde den gangen, med åpningen av nye handelsruter spesielt til det muslimske Østen, gjorde det også mulig for kommersielle miljøer å bli kjent med teknikkene som ble overført av araberne. Dermed bidro Leonardo fra Pisa , med sin Liber abaci i 1202 , sterkt til gjenoppdagelsen av matematikk i Europa. Parallelt med vitenskapens utvikling, fokuserer matematisk aktivitet i Tyskland, Italia og Polen i XIV -  tallet og XV -  tallet . Vi er vitne til en viktig utvikling av den italienske skolen med Scipione del Ferro , Tartaglia , Cardan , Ferrari , Bombelli , skolen hovedsakelig fokusert på å løse ligninger. Denne tendensen er sterkt knyttet til utviklingen av matematikkundervisningen i italienske byer, ikke lenger for et rent teoretisk formål som det kunne være i Quadrivium, men for praktiske formål, spesielt beregnet på kjøpmenn. Denne undervisningen er spredt i botteghe d 'abbaco eller "skoler av abacuses" der maestri lærer regning, geometri og beregningsmetoder til fremtidige handelsmenn gjennom rekreasjonsproblemer, kjent takket være flere "avhandlinger av abbaque" at disse mestrene forlot oss.

Det fulgte arbeidet til Scipione del Ferro, tatt opp av Tartaglia, og publisert av Cardan i ligningen av grad tre at komplekse tall ble introdusert. De finner en første formalisering i Rafaele Bombelli. Ferrari løser ligningene til den fjerde graden.

Frem til slutten av XVI -  tallet forblir imidlertid problemløsning retorikk. Den algebraiske beregningen vises i 1591 med utgivelsen av Isagoge av Francois Vieta med innføring av spesifikke notasjoner for konstanter og variabler (arbeid popularisert og beriket av Harriot , Fermat og Descartes vil forandre fullstendig algebraisk arbeid i Europa).

Den XVII th  århundre

Matematikk fokuserer på fysiske og tekniske aspekter. Opprettet uavhengig av Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz , bringer beregning matematikk inn i analysetiden ( derivat , integral , differensialligning ).

I oktober 1623 , Galileo publisert et arbeid med kometer, Il Saggiatore , der han uttalte matematisering i fysikk:

"Filosofi er skrevet i denne enorme boken som alltid holdes åpen for øynene, jeg mener universet, men vi kan ikke forstå det hvis vi ikke først bruker oss til å forstå språket og å kjenne tegnene det er skrevet i. Den er skrevet på det matematiske språket, og tegnene er trekanter, sirkler og andre geometriske figurer uten de menneskene det er menneskelig umulig å forstå et ord. "

Utover heliosentrisme oppstår med Galileo en stor mental revolusjon, som er matematiseringen av naturen, det vil si ideen om at språket i naturboken er matematikkens.

I 1637 , i Discourse on Method , uttrykte Descartes sin smak for matematikk under studiene ved Collège de la Flèche, og kunngjorde deres fremtidige utvikling:

“Jeg likte matematikk fremfor alt på grunn av sikkerheten og åpenbarheten av årsakene deres: men jeg la ikke merke til deres virkelige bruk ennå; og tenkte at de bare ble brukt til mekanisk kunst, ble jeg forbauset over at deres fundament var så fast og så solid at ingenting hadde blitt bygget på dem mer forhøyet. "

Den XVIII th  århundre

Universet matematikk i tidlig XVIII th  århundre er dominert av figuren av Leonhard Euler og hans bidrag både på funksjonene i tallteori, mens Joseph Louis Lagrange lyser i andre halvdel av dette århundret.

Det forrige århundre hadde sett etableringen av den uendelige kalkulatoren som banet vei for utviklingen av et nytt matematisk felt: algebraisk analyse der, i tillegg til klassiske algebraiske operasjoner, er lagt til to nye operasjoner, differensiering og integrering. ( Introductio in analysin infinitorum - Euler, 1748). Infinitesimal kalkulus utvikler seg og brukes på fysiske felt ( mekanikk , himmelmekanikk , optikk , vibrerende strenger ) så vel som på geometriske felt (studie av kurver og overflater). Leonhard Euler , i Calculi differentialis (1755) og Institutiones calculi integralis (1770), prøver å utvikle reglene for bruk av uendelig liten og utvikler metoder for integrering og oppløsning av differensiallikninger. Jean le Rond d'Alembert fulgte deretter Joseph-Louis Lagrange . I 1797, Sylvestre François Lacroix publiserer traktaten kalkulus som er en syntese av analysearbeidet av XVIII th  århundre. Bernoulli- familien bidrar til utviklingen av løsningen av differensialligninger .

Funksjonen blir et studieobjekt i seg selv. Den brukes i optimaliseringsproblemer. Vi utvikler den i hele eller asymptotiske serier ( Taylor , Stirling , Euler, Maclaurin , Lagrange), men uten å bekymre oss for deres konvergens. Leonhard Euler utvikler en klassifisering av funksjoner. Vi prøver å bruke dem på negative realer eller på komplekser.

Den grunnleggende teoremet om algebra (eksistensen av muligens komplekse røtter til ethvert polynom) som har vært i form av en formodning i to århundrer, blir fremsatt ved bruk av nedbryting av fraksjoner i enkle elementer som er nødvendige for integralberegningen. Etter hvert prøver Euler (1749), Chevalier de Foncenex (1759) og Lagrange (1771) algebraiske bevis, men kommer opp mot den transcendente delen av problemet (ethvert polynom med merkelig grad over ℝ har en reell rot) som krever bruk av teoremet om mellomverdier. D'Alemberts demonstrasjon, publisert i 1746 i akademiene i akademiet i Berlin, er den mest komplette, men presenterer fremdeles noen hull og uklarheter. Gauss, i 1799, som kritiserer d'Alembert på disse punktene, er ikke unntatt fra de samme bebreidelsene. På et tidspunkt må vi få inn et sterkt analytisk resultat som århundret aldri har sett. I tillegg ligger hindringen i spørsmålet om forgreningspunkter: vi finner her et spørsmål som allerede er diskutert under kontroversen om logaritmene til negative tall som Euler vil avgjøre. Den andre og tredje demo Gauss lider ikke disse bebreidelser, men det er ikke lenger den XVIII th  århundre ...

I aritmetikk beviser Euler Fermats lille setning og gir en versjon utvidet til sammensatte tall (1736-1760). Det ugyldiggjør Fermats antagelser om primality of numbers of the form 2 2 n + 1 ( Fermat number ). Han er interessert i fordelingen av primtall og beviser at serien med inverser av primtall er divergerende. Den formodning av Bachet (et hvilket som helst tall er summen av fire kvadrater ovenfor) demonstreres ved Lagrange i 1770. Det ble også i 1771 Lagrange demonstrere teorem Wilson (dersom p er et primtall, den deler ( p - 1) + 1). Han utvikler teknikken for nedbrytning i fortsatte fraksjoner og demonstrerer uendelig med løsninger til Pell-Fermat-ligningen . Legendre publiserte i 1798 sin Theory of Numbers som samlet et stort antall aritmetiske resultater. Den kvadratiske gjensidighetsloven antatt av Euler og Legendre vil ikke bli demonstrert før det påfølgende århundre.

I løpet av dette århundret fortsatte matematikere å være interessert i de algebraiske løsningene til ligninger. Det første systematiske essayet om å løse algebraiske ligninger var Tschirnhauss arbeid i 1683. Euler selv, i to essays, gikk ikke utover forgjengeren, og i 1762 introduserte Étienne Bézout forestillingen om roten til l 'unit. Mellom 1770 og 1772 kan vi sitere tre store og mer originale memoarer: den om Waring , den for Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) om oppløseligheten av radikaler av ligningene x n - 1 = 0 ( cyclotomic ligning ) som er en forløper i bruken av permutasjoner av røttene og Lagrange (1770) som samler alle metodene for oppløsninger som allerede er forsøkt, men vil introdusere oppløsningen til Lagrange og demonstrere, på et språk der begrepet gruppe ennå ikke eksisterer, av Lagrange: rekkefølgen til en undergruppe av en endelig gruppe deler rekkefølgen på gruppen. Disse to siste matematikerne fremhever viktigheten av røtter og deres permutasjoner, men det var først i det påfølgende århundre at forestillingen om en gruppe permutasjoner ble født .

Analytisk geometri utvikler seg og strekker seg fra studiet av kurver til overflatene. Euler studerer den generelle kvadratiske ligningen med tre variabler og presenterer en klassifisering av løsningene. Alexis Clairaut studerer venstre kurver (1729). Gabriel Cramer publiserte i 1750 en avhandling om algebraiske kurver . Den store figuren av geometri fra det attende århundre forblir Gaspard Monge  : han utviklet differensialgeometri med studiet av tangenter og skapte en ny disiplin: beskrivende geometri . Leonhard Euler utvikler trigonometrisk beregning, setter opp formlene for beregning av sfærisk geometri og erstatter sirkulære funksjoner i det generelle settet med funksjoner, utvikler dem i hele serier eller i uendelige produkter og oppdager et forhold mellom sirkulære funksjoner og dem.

I århundret dukket det opp noen logikteoretikere. Leonhard Euler utvikler en metode for beregnet representasjon av syllogistiske deduksjoner (Euler-diagram), Jean-Henri Lambert arbeider med logikken i forhold.

Det er også århundret som angriper de første eksemplene på hva som vil bli teorien om grafer. Euler løser i 1736 problemet med de syv Königsberg-broene, og uttaler i 1766 teoremet om Eulerian-kretser: en tilkoblet graf innrømmer en Eulerian-kjede hvis og bare hvis antall hjørner av ulik grad er 0 eller 2. Det er ' angrep rytterproblemet i 1759, men publiserte ikke noe før i 1766. Dette er et spesielt tilfelle av Hamilton-grafer. Rytterproblemet har vært kjent i veldig lang tid. Rundt 840 ga al-Adli ar-Rumi en løsning. Den kashmiriske dikteren Rudrata snakket også om det i sin Kavyalankara .

Men århundret er også fruktbart i formodninger som vil forbli gåter i mer enn et århundre: problemet med Goldbach , problemet med Waring ...

I århundret ble også Legendre slitt i årevis på de elliptiske integralene. Dessverre for ham, selv om han er beundring av Euler i dette domenet, skulle løsningen på spørsmålet unnslippe ham til fordel for Abel.

Den XVIII th  århundre er at av Encyclopedia der Jean le Rond d'Alembert gjort en opptelling av matematikk i dette århundret.

Japan

I løpet av Edo-perioden (1603 - 1868), i Japan, utviklet en matematikk seg uten innflytelse fra vestlig matematikk, men inspirert av kinesisk matematikk, og arbeidet med problemer med geometrisk essens. Geometriske gåter plasseres og løses på trebrett som heter Sangaku .

For eksempel oppfant matematikeren Kowa Seki rundt 1680 metoden for konvergensakselerasjon kalt Delta-2 og tilskrevet Alexander Aitken som gjenoppdaget den i 1926 og populariserte den.

XIX th  århundre

Den matematiske historien til XIX -  tallet er rik. For rik til at alle verkene i dette århundret blir dekket av et essay av rimelig størrelse. Vi bør derfor fra denne delen bare forvente de fremtredende punktene i dette århundrets arbeid.

Den XIX th  -tallet begynte å dukke opp flere nye teorier og oppfyllelsen av arbeidet utføres i forrige århundre. Århundret domineres av spørsmålet om strenghet. Dette manifesterer seg i analyse med Cauchy og summeringen av serien. Det dukker opp igjen om geometri. Det slutter ikke å vises i teorien om funksjoner og særlig på grunnlag av differensial- og integralkalk til det punktet å se helt forsvinne disse uendelig små som likevel hadde gjort lykken i forrige århundre. Men enda mer markerer århundret slutten på matematisk amatørisme: inntil da var matematikk hovedsakelig et verk av noen få individer som var tilstrekkelig heldige, enten til å studere seg selv eller å opprettholde noen få genier. I XIX th  århundre , det hele ender: Matematikere bli lønnede fagfolk. Antallet av disse fagpersonene fortsetter å vokse, og med dette tallet får matematikken en betydning som aldri er nådd, som om hele samfunnet endelig ble klar over det formidable verktøyet. Applikasjonene, som ble spiret i forrige århundre, utvikler seg raskt innen alle felt, noe som tyder på at vitenskapen kan gjøre hva som helst. Dessuten er visse suksesser der for å vitne om det. Har vi ikke oppdaget en ny planet bare ved beregning? Har vi ikke forklart etableringen av solsystemet? Fysikkfeltet, en eksperimentell vitenskap ved excellence, blir fullstendig invadert av matematikk: varme, elektrisitet, magnetisme, væskemekanikk, materialmotstand og elastisitet, kjemisk kinetikk blir i sin tur matematisert slik at det gode gamle kabinettet av kuriositeter fra XVIII E  århundres slutt erstattes av en tavle. Og det store vitenskapsfeltet utvides igjen og igjen. Riktignok er det sagt at nesten vanlig av XVIII th  århundre at matematikk er snart ferdig, og at det vil "nær gruven," i stedet det begynner å drømme maskin Leibniz som ville møte alle spørsmål. Vi går til og med så langt som å kvantifisere tilfeldigheter eller usikkerhet, bare for å berolige oss selv. Cournot ønsker å bruke beregningen av sannsynligheter i rettslige forhold for å komme til denne forbløffende, og hvor betryggende konklusjonen at det er mindre enn to prosent av rettsfeil! Matematikk kryper inn i den intime strukturen til materie: flere teorier om lys og begynnelsen til Lorentz's relativitetsteori, som fullfører Maxwells elektromagnetiske teori. Tendensen til rigor, påbegynt i begynnelsen av XIX th  århundre, vil se den sto ferdig i begynnelsen av XX th  århundre ved avhør av mange a priori.

• Joseph-Louis Lagrange

• Augustin Louis Cauchy

• Carl Friedrich Gauss

• Bernhard Riemann

• Pierre-Simon de Laplace

• William Rowan Hamilton

• Gottlob Frege

Matematiske tidsskrifter

• Det eksisterte fra slutten av XVII -  tallet få akademier som publiserte sitt arbeid og sine årlige sammendrag. I tillegg hadde noen få aviser blomstret, for eksempel Acta Eruditorum redigert av Otto Mencke i Leipzig eller Petersburg-kommentarene gjort berømt av Euler. Men disse tidsskriftene eller anmeldelsene var ikke spesialiserte i matematikk og innkvarterte avhandlinger om filosofi, historie, botanikk og matematikk. I begynnelsen av XIX E vises tidsskrifter som vil spesialisere seg i publisering av matematikk. Redaktørene av disse tidsskriftene er Ferussac (for den general og Universal Bulletin of Kunngjøringer og Scientific News ), Gergonne (for Annals of Pure and Applied Mathematics ), Crelle (for Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ), Liouville (for Journal of Pure and Applied Mathematics ) for å gi bare fire før 1840. De vil snart bli fulgt av en rekke andre tidsskrifter som hvert noe berømte universitet liker å finansiere, for eksempel Mittag-Lefflers Acta Mathematica i 1882.

Mekanisk

• Newtons mekanikk driver sin revolusjon. Ved å bruke Maupertuis ' (variasjons) prinsipp om minste handling , angir Lagrange de første ordens optimalitetsbetingelser som Euler fant i allmennhet og finner således ligningene til mekanikken som bærer navnet hans. Deretter uttrykker Hamilton , i fotsporene til Lagrange, de samme ligningene i en ekvivalent form. De bærer også navnet hans. Den nye teorien om Riemann-rom vil gjøre det mulig å generalisere dem praktisk.
• Delaunay , i en ekstraordinær beregning, lager en uovertruffen teori om månen. Faye uttrykte seg således ved begravelsen (1872): "Enormt arbeid, som den mest kompetente anså som umulig før ham, og hvor vi beundrer både enkelheten i metoden og kraften i applikasjonen". Han besluttet å gjøre regnestykket til 7 th  orden hvor hans forgjengere (Clairaut, Poisson, Lubbock ...) hadde stoppet 5 th .
• Le Verrier, som anvender Newtons teori på uregelmessighetene i Uranus som Herschel nettopp hadde oppdaget , antar eksistensen av en fortsatt ukjent planet ( Neptun ) hvis posisjon og masse han bestemmer ved å beregne forstyrrelser.
• Bevegelsen til et fast stoff rundt et fast punkt tillater tre algebraiske primærintegraler og en siste multiplikator lik 1. Problemet med formell integrering ved kvadratur av bevegelse krever en fjerde primærintegral. Dette hadde blitt oppdaget i et bestemt tilfelle av Euler. Spørsmålet tas opp av Lagrange, Poisson og Poinsot . Lagrange og Poisson oppdager et nytt tilfelle der denne fjerde integralen er algebraisk.
• De to tilfellene, nå klassiske, av Euler-Poinsot-bevegelsen og Lagrange-Poisson-bevegelsen ble fullført i 1888 av en ny sak oppdaget av Sofia Kovalevskaïa . Poincaré hadde vist at det ikke kunne komme et nytt tilfelle hvis treghetens ellipsoid knyttet til suspensjonspunktet ikke var av revolusjon.
• Mach uttaler et prinsipp som vil være sentralt i motivasjonene til Einsteins relativitet.
• Til tross for suksessene vil mekanikk ha vanskeligheter med å finne, i utdanningen, et sted som matematikk ikke vil gi opp og Flaubert vil kunne presentere som en mottatt ide om at det er en "nedre del av matematikken" .

Matematisk fysikk

Euler, hvis arbeid har begynt å bli publisert (planlagt over femti år!), Hadde allerede taklet mange områder: akustikk, optikk, motstandsdyktighet mot materialer, væskemekanikk, elastisitet, men disse områdene dukket fremdeles opp. Det er Fourier , hvis første avhandling nektes av Academy of Sciences i Paris, som er den første som angriper teorien om varme ved å bruke det som blir Fourier-serien . Rundt samme tid, på 1820-tallet, behandler Fresnel optikk så vel som Bessel som vil introdusere funksjonene til Bessel . Væskemekanikken, som nesten var på scenen som ble etterlatt av Euler og d'Alembert , scenen med perfekte væsker, gjorde fremgang med Henri Navier og George Gabriel Stokes som angrep ukomprimerbare og deretter komprimerbare væsker og introduserte viskositet. Elektrisitet debuterte under innflytelse av Gauss, Ohm , Biot , Savart og Ampère, men det er fremfor alt geniet til Maxwell som vil omfavne teorien i en av århundrets vakreste teorier., Elektromagnetisk teori, som hevder å forene seg alle verkene på elektrisitet, optikk og magnetisme. I materiell motstand er fremgangen mer beskjeden. Vi kan spesielt sitere Barré de Saint-Venant , Yvon Villarceau , Aimé-Henry Résal og sønnen Jean Résal, men det var ikke før i det følgende århundre at elastisiteten gjorde avgjørende fremgang, spesielt siden mange eiendommer fremdeles er ukjente. Konkrete og enda mer armert betong. Mot slutten av århundret vet vi nok om det til at noen kan ta fatt på monumentale stålprestasjoner, som Eiffel .

Tallteori

Tre store problemer vil belyse århundret: loven om kvadratisk gjensidighet , fordelingen av primtall og Fermats siste setning . Den XIX th  århundre tilbud betydelig fremgang på disse tre spørsmålene gjennom utvikling av en sann teori om aritmetikk ta navnet eller tallteori og basert på abstrakte og avanserte verktøy.

• Ved fullstendig å ignorere arbeidet til Euler publisert i 1784 om loven om kvadratisk gjensidighet, fant Legendre (1785) og Gauss (1796) det ved induksjon. Gauss ender med å gi en lang komplett demonstrasjon av det i sine aritmetiske undersøkelser . Demonstrasjonen ble forenklet i løpet av XIX -  tallet, for eksempel av Zeller i 1852 da den bare to sider. Loven om kvadratisk gjensidighet er lovet en lys fremtid av forskjellige generaliseringer.
• Eisenstein demonstrerer loven om kubisk gjensidighet .
• Siden 1798 har Legendre jobbet med sin tallteori. Han har nettopp (i 1808) demonstrert teoremet om sjeldenhet av primtall og foreslått en omtrentlig formel for π ( x ) , antall primtall mindre enn x . Hans forskning førte til at han revurderte silen til Eratosthenes. Formelen han får er det første elementet i en metode som vil få sin fulle betydning i det neste århundre, silmetoden . Deretter, i 1830, kort før hans død, gjorde han en antagelse om at mellom n 2 og ( n + 1) 2 eksisterer minst ett primtall. Denne antagelsen forblir uprøvd.
• Eulers bevis på uendelig med primtall inspirerer Lejeune-Dirichlet som demonstrerer en Legendre-formodning: det eksisterer en uendelig primtall i enhver aritmetisk sekvens av formen + b hvis a og b er primære for hverandre. For dette oppfinner han forestillingen om aritmetisk karakter og Dirichlet-serien .
• Legendres antagelse om fordelingen av primtall er støttet av Gauss og er gjenstand for Tchebychevs arbeid i 1850. Han demonstrerer en innramming av π ( x ) i samsvar med antagelsen og han demonstrerer Bertrands postulat om at det eksisterer et primtall mellom n og 2 n . Men Legendres antagelser ble ikke demonstrert før 1896, av Hadamard og La Vallée Poussin uavhengig.
• Det viktigste resultatet er Riemann-minnet fra 1859, som fremdeles er minnet om XIX -  tallet som oftest er sitert. Riemann studerer i denne oppgaven “Riemann” -funksjonen ζ . Denne funksjonen introdusert av Euler i sin studie av Mengoli-problemet utvides til komplekse verdier av s med unntak av 1 som er en pol av rest 1 (Dirichlets teorem). Riemann angir antagelsen, kalt Riemann-hypotesen , om at alle ikke-reelle nuller har en reell del lik 1/2. Riemanns demonstrasjoner er for det meste bare sketchy. De er demonstrert fullt ut, med unntak av Riemann-formodningen, av Hadamard og von Mangoldt , etter 1892.
• Fermats siste setning, som allerede hadde okkupert Euler i forrige århundre, er gjenstand for ny forskning av Dirichlet og Legendre ( n = 5), Dirichlet ( n = 14), Lamé ( n = 7), demonstrasjon forenklet av Lebesgue. Kummer viser at Fermats siste setning stemmer for vanlige primtall i 1849. Det er uregelmessige primtall i uendelig antall.
• Mertens demonstrerer mange resultater på aritmetiske funksjoner , spesielt Möbius-funksjonen . I 1897 kom han med en formodning som gjorde det mulig å demonstrere Riemann-hypotesen. I sin sterke form vil den bli tilbakevist av Odlyzko og te Riele i 1985. Den svake formen forblir en gåte.

Logikk

• George Boole starter i arbeid som vil føre til boolsk algebra , symbolsk logikk og mengde teori ved å ønske å demonstrere Guds eksistens . Beregningen av proposisjoner ble født. Augustus De Morgan angir lovene som bærer navnet hans. Logikk kommer definitivt ut av filosofien.
• Frege legger grunnlaget for formell logikk og Cantor det av mengdelære . Ingen av dem forstås av mange matematikere, og de gir opphav til mye bekymring. Spørsmålet om fundamentene stilles. Det vil bare være delvis løst sent på XX th  århundre . Paradokser peker allerede på, slik som Burali-Forti , Russell , Richard eller Berry .

Geometri

• Århundret begynner med oppfinnelsen av beskrivende geometri av Gaspard Monge .
• Delaunay klassifiserte revolusjonsflater med konstant gjennomsnittlig krumning, som i dag bærer navnet hans: Delaunay overflate.
• Arving til tidligere århundrer, vil århundret se løsningen av de store greske problemene negativt. Den tredeling av vinkelen med linjalen og kompasset er vanligvis umulig. Det er det samme for kvadrering av sirkelen og duplisering av kuben . Når det gjelder den firkantede ringen, det XVIII th  tallet viste at π er irrasjonell. Liouville som definerer transcendentale tall i 1844, åpner veien for studiet av det transcendentale hvis to monumenter fra XIX -  tallet forblir teorier om Hermite (1872) på transcendental e og Lindemann (1881) til det av π , noe som gjør det umulig å firkant sirkel med linjalen og kompasset. Det er på slutten av århundret at antagelsen dukker opp, som det neste århundre vil demonstrere i Gelfond-Schneider-setningen , at a og exp ( a ) ikke kan være samtidig algebraisk.
• Den andre arven gjelder Euclids postulat . Problemet hadde faktisk nesten blitt løst av Saccheri, men han hadde ikke sett at han var nær målet. Gauss 'arbeid på overflater fører til at János Bolyai og Nikolai Lobachevsky stiller spørsmål ved postulatet av paralleller. De oppfinner derfor en ny geometri der postulatet ikke lenger er sant, en ikke-euklidisk geometri som Poincaré vil gi en modell for. Riemann , etter dem, vil tilby en ny ikke-euklidisk løsning, før settet danner teorien om Riemann-rom, som vil gi det følgende århundre et rammeverk for teorien om generalisert relativitet.
• Ved å generalisere forestillingen om rom og avstand, klarer Ludwig Schläfli å bestemme det nøyaktige antallet vanlige polyedre i henhold til dimensjonen til rommet.
• Felix Klein kunngjør Erlangen-programmet .
• David Hilbert foreslår en komplett aksiomatikk av euklidisk geometri ved å forklare aksiomer implisitt i euklid.

Algebra

• Representasjonen av komplekser hadde okkupert mange mennesker: fra Henri Dominique Truel (1786), Caspar Wessel (1797) gjennom Jean-Robert Argand (1806), CV Mourey (1828), til Giusto Bellavitis (1832). Hamilton , inspirert av denne representasjonen av komplekser i a + ib, søker å generalisere kroppen av komplekser. Han oppdager det ikke-commutative feltet av quaternions, og deretter oppdager Cayley oktavioner. Hamilton vil tilbringe en stor del av livet sitt på å foreslå søknader om kvaternionene sine.
• Grassmann , i 1844, utviklet i Die lineare Ausdehnungslehre en ny vei for matematikk og grunnla det som skulle bli teorien om vektorrom .
• Hamilton demonstrerte i 1853 hva som ville bli Cayley-Hamilton-setningen for dimensjon 4 om det omvendte av et kvartær. Det var Cayley, i 1857, som generaliserte resultatet, men bare demonstrerte det i dimensjon 2. Frobenius , i 1878, ga den første generelle demonstrasjonen.
• Resultatene fra Galois og Kummer viser at et stort fremskritt innen algebraisk tallteori krever forståelse av subtile strukturer: ringene til algebraiske heltall som ligger til grunn for algebraiske utvidelser. Det minst komplekse tilfellet er tilfellet med endelige og abeliske algebraiske utvidelser. Det virker enkelt, resultatet tilsvarer strukturene som Gauss hadde studert i begynnelsen av århundret for å løse problemene med antikkens konstruksjon med linjalen og kompasset: de cyklotomiske utvidelsene knyttet til polynomene med samme navn. Imidlertid tok det 50 år og tre store navn i algebra å overvinne det på slutten av århundret: Kronecker , Weber og Hilbert . Det åpner døren til studiet av generelle abelske algebraiske utvidelser, det vil si uferdige. Hilbert åpner veien for dette kapittelet i matematikk som representerer en av de vakreste utfordringene i det neste århundre, teorien om klasselegemer. I det siste året av århundret, i 1900, var Richard Dedekind interessert i en generell teori om sett knyttet sammen av relasjoner. Ved å oppfinne begrepet dualgroup, har han nettopp tatt det første skrittet i den generelle teorien om strukturer.
• Killing og Elie Cartan begynner studien av Lie-grupper og algebraer. Teorien om rotsystemer er født.

Sannsynlighet og statistikk

• Legendre i 1805 1811 introduserte Gauss i 1809, på astronomiske problemer, metoden med minste firkanter , et sett med metoder som ville bli grunnleggende i statistikken .
• Pierre-Simon de Laplace brakte analyse inn i teorien om sannsynlighet i sin analytiske sannsynlighetsteori fra 1812, som vil forbli et monument i lang tid. Hans bok gir en første versjon av det sentrale grenseetningen, som da bare gjelder en variabel med to tilstander, for eksempel hoder eller haler, men ikke en 6-sidig terning. Først i 1901 dukket den første generelle versjonen opp av Liapunov. Det er også i denne avhandlingen at Laplace's metode vises for asymptotisk evaluering av visse integraler.
• Under drivkraften til Quetelet , som i 1841 åpnet det første statistikkontoret, Higher Statistical Council, utviklet statistikken seg og ble et fullverdig matematikkfelt som var basert på sannsynlighet, men som ikke lenger var en del av det.
• Moderne sannsynlighetsteori tok bare virkelig fart med forestillingen om mål og målbare sett som Émile Borel introduserte i 1897.

Grafteori

• Teorien ble, som vi allerede har sagt, startet av Euler i sin løsning på problemet med de syv Königsberg-broene . Det tar en ny sving, unik for vår tid, når vi plutselig er interessert i noder, helt i begynnelsen av atommodeller.
• Spørsmålet om kartografi er et gammelt problem som delvis var løst ved forskjellige projeksjonsmetoder. I spørsmålet om den mest respektfulle representasjonen av topografi, hadde spørsmålet fått ny interesse av Riemanns konforme kartleggingsteori og de holomorfe funksjonene som vi vet for å bevare vinkler der derivatet ikke forekommer. Ikke avbryte. Vanen med kartografer for å fargelegge forskjellige farger hadde vist at fire farger var tilstrekkelig. Denne svært gammel observasjon førte i 1852, Francis Guthrie å oppgi formodning av de fire fargene . Det tok mer enn tjue år for Cayley å interessere seg for det. En advokat, Alfred Kempe , foreslo i 1879 en demonstrasjon ved reduksjon, men at Percy John Heawood tilbakeviste i 1890 ved et moteksempel som ugyldiggjorde prosessen med farging av Kempe. Imidlertid viste Kempes forsøk at det kromatiske nummeret på sfæren var på det meste 5. Det var ikke før mye senere at firefargesgissingen skulle demonstreres.

Ekte analyse

• På slutten av XVIII th  århundre, gjøre matte innebærer å skrive likheter, noen ganger litt tvilsomt, men det sjokkerer leseren. Lacroix nøler for eksempel ikke med å skrive1-1+1-1+...=12{\ displaystyle 1-1 + 1-1 + ... = {\ dfrac {1} {2}}}under den eneste begrunnelsen for Taylor-seriens utvidelse på 1 / (1 + x). Matematikere mener fremdeles for kort tid at den uendelige summen av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig, og (lenger) at enhver kontinuerlig funksjon innrømmer et derivat ...
• Det er Cauchy som legger litt orden på alt dette ved å vise at en numerisk serie kun er kommuterende konvergent hvis den er absolutt konvergent . Men Cauchy, som imidlertid bare er en finger unna forestillingen om enhetlig konvergens, uttaler en falsk teorem om kontinuitet i en serie kontinuerlige funksjoner som Abel motsier ved et moteksempel fra 16. januar 1826.
• Det er fortsatt Cauchy som nekter å vurdere summen av divergerende serien, i motsetning til matematikere XVIII th  århundre som Lacroix er en av arvingene.
• Gudermann , i 1838, brukte for første gang forestillingen om ensartet konvergens . I 1847 definerte Stokes og Seidel forestillingen om en serie som konvergerer så sakte som vi vil , et begrep som tilsvarer ensartet konvergens. Men deres tenkning er ikke moden. Weierstrass gir en definisjon av enhetlig konvergens i 1841 i en artikkel som ikke vil bli publisert før 1894. Det er opp til Cauchy å gi den første klare definisjonen av begrepet (uten ensartet betegnelse) i 1853. Weierstrass, på sin side, vil deretter gi de klassiske setningene om kontinuitet, avledbarhet, integrerbarhet i serier av kontinuerlige funksjoner i forelesningene fra 1861.
• Bolzano viser det første prinsipp, implisitt i forfatterne av XVIII th  -tallet, en kontinuerlig funksjon som tar forskjellige tegn verdier i et intervall avbryter den, banet vei for topologien av det mellomliggende verdi teoremet.
• Karl Weierstrass er den første som gir definisjonen av en funksjonsgrense, en forestilling litt vag frem til da, i form av "  ε, η  ". Forestillingen om en øvre grense, oppfunnet av Cauchy, er tydelig forklart av Du Bois-Reymond.
• I 1869 var Charles Méray , professor ved Universitetet i Dijon, den første som ga en streng konstruksjon av reelle tall etter ekvivalensklassene av Cauchy-sekvenser av rasjonelle tall. Georg Cantor vil gi en analog konstruksjon av ℝ. Karl Weierstrass konstruerer ℝ fra begrepet "aggregater" mens Richard Dedekind oppretter ℝ fra forestillingen om å kutte settet med rasjonelle.
• Vi må nesten vente til midten av århundret før vi endelig interesserer oss for ulikheter. Chebyschev , i sin elementære demonstrasjon av Bertrands postulat , er en av de første som bruker dem.
• Litt tidligere demonstrerer Bessel og Parseval , ved å håndtere trigonometriske serier, det vi i dag kaller Bessel-Parseval ulikheter.
• Den store anvendelsen av trigonometriske serier er fortsatt Fouriers varmeteori , selv om sistnevnte ikke viser konvergensen til serien han bruker. Først på slutten av århundret ble spørsmålet virkelig avklart av Fejér .
• Poincaré deltar i konkurransen til kongen av Sverige om løsningene på problemet med de tre organene . I Stockholms memoar (1889) gir han det første eksemplet på en kaotisk situasjon . Det uttrykkes som følger:

"En veldig liten sak, som rømmer oss, bestemmer en betydelig effekt som vi ikke kan unnlate å se, og så sier vi at denne effekten skyldes tilfeldigheter." Hvis vi visste nøyaktig naturlovene og universets situasjon i begynnelsen, kunne vi nøyaktig forutsi situasjonen til det samme universet på et senere tidspunkt. "

• Det var bare med beklagelse at de avvikende seriene ble forlatt i begynnelsen av århundret under ledelse av Cauchy og med et i hovedsak strengt mål. Den divergerende serien dukket opp igjen på slutten av århundret. I noen tilfeller er det snakk om å gi en sum til slike serier. Cesàros summeringsprosess er en av de første. Borel gir sin, mer sofistikerte. Dette vil raskt bli en stor gjenstand for studier at XX th  århundre vil forlenges.

Kompleks analyse

• Teorien om funksjoner av kompleks variabel, det store emnet i hele XIX -  tallet , er forankret i arbeidet med Cauchy , skjønt glimtet av Poisson. Cauchy definerer begrepet stiintegral. Han klarer dermed å angi restsetningen og hovedegenskapene til "Cauchy" -integralen og spesielt Cauchy-integralformelen .
• Han rettferdiggjør dermed utviklingen i Taylor-serien og finner den integrerte formelen til koeffisientene ved å differensiere under tegnet ∫. Den demonstrerer ulikhetene "Cauchy" som vil bli brukt intenst, spesielt i teorien om differensialligninger.
• Cauchy publiserte deretter en rekke anvendelser av sin teori i samlinger av øvelser, spesielt for evaluering av reelle integraler, som han ikke nølte med å generalisere til det som i dag kalles hovedverdien. De Cauchy , litt mindre enn et århundre før Jacques Hadamard trengte det i sin oppløsning om delvise differensialligninger av de endelige delene av Hadamard  (in) og Laurent Schwartz kom ikke til distribusjonene.
• Teorien om analytiske funksjoner utvikler seg raskt. Cauchy definerer konvergensradien til en hel serie fra formelen som Hadamard fullstendig forklarte i sin avhandling, etter arbeidet til du Bois-Reymond som ga en klar definisjon av øvre grense.
• Dette gjør at Liouville kan demonstrere sin teorem og trekke ut av det et nytt og elementært bevis på D'Alembert-Gauss-setningen som det hadde vært så vanskelig å demonstrere i forrige århundre.
• Da Cauchy døde, hadde fakkelen allerede gått til Riemann (Theorem of conformal application, Riemanns integral erstattet Cauchys forestilling ...) og Weierstrass som ville avklare forestillingen om essensielt entallpunkt og analytisk utvidelse (selv om Émile Borel senere viste at noen av forestillinger om "mesteren" var feil). Cauchys "integrerte" synspunkt videreføres i den franske skolen, mens "seriens" synspunkt, utviklet av Weierstrass, utvikler seg uavhengig og vil føre til utforming av analytiske funksjoner med flere variabler, og Riemann prøver å lage koblingen mellom disse to forestillinger.
• Cauchys teori kommer akkurat i tide til endelig å løse spørsmålet om elliptiske integraler, en teori som ble startet av Legendre i forrige århundre. Det var Abel som hadde ideen om å invertere elliptiske integraler og dermed oppdaget de elliptiske funksjonene som vi skyndte oss å studere. Den svært vakre teorien om elliptiske funksjoner er endelig fullført når vises avhandlingen ved Briot og Bouquet , teorien om elliptiske funksjoner, 2 nd  utgave, 1875 og avhandlingen av Georges Henri Halphen i fire bind, avbrutt av forfatterens død.
• Det vanskeligste resultatet av teorien er fortsatt Picards teorem som tydeliggjør Weierstrass teorem . Den første demonstrasjonen, med den modulære funksjonen, ble raskt forenklet av Émile Borel på slutten av århundret.
• Århundret var også veldig opptatt av teorien om differensiallikninger og spesielt av teorien om potensialet for harmoniske funksjoner. Fuchs studerer singularitetene til løsninger av lineære ordinære differensialligninger. Émile Picard oppdager prosessen med å integrere differensiallikninger ved induksjon, som gjør det mulig å bevise eksistensen og unikheten til løsninger. Dette vil føre til studiet av integrerte ligninger ( Ivar Fredholm , Vito Volterra ...).
• Selv om det ble initiert av Laplace og brukt sporadisk av andre i løpet av århundret, utføres oppløsningen av differensiallikninger av en engelsk elektriker, Oliver Heaviside , uten ytterligere begrunnelse, og anser avledningsoperatøren som en algebraisk mengde bemerket s. Laplace transformasjon teori ble født. Men det vil bare være fullstendig rettferdiggjort av arbeidet til Lerch , Carson , Bromwich , Wagner , Mellin og mange andre i det påfølgende århundre. Gabriel Oltramare vil også gi en "generaliseringsberegning" basert på en relatert idé.
• Émile Borel begynner studiet av heltallfunksjoner og definerer begrepet eksponentiell orden for en hel funksjon . Målet er å belyse oppførselen til modulen til et heltall og spesielt å vise sammenhengen mellom maksimumsmodulen av f på sirkelen med radius R og koeffisientene i Taylor-serien til F. Darboux viser at koeffisientene av Taylor er skrevet i form av singulariteter. Andre, som Méray , Leau , Fabry , Lindelöf , studerer posisjonen til entallpunkter i konvergenskretsen eller den analytiske utvidelsen av Taylor-serien .
• Poincaré definerer og studerer automatiske funksjoner fra hyperbolske geometrier. Han overlater navnet sitt til en fremstilling av et halvplan av hyperbolsk geometri.
• Schwarz og Christoffel oppdager den konforme transformasjonen som bærer navnene deres. Den vil bli brukt intensivt det neste århundret av dataressurser (Driscoll for eksempel).
• Apoteosen oppnås ved beviset for primtalsetningen, i 1896, av Hadamard og La Vallée Poussin uavhengig av hverandre.

Outlook

Men allerede århundret har gått, og på den internasjonale matematikkongressen som avholdes i år 1900 i Paris, presenterer David Hilbert en liste over 23 uløste problemer av primær betydning for det påfølgende århundre. Disse problemene dekke en stor del av matematikken, og vil spille en viktig rolle i matematisk historien av XX th  århundre .

Århundrets bøker

Dette avsnittet gir et sett med bøker av største betydning, enten for deres historisk viktige innhold eller for syntesen de utgjør på et gitt felt. Den valgte rekkefølgen er alfabetisk på forfatternavnet.

• (de) Paul Bachmann , Zahlentheorie , 5 tomes, 1892 Tome 1 Tome 2 Tome 3 Tome 4 Tome 5
• János Bolyai , The Absolute Science of Space , 1868
• Charles Briot og Jean-Claude Bouquet , teorien om elliptiske funksjoner , 1875
• Augustin Cauchy , The Analyse Løpet av Royal Institute of Technology: 1 st  del: algebraisk analyse 1821
• Michel Chasles
  • Euclids tre poriseringsbøker , 1860
  • Avhandling om overlegen geometri , 1852
  • Avhandling om koniske seksjoner, etterfulgt av avhandlingen om overlegen geometri , 1865
• Gaston Darboux , Leksjoner om den generelle overflateteorien og de geometriske anvendelsene av den uendelige kalkulatoren , 4 bind, 1887-1896, Volum 2 Volum 3 Volum 4
• Paul David Gustave du Bois-Reymond , Die Allgemeine Functionentheorie , 1882, General Theory of Functions , 1887
• Joseph Fourier , Analytical Theory of Heat , 1822
• (de) Gottlob Frege , Die Grundlagen der Arithmetik , 1884, The Foundations of Arithmetic
• Évariste Galois , Matematiske verk , 1846
• (la) Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae , 1801, Aritmetic research on wikisource , 1807.
• Goursat, Lessons on the Integration of Second Order Partial Differential Equations , 2 volumes, 1896-1898, Volume 1 Volume 2
• (de) Hermann Günther Grassmann , Die lineare Ausdehnungslehre , 1844, La science de la grandeur omfattende
• Georges Henri Halphen , avhandling om elliptiske funksjoner og deres applikasjoner , 3 bind, 1886-1891, bind 1 bind 2 bind 3
• (no) William Rowan Hamilton , Lecture on Quaternions , 1853
• (fra) David Hilbert , Grundlagen der Geometrie , 1899, The Fundamentals of Geometry , 1900
• Camille jordan
  • Avhandling om substitusjoner og algebraiske ligninger , 1870
  • Analysekurs for École Polytechnique , 1882-1883, 3 bind. Volum 1 Volum 2 Volum 3
• (de) Felix Klein , Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade ( Forelesninger om icosahedron og løsninger fra femte grads ligning ), 1888
• Joseph-Louis Lagrange , Leksjoner om beregning av funksjoner , 1806
• Pierre-Simon de Laplace
  • Avhandling om himmelmekanikk , 1798-1825
  • Analytisk sannsynlighetsteori , 1812
• Adrien-Marie Legendre
  • Avhandling om elliptiske funksjoner og Eulerianske integraler , 2 bind, 1825-1826
  • Elementer av geometri , et verk som erstatter Euklids elementer .
  • Tallteori , 1830
• Alexandre Liapunov , Generelt problem med stabilitet og bevegelse , 1892-1893
• (av) Nikolai Ivanovich Lobachevsky , Pangeometrie
• James Clerk Maxwell , avhandling om elektrisitet og magnetisme , 2 bind, 1885-1887
• Charles Méray , Nye leksjoner om uendelig minimal analyse og dens geometriske anvendelser , 1894-1895
• (de) August Ferdinand Möbius , Der barycentrische Calcul , 1827
• Gaspard Monge , beskrivende geometri , år 7 = 1799
• Paul Painlevé , Leksjoner om den analytiske teorien om differensiallikninger , 1897
• Émile Picard , avhandling om analyse , 3 bind, 1892-1896
• Jean-Victor Poncelet , avhandling om figurers prosjektive egenskaper , 2 bind, 1822
• Joseph-Alfred Serret , Course of Superior Algebra , 2 bind, 1877
• Jules Tannery og Jules Molk , Elements of the theory of elliptical functions , 3 volumes, 1893-1898
• Félix Tisserand , avhandling om himmelsk mekanikk , 4 bind, 1889-1894
• (de) Heinrich Weber , Lehrbuch der Algebra , 2 bind, 1898-1899

XX -  tallet

The XX th  -tallet har vært en usedvanlig produktiv århundre matematisk. Tre viktige teoremer dukker opp: på den ene siden Gödel's teorem  ; på den annen side beviset for Shimura-Taniyama-Weil-formodningen som førte til beviset for Fermats siste setning; endelig demonstrasjonen av Weils antagelser av Pierre Deligne , disse to siste resultatene av viktige innovasjoner innen algebraisk geometri, på grunn av Grothendieck. Nye forskningsfelt ble født eller vokste: de dynamiske systemene , etter Poincare- arbeidet , sannsynlighetene , topologien , differensialgeometrien , logikken , den algebraiske geometrien , etter Grothendieck- arbeidet ...

Det matematiske samfunnet eksploderer

• Virksomheten matematiker har virkelig begynt å profesjonalisere slutten av XIX th  århundre . Takket være globaliseringen av kunnskap, fremdriften i transport og deretter elektroniske kommunikasjonsmidler, er matematisk forskning ikke lenger lokalisert i et land eller et kontinent. Siden slutten av XIX -  tallet har mange konferanser, kongresser, seminarer stått i jevnt tempo eller årlig.
• Bortsett fra to kongresser ble holdt i XIX th  århundre , tjueen internasjonale matematikk kongress ble holdt i XX th  århundre , nesten hvert fjerde år til tross for avbrudd på grunn av verdenskrigene.
• Bruk av datamaskin vesentlig endret arbeidsforholdene for matematikere fra 1980-tallet.
• Den matematiske utvikling har eksplodert siden 1900. I XIX th  århundre , er det anslått at om lag 900 memoarer utgis årlig. For tiden mer enn 15 000. Antall matematikere har dermed økt fra noen få hundre eller tusen til mer enn en og en halv million på under et århundre .
• Vi forsvarte 292 statlige matematiske teser mellom 1810 og 1901 i Frankrike. På slutten av XX th  århundre , antall årlige oppgaver.

Algebra

Leonard Eugene Dickson begynner den systematiske studien av endelige felt og oppnår den første klassifiseringen av kommutative endelige felt . Strukturen av den tilhørende ring med polynomer er forklart der. Med Joseph Wedderburn , i 1905, demonstrerte han at det ikke finnes noe som heter et ikke-kommutativt endelig felt.

Mekanisk

• Édouard Husson , i sin avhandling forsvarte i 1906, løser definitivt problemet med de første integralene av klassisk mekanikk for bevegelse av et fast stoff rundt et fast punkt. Det er bare fire mulige hovedintegraler, den fjerde vises bare i tre spesielle tilfeller, bevegelsen til Euler-Poinsot, den til Lagrange-Poisson og til slutt den til Sophie Kowaleski. Fullstendig integrering etter kvadratur er derfor mulig i disse tre tilfellene. Imidlertid viser Goriatchoff at integrering også er mulig i tilfelle spesielle innledende forhold, og et annet tilfelle er indikert av Nicolaus Kowalevski i 1908.
• Mekanikk ble gjenstand for grundige studier. Poincaré og Einstein publiserer en mekanisme som bare inneholder newtonsk mekanikk ved å få den til å tendere lysets celerity mot uendelig. Transformasjonen av Galileo viker for transformasjonen av Lorentz. Og en ny generalisering, en gravitasjonsteori, tar navnet generell relativitetsteori mellom 1909 og 1916, ved å bruke den siste utviklingen innen indre differensialgeometri (bekjentgjort av Tullio Levi-Civita i 1900).
• Mens Bruns i 1887 hadde demonstrert at enhver ny første integral av trekroppsproblemet nødvendigvis var en kombinasjon av de ti første integralene som allerede var kjent, og Poincaré hadde vist i 1889 divergensen i serien som ble brukt som løsning på problemet ( Lindstedt- serien ) og selv den kaotiske karakteren til løsningene, Sundman , i 1909, løser problemet med de tre kroppene ved å gi en konvergent analytisk serie for alle tider.
• Generell relativitetsteori gjør det mulig å teoretisere universet som helhet, moderne kosmologi ble født. De statiske universene til Einstein og De Sitter blir snart ledsaget av utviklende universer styrt av Friedmans ligninger , hjulpet av forskning fra Hubble og Humason, som nettopp har oppdaget at en systematisk redshift forråder en utvidelse av universet.
• I 1900 introduserte Max Planck, på jakt etter en modell som korrekt redegjør for fenomenet svart kropp , en konstant betydning at utvekslingen av energi mellom lysbølger og materie foregår diskontinuerlig. Denne konstanten gjør det mulig å skrive formler som gir resultater i samsvar med eksperimentelle målinger (for eksempel Bohr-modellen i 1913), uten at noen forstår dens samsvar med de grunnleggende prinsippene for fysikk. I 1924, Louis de Broglie , med utgangspunkt i ideen om identiteten mellom Fermats prinsipp for bølger og Maupertuis 'prinsipp om minste handling for materielle legemer (Plancks konstante homogenisering av dimensjonene ), forbinder med hvilken som helst partikkel en bølge Ψ, og finner dermed flere eksperimentelle resultater. De København skole tolker Heisen usikkerhet relasjoner som en invitasjon til å vurdere den modulus av bølgen Ψ som et tilstands sannsynlighets (posisjon, hastighet, etc.) av partikkelen, bryte med en total determinisme som var forbeholdt Newtons mekanikk og av hvilke Einstein vil være den trofaste forsvarer i Einstein-Podolski-Rosen-paradokset . De grunnleggende forestillingene om fysikk (partikkel, materie, posisjon, kraft, etc.) mister raskt sine intuitive egenskaper fordi deres egenskaper, beskrevet av matematikk, overskrider geometriske visualiseringer. Kvantemekanikk bruker intensiv differensiallikninger , og fra den andre Dirac- kvantiseringen krever bruk og utvikling av operatorteori . Fra 1960-tallet ble de fleste resultatene av partikkelfysikk teoretisert på grunnlag av løgngrupper og algebraer . De forskjellige forsøk på å forene generell relativitet og kvantefysikk er så mange feil at vi fortviler over å finne denne enhetsteorien som vil forene de to verdenene. Den femdimensjonale teorien om Kaluza-Klein, teorien om Einstein fra 1931, teorien om dobbeltløsningen av De Broglie, den kinematiske teorien om Milne , spekulasjonene til Eddington om tallet 137, teorien om Bondi og gull ... gir hver en ny idé, geometrisk generelt, men som ikke løser problemet med inkompatibiliteten til de to mekanikkene. Forfattere, spesielt fysikere, kaster seg forsiktig inn i en algebraisering av deres teorier som fører til strengteori, M-teori ... som fremdeles er langt fra å løse alle spørsmålene. Den ikke-kommutative geometrien , utviklet fra operatorteori, er et annet spor etterfulgt av noen.

Analyse

• Århundret begynner med Lebesgues avhandling Integral, length, area som virkelig utgjør begynnelsen på måle-teorien . Deretter skapes nye integraler i fotsporene til Lebesgue (integraler fra Denjoy, Perron og Henstock ...). Måle teorien ender med å slutte seg til teorien om sannsynlighet som ble aksiomatisert i 1933 av Kolmogorov.
• Lebesgues teori fører til studiet av L p- mellomrom . Og i fotsporene til Hilbert, Riesz , Banach studeres differensialoperatører. Dette er muligheten til å lage distribusjonsteorien, hvis premisser ble gitt av Hadamard som hadde introdusert de endelige delene i et problem med hydrodynamikk. Illustrerer således Gelfand , Shilov  (en) , Schwartz , Vekoua . Studiet av regelmessighetsforholdene til løsningene av partielle differensiallikninger gjør det mulig for Sergei Sobolev og hans tilhengere å definere sine funksjonsrom og sporteoremene i henhold til domeneens geometriske egenskaper.
• Spektralteorien om lineære operatører, spesielt selvmedarbeidere, som opererer i et Hilbert-rom, ble startet av David Hilbert, i seks memoarer som ble utgitt mellom 1904 og 1910. Hermann Weyl fremførte på sin side teorien om enestående differensiallikninger fra andre rekkefølge. John von Neumann utviklet konseptet med det abstrakte Hilbert-rommet mellom 1927 og 1929, et rammeverk der han startet studiet av ubegrensede selvtilstøtende operatører, hovedsakelig for formålet med gryende kvanteteori. Frigyes Riesz og MH Stone utviklet spektralteorien og utvidet den til ubegrensede normale operatører. Søknader til differensialoperatører og utvidelsen til symmetriske semi-avgrensede operatører var KO Friedrichs arbeid i 1934 og Kerin i 1947.
• I 1927 avklarte Artin-Schreiers teori om ordnede felt behovet for et analytisk argument i beviset på algebraens fundamentale teorem, D'Alembert-Gauss-teoremet.
• Forlatt siden formalismen Weierstrass, 1850, den uendelig små til den heroiske perioden ( XVII -  tallet ) tilbake i tjeneste under pulsen Abraham Robinson i 1960 som skaper den ikke-standardiserte analysen . I 1970 la Nelson til det klassiske Zermelo-Fraenkel axiomatics + axiom of choice (ZFC) et nytt predikat som tillot ham å tolke Robinsons ikke-standardanalyse til en enklere teori. Resultatene demonstrert i den ikke-standardiserte analysen som er uttrykt i ZFC alene, er da sanne i ZFC alene.

Gruppeteori

• Gruppeteori opptar mange mennesker. Spesielt de sporadiske endelige gruppene, hvor studien ikke vil bli fullført før på 1980-tallet. Studien av Lie-grupper fortsetter og algebraiseringen av fysikk blir et stort tema.

Topologi

• Poincaré fortalte i 1904 antagelsen som bærer hans navn  : “La oss se på et enkelt tilkoblet kompakt manifold V , i 3 dimensjoner, uten kant. Da er V homomorf til en tredimensjonal hypersfære ”. Det vil bli demonstrert i 2003 av Grigori Perelman .

Differensiallikninger

• I studien av differensiallikninger oppdager Painlevé nye transcendente. Studien hans fortsetter av Gambier.
• En memoar av Henri Dulac , fra 1923, inneholder utsagnet om at et felt av vektorer X med polynomiske koeffisienter i planet maksimalt har et endelig antall grensesykluser (en grensesyklus er en lukket analytisk integralkurve isolert fra X ) som vil generere mye tilleggsarbeid før du ble Dulacs teorem. Som mange “bevist” teoremer ble beviset bestridt på 1960-tallet. Dulac hadde “hull” fremhevet av Ilyashenkos moteksempler. Dulacs teorem ble Dulacs antagelse. Deretter ble beviset fullført av Jean Écalle, og Dulacs antagelser fikk sin status som et teorem i form: “For ethvert felt av analytiske vektorer i planet, akkumuleres ikke grensesyklusene. "

Tallteori

• Cahens avhandling (1894) hadde vært gjenstand for mye kritikk. Dette var anledningen til videre studier i Dirichlet-serien og teorien om L-funksjoner, spesielt av Szolem Mandelbrojt .
• Robert Daniel Carmichael oppdaget Carmichaels tall i 1909. Først i 1994 demonstrerte Alford, Granville og Pomerance at det var uendelige tall . Mer presist viser disse forfatterne at antallet C ( x ) av Carmichael-tallene mindre enn x reduseres med x 2/7 fra en viss rang. Ulike forfattere har gitt økninger for C ( x ).
• Vi forsøkte å forenkle bevisene for primtallsetningen ( Landau , Erdős og Selberg ...) og de fra Picards teorem (Borel). Den Riemann zeta funksjonen , med sikte på å demonstrere Riemann hypotesen, er gjenstand for mye forskning av Hardy og Littlewood , Speiser , Bohr , Hadamard ... uten men mysteriet blir løst. Titchmarsh skrev i 1951 en avhandling om teorien om Riemanns funksjon which som fortsatt er en av de mest komplette.
• Det Waring Problemet er delvis løst ved Hilbert i 1909, som viser at det foreligger g ( k ) mens Wieferich  (en) adresser bestemmelse av den minste g ( k ) for et heltall k gitt. Problemet med å bestemme G ( k ) startes av Hardy og Littlewood som til og med uttaler en antagelse som ennå ikke er bevist. Økningen av G ( k ) gitt av Vinogradov ble forbedret av Heilbronn (1936), Karatsuba (1985), Wooley (1991). Vi kjenner verdiene til G ( k ) for k mellom 2 og 20 av verkene til Landau, Dickson, Wieferich, Hardy og Littlewood ... Linnik  (en) ga en metode for å løse Warings problem på en rent aritmetisk måte i 1943, ved hjelp av en idé fra Schnirelmann .
• Viggo Brun demonstrerte i 1919 konvergensen av serien med inverser av tvillingprimetall ved hjelp av en metode fra Erathostène-Legendre-silen som vil forbli som Brun-silen, og innvier den moderne silmetoden som hovedsakelig utviklet seg med Selberg.
• En svak form for Goldbachs antagelse løses av Vinogradov i 1936 ved å vise at nesten alle odde heltall er skrevet som summen av tre primtall.

• André Weil demonstrerer Riemann-hypotesen for lokale zeta-funksjoner i 1940 og angir antagelsene som bærer navnet hans, som er demonstrert i århundret.

• Pierre Deligne demonstrerer, mot alle forventninger, Weils antagelser om egenverdiene til Frobenius-endomorfismer i algebraisk geometri.
• Fra 1960-tallet koblet arbeid av Yves Hellegouarch Fermats siste setning til aritmetikken til bestemte algebraiske kurver, elliptiske kurver , men det var først på midten av 1980-tallet at Kenneth Ribet viste at demonstrasjon av antagelsen om Shimura-Taniyama-Weil (eller modulær formodning ), som hevder en presis kobling mellom modulære funksjoner og elliptiske kurver, vil føre til Fermats siste setning. Etter syv års forskning, kunngjorde Andrew Wiles i 1993, under en serie forelesninger om elliptiske kurver og deres fremstillinger på en konferanse i Cambridge, demonstrasjonen av Shimura-Taniyama-Weil-formodningene for en stor familie av elliptiske kurver (som er tilstrekkelig for Fermats teorem). Et teknisk problem forsinket bevisutviklingen i flere måneder, men i slutten av 1994 ble Fermats siste setning demonstrert. Kort tid etter er Shimura-Taniyama-Weil-formodningen fullstendig demonstrert.

Grafer

• Mange kraftige og uventede teoremer demonstreres, for eksempel generalisering av karakteriseringen av plane grafer , setningen Robertson-Seymour .

• Men det er fremfor alt fremskritt innen informatikk som for eksempel fører til demonstrasjon av firefargesetningen , eller, mer anekdotisk, for å vise at det er mer enn 13 267 364 410 532 løsninger på problemet med kavaler ( Wegener  (de) og Brendan McKay , uavhengig; Ernesto Mordecki  (en) , en uruguayansk matematiker, i 2001 økte antall løsninger til 1 305,10 35 ).

Kompleks analyse

• Det første virkelige beviset på Riemanns konforme kartleggingssetning (1851) ble gitt av Constantine Carathéodory i 1912 ved bruk av Riemann-overflater . Det blir snart forenklet av Koebe . Et annet bevis blir gitt i 1922 av Fejér og Riesz, selv forenklet av Ostrowski og Carathéodory.
• Carathéodory uttaler og demonstrerer i 1906 et lemma som han kaller Schwarzs lemma . Utsagnet, selv om det er veldig enkelt, vil vise seg å være ekstraordinært fruktbart etter at Pick forlenget det i 1916. Mange andre utvidelser, for eksempel Carathéodory (1926) og Nehari  (en) (1947), vil følge. Vi vil se koblingen mellom Schwarzs lemma og den underliggende Poincaré-metrikken .
• Bieberbach , i 1916, vil utstede en antagelse om å generalisere Schwarzs lemma, som bare vil bli definitivt løst av Louis de Branges de Bourcia , etter nesten 70 års forskning, i 1985.
• Etter den første verdenskrig falt det franske matematiske samfunnet, som hadde mistet mange av medlemmene, tilbake på favorittfaget sitt: kompleks analyse og teorien om analytiske funksjoner som den var den viktigste tilskynderen til.
• Teorien om heltallige funksjoner av uendelig rekkefølge er arbeidet til Otto Blumenthal rundt 1913.
• Viktigheten av Jensens formel blir bekreftet i vekststeorien initiert av Émile Borel.
• Teorien om nesten periodiske funksjoner, initiert av Bohr, ble utviklet av forskjellige forfattere som Favard, Levitan, Besicovitch og Weyl, før den ble integrert i teorien om lokale kompakte abeliske grupper utviklet av Von Neumann.
• På grensen mellom teorien om primtall og kompleks analyse har teorien om Riemann zeta-funksjonen utviklet seg siden slutten av XIX -  tallet. Landau-traktaten fra 1909, som samlet tidens kunnskap i en sammenhengende teori, ga opphav til ny forskning og forble en kilde til inspirasjon frem til Titchmarsh-traktaten i 1951 som erstattet den. Vinogradovs arbeid, startet på 1930-tallet, førte til estimater av den nullfrie regionen Riemann zeta-funksjonen, som ikke har vært i stand til å forbedre seg siden 1959. Samtidig studeres L-funksjonene.

Logikk og mengde teori

• På spørsmålet om grunnlaget argumenterer matematikere gledelig, og grener vises under drivkraften til Brouwer , Henri Poincaré ... Imidlertid holder majoriteten av det matematiske samfunnet seg til aksiomet til valg som Kurt Gödel vil vise i 1938 at alt som generalisert kontinuumhypotese , kunne den legges til aksiomene i Zermelo-Fraenkel mengde teori uten å innføre motsetninger . I virkeligheten er disse to utsagnene uavhengige av de andre aksiomene: de er ubesluttsomme proposisjoner ( Paul Cohen , 1963). Demonstrasjonene av ikke-motsigelse blomstrer (med forbehold om mengdeteoriens ikke-motsetning).

• Det programmet som David Hilbert fremmet i 1920 lanserte forskning på teorien om demonstrasjonen . Hilbert ønsker å sikre grunnlaget for matematikk, og spesielt håndtering av uendelige objekter, ved tilstrekkelig elementære bevis på konsistens (ikke motsigelse) av matematiske teorier. Legg merke til arbeidet til Herbrand (1930) og Gentzen , som døde for raskt, den første i 1931, den andre i 1945.
• I 1931 viser Gödel med sin første ufullstendighetssetning at for enhver ikke-motstridende aksiomatisk regningsteori, er det sanne regnestykker som ikke er bevisbare i denne teorien. Han trekker sin andre ufullstendighetssetning ut fra dette: koherensen til en aritmetisk teori som Peanos aritmetikk , eller mer generelt av en teori som gjør det mulig å formalisere aritmetikk (som mengdeori ), kan ikke demonstreres i selve teorien hvis den er sammenhengende, et resultat som gjør Hilberts program upraktisk, i det minste i sin opprinnelige form.
• Kirke oppfinner lambdakalkulus og oppgir sin avhandling , Turing oppfinner den abstrakte maskinen som bærer navnet hans, og Kleene spesifiserer definisjonen av rekursive funksjoner . Begrepet beregningsbar funksjon er oppfunnet. Matiyasevich viser at det ikke er noen algoritme som gjør det mulig å si om en diofantisk ligning er løselig, og gir dermed et negativt svar på det tiende problemet til Hilbert . Den teorien om automata og teori om språk vises.
• Donald Knuth publiserer sitt leksikon om kunsten å programmere og skaper en ny disiplin: analyse av algoritmer . Han opprettet også tekstsammensetningsspråket TeX , universelt brukt til vitenskapelig skriving.

Sannsynligheter

• Begrepet måling utviklet av Émile Borel i 1897 fullføres av Henri-Léon Lebesgue og hans teori om integrasjon . Denne forestillingen om analyse brukes av sannsynlighetspersoner for en strengere definisjon av sannsynligheten og blant annet sannsynlighetstettheten.
• Den første moderne versjonen av den sentrale grensesetningen ble gitt av Alexandre Liapunov i 1901 og det første beviset på den moderne satsen gitt av Paul Lévy i 1910.
• I 1902 introduserte Andrei Markov Markov- kjeder for å foreta en generalisering av loven om store tall for en serie avhengige eksperimenter. Disse Markov-kjedene kjenner til mange applikasjoner, blant annet for modellering av distribusjonen eller for indeksering av nettsteder på Google.
• I 1933 kommer sannsynlighetsteorien fra et sett med forskjellige metoder og eksempler og blir en reell teori aksiomatisert av Kolmogorov .
• Kiyoshi Itō setter opp en teori og et lemma som bærer navnet hans på 1940-tallet. Disse tillater oss å koble stokastisk kalkulus og delvis differensiallikninger , og dermed gjøre koblingen mellom analyse og sannsynlighet. Matematikeren Wolfgang Döblin hadde for sin del tegnet opp en lignende teori før han begikk selvmord da bataljonen hans ble beseiret i juni 1940. Hans arbeid ble sendt til vitenskapsakademiet i en forseglet konvolutt som ikke ble åpnet før i 2000.

Numerisk analyse

• Richard Courant introduserte endelige elementer i 1940. Denne metoden brukes til numerisk oppløsning av partielle differensialligninger. Det vil bare virkelig få betydning med databehandling og effektive og tilpassede nettverksprosesser, som ikke dukket opp før på 1980-tallet.
• De Monte-Carlo metoder utviklet under ledelse av John von Neumann og Stanislas Ulam i særlig under andre verdenskrig som en del av forskning på produksjon av atombomben. De blir kalt slik ved henvisning til sjansespillene som praktiseres i Monte-Carlo . Disse sannsynlighetsmetodene brukes til numerisk oppløsning av partielle differensiallikninger , stokastiske differensiallikninger og flere integrerte estimater.

Tilsynelatende paradokser og nysgjerrigheter

• Hvis aksepten av det valgte aksiomet gjør det mulig å demonstrere eksistensen av baser i vektorrom av uendelig dimensjon, spesielt Hilbert-rom, har dette også merkelige konsekvenser, som for eksempel Banach-Tarski-paradokset  : det eksisterer en inndeling av et perfekt kule i fem stykker slik at vi med bitene kan rekonstruere to perfekte kuler med samme diameter som den første.
• Andre nysgjerrigheter, som Smales sfæreinversjonssetning (som bruker aksiomet du velger), demonstreres.

XXI th  århundre

Topologi

Den Poincaré formodning ble demonstrert i 2003 av Grigori Perelman .

Merknader og referanser

Merknader

1. Bare arkeologiske data gir informasjon om organisasjonen.

Referanser

1. Beinet av Ishango , analyse av O. Keller på bibnum .
2. Arnold Toynbee, menneskehetens store eventyr , kap. 6.
3. Babylonisk ekspedisjon se dette dokumentet .
4. Den YBC 7289 tablett beviser at de visste en omtrentlig verdi av kvadratroten av to til nærmeste million.
5. Tabletter av Nippur.
6. For eksempel Plimpton 322-nettbrettet .
7. (in) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "En oversikt over babylonisk matematikk" i MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online )..
8. (in) Otto E. Neugebauer , The Exact Sciences in Antiquity, kap. II (babylonisk matematikk) og kap. V (babylonsk astronomi) .
9. Maurice Mashaal , "Mathematics" , i Philippe de La Cotardière , Histoire des sciences ,2004[ detalj av utgaven ] , s.  19-104, s.  23 og s.  26 .
10. * Sylvia Couchoud , egyptisk matematikk. Forskning på matematisk kunnskap om faraonisk Egypt , Le Léopard d'Or-utgavene, 2004, s.  61-65 . Boken gjengir hieroglyfene , gir oversettelsen og fortsetter til en kritisk undersøkelse av teksten.
11. Karine Chemla og Guo Shuchun , De ni kapitlene: Den matematiske klassikeren i det antikke Kina og dens kommentarer [ detalj av utgaven ]. Fransk oversettelse med detaljert tillegg og en kommentert utgave av den kinesiske teksten til boken og dens kommentarer.
12. Marcia Ascher, Matematikk andre steder, tall, former og spill i tradisjonelle samfunn , Éditions du Seuil, 1998.
13. For DR Dicks ville oppholdet i Egypt være en myte, samt tilskrivning av funn i matematikk til Thales av biografer som levde i århundrer etter hans død. DR Dicks, Thales, Classical Quarterly 9, 1959
14. Mashaal 2004 , s.  51.
15. Van Egmond, Warren, Den kommersielle revolusjonen og begynnelsen av vestlig matematikk i renessansen Firenze, 1300-1500 , red. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, USA, 628 s.
16. Galileo ( overs.  C. Chauviré ), Essayeur de Galileo , Les Belles Lettres ,1980( les online ) , s.  141
17. Fabien Revol , Tenker på økologi i den katolske tradisjonen , Labour and Fides, s. 154-155
18. René Descartes, Diskurs om metode , første del
19. A. Dahan-Dalmedico og J. Peiffer , A History of Mathematics: Veier og labyrinter ,1986[ detalj av utgaver ], s. 199. Også: A. Warusfel, Euler: matematikk og liv , Éditions Vuibert, 2009.
20. Kontrovers mellom Leibniz og Jean Bernoulli om logaritmene til negative eller imaginære tall - 1712.
21. DahanPeiffer , s.  251.
22. Jacques Bouveresse , Jean Itard og Émile Sallé, Historie om matematikk [ detalj av utgaver ], s. 52.
23. Leonard Euler, Variae observations circa series infinitas , theorem 7, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, (1744), 160-188, eller Opera Omnia, Series 1 , vol. 14, s. 217-244. Nedlastbar på [1] .
24. DahanPeiffer , s.  112.
25. DahanPeiffer , s.  114.
26. Jacques Bouveresse , Jean Itard og Émile Sallé, Historie om matematikk [ detalj av utgaver ], s. 74.
27. Waring, Meditationes algebricae , 1770, s. 203-204.
28. Claude Brezinski. Konvergens akselerasjon i løpet av det 20. århundre . J. Comput. Appl. Matematikk, 122: 1–21, 2000.
29. Charles Delaunay, teorien om månens bevegelse, 1860-1867, [ les online ] .
30. H. Faye, tale ved begravelsen, 1872.
31. SARC , 10 november 1845, en st juni 1846 31 august 1846.
32. Appell, Rational Mechanics Course , t. 2.
33. Husson, avhandling, 1906.
34. Bruno Belhoste “Dannelsen av et teknokrati. Den polytekniske skolen og dens studenter fra revolusjonen til det andre imperiet ” s. 222. Belin, History of Education Collection.
35. Ny matematisk korrespondanse, t. 2, 1852.
36. Monge, Descriptive Geometry , Paris, Baudouin, An VII (1799).
37. For en demonstrasjon etter Hurwitz se Valiron , Théorie des functions , Masson, Paris, 1942.
38. Berger, geometri .
39. Hilbert, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexander-Universität zu Erlangen , 1872.
40. Sitert av Cauchy og tatt opp av H. Laurent, Theory of residues, 1865 og av Laisant, Exposition of the method of equipollences [of Bellavitis] , 1878.
41. Wessel, Essay on the Analytical Representation of Management , 1797.
42. Argand, essay om en måte å representere imaginære størrelser i geometriske konstruksjoner , 1806.
43. Mourey, The True Theory of Negative Quantities and Supposedly Imaginary Quantities , 1828.
44. (in) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Mourey CV" i MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews ( les online ).
45. Legendre, Nye metoder for å bestemme kometenes baner, Vedlegg: på metoden med minste kvadrat , Paris, Courcier, 1805.
46. Legendre, Least Squares Methods , lest 24. februar 1811.
47. Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium , 1809.
48. Brev fra De Morgan til Hamilton 23. oktober 1852.
49. i forskjellige kommunikasjoner fra 1878-1879 til London Mathematical Society og Geographical Society.
50. "On the three-body problem and the equations of dynamics", Acta Mathematica , vol. 13, 1890, s. 1-270.
51. En rapport av Poisson fra 1813 forklarer en matematisk nysgjerrighet av virkelige funksjoner ved å omgå den virkelige singulariteten i det komplekse planet. Vi er bare ett skritt unna restsatsen.
52. Estanave, nomenklatur for matematiske vitenskapsoppgaver i Frankrike i løpet av XIX -  tallet , Paris, Gauthier-Villars, 1903.
53. (in) THE Dickson Linear Groups With a exhibition of the Galois Field Theory , 1901.
54. Hadamard, Lessons on wave propagation and hydrodynamic equations , Paris, 1903.
55. Dulac, "On limit cycles", Bulletin of the Mathematical Society of France , t. 51, s. 45, 1923.
56. Jean Écalle , Introduksjon til analyserbare funksjoner og konstruktivt bevis på Dulacs antagelser , Hermann, 1992.
57. WR Alford, A. Granville og C. Pomerance, “Det er uendelig mange Carmichael-tall”, Annals of Mathematics , vol. 140, 1994, s. 703-722.
58. Pierre Deligne, “La conjecture de Weil”, Publ. Matte. IHES , nr. 43, 1974, s. 273-307.
59. Borel, Lessons on the theory of growth , Paris, Gauthier-Villars, 1910.
60. (i) Kurt Gödel , "  The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised Continuum Hypothesis,  " , PNAS , vol.  24, n o  121938, s.  556–557 ( DOI  10.1073 / pnas.24.12.556 ).
61. Matiiassevitch, Det tiende problemet med Hilbert, hans undecidability , Paris, Masson, 1995.
62. N. Drakos (overs. D. Meisel), "  Historien om beregningen av sannsynligheter - moderne teori  " .
63. Bernard Ycart, “  Between De Moivre and Laplace  ” .
64. "  Markov chain  " , på DicoMaths .

Se også

Bibliografi

• Jean C. Baudet , New Summary of the History of Mathematics , Vuibert , Paris, 2002.
• Jean C. Baudet, Matematikkens historie , Vuibert, Paris, 2014.
• Jean-Paul Colette, History of Mathematics , Editions du Renouveau Pedagogique , Montreal, 1973.
• Denis Guedj , Le Théorème du Perroquet , Weidenfeld & Nicolson , 1998.
• Georges Ifrah , Universell figurhistorie
• Roshdi Rashed , OF Al-Khwarizmi til Descartes . Studies on the History of Classical Mathematics , Hermann , 2011

Relaterte artikler

• Vitenskapshistorie
• Kronologi av algebra
• Analysehistorie
• Historisk funksjonell analyse
• MacTutor matematikkhistorikkarkiv

Eksterne linker

• Lenker til matematikkens historie (2)
• Matematikkens historie i Béjaia
• I brevet fra Academy of Sciences "History and science of science" (pdf 2.12  Mo ) - nr. 14 / vinter 2004 : Matematikk i det antikke Kina
• Cnrs bilder av matematikk: Matematikkens historie
• Nettstedsliste etymologi av matematiske begreper
• (no) The History of Mathematics David R. Wilkins, Trinity College, Dublin
• Jean-Marie De Koninck og Bernard R. Hodgson, "  En samling matematikere fra antikken til i dag  " ,2007