π (Pi), noen ganger kalt arkimedisk konstant , er et tall som er representert av den greske bokstaven med samme navn i små bokstaver (π). Det er den konstante forholdet av omkretsen av en sirkel til sin diameter i en euklidsk plan . Det kan også defineres som forholdet mellom arealet til en disk og kvadratet av radiusen .
Den omtrentlige standardverdien til mindre enn 0,5 × 10 –15 er 3,141592653589793 i desimal skrift .
Mange formler innen fysikk , ingeniørfag og selvfølgelig matematikk involverer π , som er en av de viktigste konstantene i matematikk.
Tallet π er irrasjonelt , det vil si at det ikke kan uttrykkes som et forhold på to heltall ; dette antyder at dens desimale skriving verken er endelig eller periodisk. Det er til og med et transcendent tall , som betyr at det ikke eksisterer et ikke-null polynom med heltallskoeffisienter der π er en rot .
Bestemmelsen av en tilstrekkelig presis tilnærmet verdi av π , og forståelsen av dens natur er spørsmål som har krysset matematikkens historie ; den fascinasjonen som dette nummeret utøver, har til og med gjort det til en del av populærkulturen.
Bruken av den greske bokstaven π, første bokstaven i περίμετρος ( " perimeter " i gamle greske ), ble klart bare XVIII th århundre. Tidligere ble verdien av forskjellige omskrivninger referert til som "sirkelens konstant" eller tilsvarende på forskjellige språk.
I ordbøker og generelle verk, π er definert som forholdet mellom konstant på vanlig plan som er den euklidske planet , mellom omkretsen av en sirkel og dens diameter . Dette forholdet avhenger ikke av den valgte sirkelen, spesielt ikke størrelsen. Faktisk er alle sirkler like, og å bevege seg fra en sirkel til en annen er det nok å vite forholdet mellom likheten. Følgelig, for en hvilken som helst positiv reell k , hvis en sirkel har en radius r (eller en diameter d = 2 r ) k ganger større enn en annen, vil dens omkrets P også være k ganger større, noe som viser stabiliteten til rapporten.
.Dessuten vil denne samme likheten multiplisere arealet A med kvadratet av k , som nå viser at forholdet A / r 2 er konstant. Vi kan vise, for eksempel ved metoden med individer , at denne konstanten også er verdt π .
.Tegningen motsatt illustrerer en annen metode, hovedsakelig på grunn av Archimedes ( se nedenfor ): omkretsen av polygonet er omtrent 2π r, mens vi ved å omfordele de dannede trekanter legger merke til at arealet er omtrent lik π r 2 . For å formalisere "omtrent", ville det være nødvendig å få antall sider av polygonen til å være uendelig, noe som allerede illustrerer den "analytiske" naturen til π .
Den geometriske definisjonen ovenfor, historisk sett den første og veldig intuitive, er ikke den mest direkte for å definere π matematisk i all strenghet. Mer spesialiserte verk definerer for eksempel π ved reell analyse , noen ganger ved hjelp av trigonometriske funksjoner , men introdusert uten referanse til geometri:
De to foregående metodene består faktisk i å beregne sirkelens omkrets, som vi har definert av funksjonen t ↦ exp (i t ), eller funksjonen t ↦ exp (2i π t ) .
Tallet π er irrasjonelt , noe som betyr at vi ikke kan skrive π = p / q der p og q ville være hele tall . Al-Khwarizmi , den IX th århundre, er overbevist om at π er irrasjonell. Maimonides nevnte også denne ideen i løpet av XII - tallet.
Det var ikke før i XVIII th århundre Johann Heinrich Lambert beviser dette resultatet. Han avslører i 1761 en generalisert kontinuerlig brøkutvidelse av tangensfunksjonen . Han utleder at en utvidelse av tan ( m / n ) , med m og n ikke-null heltall, er skrevet: .
Imidlertid, under visse forutsetninger - verifisert her - representerer en generalisert fortsatt brøkutvidelse en irrasjonell, så når x er en ikke-null-rasjonell, er tan ( x ) irrasjonell. Imidlertid tan (π) er lik for 0 ; det er en rasjonell. Ved kontraposisjon beviser dette at π ikke er rasjonell.
I løpet av XX th århundre, ble andre demonstrasjoner funnet, de krever ikke dypere kunnskap enn kalkulus . En av dem, av Ivan Niven , er veldig kjent. Lignende bevis, en forenklet versjon av Charles Hermite , hadde blitt funnet en tid før av Mary Cartwright .
Ikke bare er tallet π irrasjonelt (se forrige avsnitt), men det er transcendent , det vil si ikke algebraisk : det eksisterer ikke et polynom med rasjonelle koeffisienter der π er en rot .
Dette er den XIX th -tallet at dette resultatet er vist. I 1873 beviste Hermite at basen til den naturlige logaritmen , tallet e , er transcendent. I 1882, Ferdinand von Lindemann generalisert sin resonnement inn i en teorem (den Hermite-Lindemann-teoremet ) som sier at dersom x er algebraisk, og forskjellig fra null, så e x er transcendente. Imidlertid er e iπ algebraisk (siden den er lik –1). I kontraposisjon er iπ transcendent, så siden i er algebraisk, er π transcendent.
En historisk viktig konsekvens av transcendensen av π er at den ikke er konstruerbar . Faktisk sier Wantzels teorem spesielt at ethvert konstruerbart tall er algebraisk. På grunn av det faktum at koordinatene til alle punktene som kan konstrueres med en linjal og et kompass er konstruerbare tall, er kvadrering av sirkelen umulig; med andre ord, det er umulig å konstruere, bare med linjalen og kompasset, et kvadrat hvis areal vil være lik arealet til en gitt plate.
Mer anekdotisk tillot det faktum at π er transcendent, at Don Coppersmith viste at når vi partisjonerer en disk med n ≥ 4 samtidige linjer som alle dannes mellom dem vinkler avπikke radianer , er de to områdesummene som er oppnådd ved å betrakte en del av to forskjellige, hvis og bare hvis n er merkelig.
De første 16 sifrene i desimaltegnet til π er 3.141 592 653 589 793 (se eksterne lenker for flere desimaler).
Mens vi i 2013 allerede visste mer enn tolv billioner desimaler av π , trenger ikke konkrete bruksområder som å estimere omkretsen til en sirkel generelt mer enn ti sifre. I 1881 bemerket Simon Newcomb at ti desimaler er tilstrekkelig til å beregne jordens omkrets til en brøkdel av en tomme; tretti desimaler, for å oppnå det synlige universet, slik det ble pågrepet da, med en umerkelig presisjon under det kraftigste mikroskopet av tiden. På 1990-tallet ble desimalrepresentasjonen av π avkortet til 39 desimaler ansett som tilstrekkelig til å beregne omkretsen til en sirkel med en diameter av samme størrelsesorden som størrelsen på det observerbare universet med en grad av presisjon som er sammenlignbar med den. atom av hydrogen , med tanke på estimert og deretter i kraft. I 2014 vendte datalog Donald Byrd tilbake til Newcombs påstand om å oppdatere den i lys av fremskritt innen vitenskap siden 1881: Han konkluderte med at for et observerbart univers på 100 Ga.l. (dvs. 9,46 × 10 26 m ) og en Planck-lengdepresisjon , tar den bare omtrent 60 desimaler.
Siden π er et irrasjonelt tall , er desimalrepresentasjonen ikke periodisk fra en viss rang . Den sekvensen desimaler av π har alltid fascinert profesjonelle og amatører matematikere, og mye arbeid har blitt satt i å skaffe flere og flere desimaler og leter etter bestemte egenskaper, som for eksempel forekomsten av primtall. I mangfoldige sammenhenger av sine desimaler ( se artikkelseksjonen " Primtall som skyldes konstant avkorting ").
Til tross for det omfattende analysearbeidet og utførte beregninger, er det ikke funnet noen enkel modell som beskriver denne tallsekvensen. Første desimaler er tilgjengelig på mange nettsider, og det er programvare som kan beregne milliarder av dem som kan installeres på en personlig datamaskin .
Videre åpner desimalexpansjonen av π feltet for andre spørsmål, spesielt det å vite om π er et normalt tall , det vil si at dens endelige rekkefølger av sifre i desimalskriving er jevnt fordelt. En fortiori, π vil da være et univers tall , noe som betyr at vi finner i sin desimal ekspansjon noen endelig sekvens av sifre. I 2006 var det ingen svar på disse spørsmålene.
Følgende heltalsfraksjoner brukes til å lagre eller tilnærme π i beregninger (antall eksakte signifikante sifre i parentes):
Tidlige Hewlett-Packard- kalkulatorer (f.eks. HP-25) hadde ikke nøkkel for π , og brukerhåndboken anbefales355113, veldig lett å huske.
Se nedenfor for andre brøktilnærminger ( historie , numerisk tilnærming, fortsatte brøker og memorisering av π ).
Man kan finne en omtrentlig verdi av π så empirisk , ved å tegne en sirkel, og deretter måle dens diameter og omkrets, og deretter dele omkretsen med diameteren. En annen geometrisk måte, tilbakeføres til Arkimedes , består i å beregne omkretsen P n av en regulær mangekant med n sider, og i å måle diameteren d av sin omskrevne sirkel , eller at den er innskrevne sirkelen . Jo større antall sider på polygonet, jo bedre oppnås presisjonen for verdien av π .
Archimedes brukte denne tilnærmingen ved å sammenligne resultatene oppnådd med formelen ved å bruke to vanlige polygoner med samme antall sider, som sirkelen er for den ene begrensede og den andre påskrevet. Han var i stand til, med en 96-sidig polygon, å bestemme at 3 +1071 <π <3 + 17 .
Vi kan også få tilnærmet verdier av π ved å implementere mer moderne metoder. De fleste formlene som brukes til å beregne π er basert på trigonometri og integral kalkulus . Noen er imidlertid spesielt enkle, for eksempel " Leibniz-formelen " ( se nedenfor ):
Denne serien konvergerer så sakte at for å beregne π med en presisjon på seks desimaler tar det nesten to millioner iterasjoner. Det er imidlertid mulig å definere en lignende sekvens som konvergerer til π mye raskere, ved å posere: og definere:
Beregningen av π 10.10 krever da en tid som tilsvarer den som kreves for å beregne de første 150 begrepene i den innledende serien, men presisjonen er mye bedre fordi π 10.10 = 3.141592653 ... nærmer seg π med ni eksakte desimaler. Mer forseggjorte beregningsmetoder vil bli funnet senere, noe som gir mye raskere konvergenser.
Den gamle historien til π , som kan spores takket være tilgjengelige skrifter, følger omtrent fremdriften i matematikken som helhet. Noen forfattere deler historien til π i tre deler: den eldgamle perioden der π ble studert geometrisk, den klassiske tiden, rundt det XVII - tallet, hvor beregningen av verktøy har muliggjort fremskritt i kunnskapen om tallet π og perioden av digitale datamaskiner.
Det ser ut til at matematikere, veldig tidlig, var overbevist om at det var et konstant forhold mellom sirkelens omkrets og diameteren, så vel som mellom skivearealet og radiusens firkant. Av tabletter babylonsk fra 2000 år f.Kr. J. - C. og oppdaget i 1936 nåværende beregninger av areal som fører til en verdi på π på 3 + 1/8.
Rhind-papyrusen ble oppdaget i 1855 og inneholder tekst som er kopiert til XVI - tallet f.Kr. av skriftlæren Egyptiske Ahmose , en eldste manuell problem ennå. Det brukes flere ganger en metode for å evaluere arealet til en plate ved å ta kvadratet hvis side er lik diameteren på platen minus en niende. Denne metoden fører til en evaluering av π på 256/81.
En mulig begrunnelse for dette er basert på diagrammet motsatt. Hvis skiven har en diameter på 9, er skivearealet litt større enn arealet til den (uregelmessige) åttekanten som oppnås ved å trimme hjørnene på firkanten med side 9. Denne åttekantet har et areal på 63; arealet av platen blir deretter evaluert til 64, det vil si arealet av et kvadrat på side 8. Forholdet mellom arealet på platen og kvadratet i radius blir deretter evaluert av 64 / (9/2) 2 , c 'det vil si 256/81. Men hypotesen om at denne prosessen førte til en tilnærming av Rhind-papyrus, er ikke enstemmig blant historikere.
Rundt 700 f.Kr. AD , den indiske teksten Shatapatha Brahmana gir en tilnærming til π : 25/8 (= 3.125) og Baudhāyana Sulbasūtra gir to andre: 900/289 (≈ 3.11) og 1156/361 (≈ 3, 20). Astronomiske beregninger førte deretter til en annen vedisk tilnærming : 339/108 (≈ 3,139). Tidlig på VI - tallet e.Kr. AD , Aryabhata gir en mer presis tilnærming:62 83220.000 ≈ 3.1416. Som | π - 3.1416 | <0,0000075, dette er et bemerkelsesverdig resultat, nøyaktig innen 10 −5 .
Det er i Archimedes 'avhandling (287 til 212 f.Kr. ) med tittelen On the measure of the circle at vi kan lese en demonstrasjon som knytter området til skiven og området til trekanten som har en base i lengden omkretsen av sirkel og for høyden radiusen, og demonstrerer dermed at den samme konstanten vises i forholdet mellom skiveområdet og radiusens firkant og mellom omkrets og diameter.
Denne demonstrasjonen er basert på metoden for utmattelse og resonnement fra det absurde . Ved å starte fra et kvadrat innskrevet i sirkelen og fra et kvadrat som er begrenset til sirkelen og ved å multiplisere antall sider på ubestemt tid med 2, viser han at skivearealet ikke kan være mindre enn eller større enn det tilsvarende trekant .
Sirkel og firkanter påskrevet og omskrevet.
Sirkel og oktagoner påskrevet og omskrevet.
Skjæring av sirkelen i 8 porsjoner.
Hans demonstrasjon utnytter ideen om å kutte i kvartaler: Sirkelen er kuttet i flere kvartaler som, plassert ende til ende, danner krumlinjeformede trekanter av samme høyde. Ved å multiplisere antall kvartaler, er bunnen av de krumme linjene nesten rett, og høyden er nær radiusen; summen av basene tilsvarer sirkelens omkrets og området er da 1/2 av basen multiplisert med høyden, det vil si 1/2 av omkretsen multiplisert med radiusen.
I samme avhandling etablerer Archimedes en innramming av sirkelens omkrets ved hjelp av omkretsene til de vanlige polygonene som er innskrevet og begrenset til sirkelen og har 96 sider. For å beregne omkretsene til disse polygonene, begynner han fra innskrevne og omskrevne sekskanter og fremhever formlene som gir omkretsen til en polygon hvis antall sider er doblet. Beregningen utgjør å vise at 3 + 10/71 < π <3 + 1/7. Gjennomsnittet av disse to verdiene er omtrent 3.14185. Archimedes stopper på 96 sider fordi beregningene han må utføre, med omtrentlige verdier, allerede er lange for tiden. Men han setter dermed opp en metode som vil bli tatt opp av hans etterfølgere og som i teorien tillater så stor presisjon som ønsket. Imidlertid kreves det en stadig større presisjon i de første beregningene hver gang antall sider på polygonet dobles. Ptolemaios , en gresk forsker som levde tre århundrer etter Archimedes, gir en verdi av som han var i stand til å oppnå takket være Apollonius av Perga , ellers ved å bruke sin trigonometriske tabell og multiplisere med 360 lengden på den underliggende strengen med en vinkel på en grad.
Archimedes 'formlerArchimedes bruker en egenskap som forbinder foten til en halveringslinje med tilstøtende sider: i figuren motsatt er SS 'halveringspunktet til toppunktvinkelen S
For den omskrevne polygonen. I figuren motsatt, og er halvsidene av to påfølgende omskrevne polygoner. Archimedes viser, ved hjelp av den forrige egenskapen, at og gjenta operasjonen 4 ganger fra sekskanten.
For den innskrevne polygonen. I figuren motsatt, og er sidene av to påfølgende innskrevne polygoner. Archimedes viser, ved hjelp av lignende trekanter og egenskapen til bisector, atVi kan således vise at omkretsene og de innskrevne og omskrevne polygonene oppnådd etter n trinn (dvs. når det gjelder Archimedes som starter med en sekskant, polygoner med 6 × 2 n sider) tilfredsstiller følgende gjentakelsesrelasjoner: . Trigonometriske identiteter gjør det også mulig å raskt oppnå disse relasjonene ( se nedenfor ).
Archimedes 'bevis kommer dermed ned til beregning og begrunnelse på hvert trinn av rasjonelle verdier som standard og med overskridelse av sirkelens omkrets for å konkludere, etter n = 4 trinn (96 sider), i ønsket innramming.Hvis de praktiske beregningene kan gjøres med god presisjon ved å bruke verdien 3.14 som en tilnærming til π , presser matematikernes nysgjerrighet dem til å bestemme dette tallet med mer presisjon. På III th århundre , Kina, Liu Hui , kommentator av ni kapitler , gir som forholdet mellom omkretsen og diameteren av den praktiske verdien av tre, men utvikler seg nær disse beregninger Archimedes men mer effektiv og gir en tilnærming av π til 3,1416. Den kinesiske matematikeren Zu Chongzhis gir en mer nøyaktig rasjonell tilnærming av π : π ≈ 355/113 (hvis desimal utvidelser er identiske til 6 th desimal π ≈ 3141 592 6 og 355/113 ≈ 3141 592 9 ) og viser at 3.141 592 6 < π <3.141 592 7 , ved hjelp av Liu Huis algoritme (en) brukt på en 12,288-sidig polygon. Denne verdien er fortsatt den beste tilnærmingen av π de neste 900 årene.
Inntil ca 1400 oversteg ikke presisjonen til tilnærmingene av π 10 desimaler. Fremgang i integrert kalkulator og serie vil forbedre denne presisjonen. Serien gjør det mulig å nærme seg π med desto mer presisjon ettersom vilkårene i serien brukes til beregningen. Rundt 1400 er den indiske matematikeren Madhava av Sangamagrama det som i moderne språk er utviklingen av lysbue-tangensfunksjonen (gjenoppdaget av James Gregory og Gottfried Wilhelm Leibniz i XVII - tallet): Spesialtilfellet x = 1 er Leibniz-serien nevnt ovenfor - også kjent som Madhava-Leibniz-serien - hvis konvergens er for langsom.
Spesialtilfellet x = 1 / √ 3 : konvergerer mye raskere , noe som tillot Madhava å gi en omtrentlig verdi på π på 3.141 592 653 59, som har 11 riktige desimaler. Men dette arbeidet har vært ukjent utenfor Kerala til XIX th århundre , etter erobringen av India av britene . Madhavas rekord ble brutt i 1424 av den persiske matematikeren Al-Kachi ( avhandling om omkrets ), som lyktes med å gi 16 desimaler, ved å bruke Archimedes-metoden på en 3 × 2 polygon med 28 sider.
Det første viktige bidraget fra Europa siden Archimedes ble gitt av François Viète , som gir tolv desimaler, og resten er innrammet i sin Canon mathatique i 1579 . Den følges av Adrien Romain , som gir 15 desimaler i 1591 , og tyske Ludolph van Ceulen (1540-1610), som brukte den samme geometriske metoden for å gi et estimat på π riktig til 35 desimaler. Han var så stolt av beregningen, som tok så mye av livet hans, at han fikk desimalene gravert på gravsteinen.
Han blir umiddelbart fulgt av Willebrord Snell , hans elev, som finner raskere metoder for å oppnå samme tilnærming. I samme periode begynte metodene for integral calculus og for å bestemme uendelige serier og produkter for geometriske størrelser i Europa . Den første formelen av denne typen er Viète-formelen :
avslørt av Viète i 1579 i sin matematiske kanon og igjen i 1593, i hans forskjellige problemer . Et annet kjent resultat er Wallis-produktet :
som vi skylder John Wallis , som demonstrerte det i 1655. Isaac Newton brukte selv serieutvidelsen av π / 6 = buesin (1/2) for å beregne 15 desimaler av π ; mye senere sa han: ”Jeg skammer meg over å fortelle deg hvor mange desimaler jeg fant takket være disse beregningene, uten å ha noen annen okkupasjon på den tiden. "
I 1706 var John Machin den første som fant 100 desimaler av π , ved hjelp av formelen: og den ovennevnte utviklingen i hele arctan-serien .
Formler av denne typen, nå kjent som Machins formler , ble brukt til å bryte flere poster med kjente desimaler av π , og forblir i dag de mest kjente formlene for beregning av π ved bruk av datamaskiner. En bemerkelsesverdig rekord holdes av kalkulatorunderbarnet Johann Dase, som i 1844, ved hjelp av en formel av Machin, beregnet 200 desimaler av π , på anmodning fra Gauss . Den beste verdien oppnås ved slutten av XIX th århundre skyldes William Shanks , som tilbrakte femten år å beregne 607 desimaler og desimaler av 707 π , men på grunn av en feil, bare den første 527 var riktige. I dag er det enkelt å unngå slike feil ved å la datamaskinen gjøre beregningene, og ved å bruke to forskjellige formler for å eliminere risikoen ved beregning, programmering eller mikroprosessorfeil.
De teoretiske fremskritt den XVIII th århundre førte matematikere til å stille spørsmål naturen av π , inkludert fravær av periodiske mønstre i deres desimal, en rimelig antagelse gitt numeriske beregninger, men som han trengte en radikal tilnærming annerledes å bevise det strengt. Denne kraftturen ble utført av Johann Heinrich Lambert i 1761, som dermed var den første til å bevise irrasjonaliteten til π , og senere viste Adrien-Marie Legendre også at π 2 også var irrasjonell. Denne konstante ( π 2 ) spilte en betydelig rolle i matematikk, siden det dukket opp i løsningen av Basel problem , som var å finne den eksakte verdien av noe som er π 2 /6 (som påvist av Leonhard Euler som etablerte denne anledningen en dyp sammenhengen mellom π og primtall ). I prosessen antok Legendre og Euler begge at π var et transcendent tall , som til slutt ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann .
Det var i løpet av XVIII th århundre som etablerer bruken av greske bokstaven " π ", den første bokstaven i ordet gresk περιφέρεια ( periferi , det vil si omkrets ) til forholdet mellom omkretsen av sirkelen på sin diameter.
Fra det XVII - tallet bruker noen matematikere betegnelsen π / δ der π betegner omkretsen og δ- diameteren. Den første som bare brukte π er William Jones i sin bok Synopsis palmariorum mathesios utgitt i 1706, om den smarte beregningen av dette nummeret av vennen hans Machins serie . Matematikere fortsetter imidlertid å bruke andre notasjoner. Blant disse begynte Euler å bruke Jones 'notasjon i sin korrespondanse fra 1736. Han adopterte den i sin bok Introductio in analysin infinitorum utgitt i 1748, som absolutt hadde stor innflytelse. Scoringen kom til å dominere sent XVIII th århundre.
Mens noen titalls desimaler av π i stor grad er tilstrekkelig for de praktiske beregningene utført av en fysiker, opphørte ikke erobringen av desimalene av tallet π med ankomsten av datamaskiner, noe som gjorde det mulig å beregne et veldig stort antall disse desimalene.
I 1949, ved hjelp av ENIAC , John von Neumann fått 2037 desimaler av π , etter en beregning som tok 70 timer. Tusenvis av flere desimaler ble funnet i løpet av de neste tiårene, med det millionesifrede trinnet i 1973. Fremskrittene skyldtes ikke bare stadig raskere datamaskiner, men også at nye algoritmer ble brukt. En av de viktigste fremskrittene var oppdagelsen av Fast Fourier Transform på 1960-tallet , som gjorde det mulig for datamaskiner å manipulere veldig store tall raskt.
På begynnelsen av XX th århundre, den indiske matematikeren Srinivasa Ramanujan funnet mange nye formler som involverer π ; noen av dem er bemerkelsesverdige for sin eleganse og matematiske dybde. En av disse formlene er følgende serie, som gir 8 nye desimaler for hver nye periode:
Formelen nedenfor, nært knyttet til den som er angitt ovenfor, ble oppdaget av David og Gregory Chudnovsky i 1987:
Denne formelen gir 14 nye desimaler av π for hvert begrep. På slutten av 1980 - tallet brukte Chudnovsky-brødrene den til å slå flere rekorder for beregnede π desimaler . Det er fortsatt den mest brukte formelen for å beregne π på personlige datamaskiner.
Mens serien gjør det mulig å oppnå tilnærmet verdier av π med en ekstra presisjonshastighet for hvert begrep som er konstant, er det iterative algoritmer som multipliserer antall riktige desimaler i hvert trinn, med ulempen at hvert trinn krever vanligvis en "kostbar" beregning. Et gjennombrudd skjedde i 1975 da Richard Brent og Eugene Salamin (i) uavhengig oppdaget formelen Brent-Salamin , som dobler antall riktige sifre ved hvert trinn. Det er basert på et gammelt resultat forventet og deretter demonstrert av Gauss . I 1818 demonstrerte han koblingen mellom det aritmetisk-geometriske gjennomsnittet M (1, √ 2 ) på 1 og √ 2 - lengden på Bernoullis lemniskat - og π . Lengden på lemniskatet er L = 2 ϖr hvor r representerer avstanden OA mellom sentrum og toppunktet til lemniskatet, og hvor ϖ er lemniskatets konstant. Hvis vi betegner med G , den Gaussiske konstanten , dvs. den inverse av M (1, √ 2 ), da: Salamin og Brent brukte dette resultatet til å bygge algoritmen som bærer navnet deres, og takket være at erobringen av desimalene til π vil gå videre sammen med desimalene til √ 2 .
Algoritmen består i å stille: , deretter for å definere følgende gjentakelsesrelasjoner: og til slutt å beregne disse verdiene til en n og b n er nær nok. Vi har da en omtrentlig verdi av π gitt av: .
Ved hjelp av denne algoritmen er det bare 25 iterasjoner som trengs for å beregne 45 millioner desimaler. En lignende algoritme som firedobler presisjonen ved hvert trinn ble funnet av Jonathan og Peter Borwein. Det er takket være disse metodene at Yasumasa Kanada og hans medarbeidere fra 1981 til 1999 slo rekorden for antall desimaler på π på elleve ganger (mer enn 2 × 10 11 desimaler i 1999).
I 1997 forbedret BBP-formelen , oppdaget av Simon Plouffe , kunnskapen om π ytterligere . Formelen, er bemerkelsesverdig fordi det gjør det mulig å beregne hvilket som helst siffer i skrivingen av π i heksadesimal eller binær base , uten å beregne de foregående. Mellom 1998 og 2000, den PiHex distribuert databehandling prosjekt anvendt en variant av BBP formel grunn Fabrice Bellard å beregne 1.000.000.000.000.000 th binært siffer av π , som viste seg å være 0.
Hvis en formel av skjemaet: ble funnet, med b- og c- positive heltall og p- og q- gradspolynomene festet til heltallskoeffisienter (som for BBP-formelen ovenfor), ville dette være en av de mest effektive måtene å beregne et siffer i skrivingen av π i basen b c (og derfor i base b ) uten å måtte beregne de foregående, på en tid bare avhengig av indeksen til den beregnede termen og graden av polynomene.
I 2006 fant Simon Plouffe flere formler som involverte π . Ved å sette q = e π ( Gelfond-konstant ) har vi: i tillegg til : hvor k er et oddetall , og a , b , c er rasjonelle tall .
Siden 2010 har programopptakene med y-cruncher lykkes (se "Seksjon XXI th century" i avsnitt "approximation of π " ). På slutten av 2016 overgikk rekorden 2 × 10 13 desimaler.
14. mars 2019, Pi Day, ga Google ut den nye desimalposten som ble beregnet av en av sine ansatte ved bruk av kraftige maskiner. Den nye verdensrekorden ligger på 31.415 milliarder desimaler. Det tok 111 dager med uavbrutt beregning for Emma Haruka Iwao å komme inn i Guinness rekordbok.
π vises i mange geometriformler som involverer sirkler og kuler :
Geometrisk form | Formel |
---|---|
Omkrets av en sirkel med radius r og diameter d | |
Område på en plate med radius r | |
Område av en ellips med halvakser a og b | |
Volum av en ball med radius r | |
Område av en kule med radius r | |
Volum av en sylinder med høyde h og radius r | |
Sideareal av en sylinder med høyde h og radius r | |
Volum av en kjegle med høyde h og radius r | |
Sideareal av en kjegle med høyde h og radius r |
π finnes også i beregningen av overflater og volumer av hypersfærer (med mer enn tre dimensjoner).
Et komplekst tall z kan uttrykkes i polare koordinater som følger: .
Den hyppige forekomsten av π i kompleks analyse stammer fra oppførselen til den komplekse eksponensielle funksjonen, beskrevet av Eulers formel : der i er den imaginære enheten som tilfredsstiller forholdet i 2 = −1 og e ≈ 2.71828 er Nepers konstant . Denne formelen antyder at de imaginære kreftene til e beskriver rotasjoner på enhetssirkelen til det komplekse planet ; disse rotasjonene har en periode på 360 ° = 2 π rad . Spesielt gir en rotasjon på 180 ° = π rad identiteten til Euler .
Tallrike sekvenser eller serier konvergerer mot π eller et rasjonelt multiplum av π og er til og med i utgangspunktet for beregninger av omtrentlige verdier av dette tallet.
Archimedes-metoden
De to sekvensene definert av s n = n sin (π / n ) og t n = n tan (π / n ) representerer, for n ≥ 3 , halve omkretsene av vanlige polygoner med n sider, innskrevet i den trigonometriske sirkelen for s n , tegnet for t n . De utnyttes av ekstraherte sekvenser hvis indeks (antall sider på polygonet) dobler ved hver iterasjon, for å oppnå π ved å passere til grensen for uttrykk ved hjelp av elementære aritmetiske operasjoner og kvadratroten . Dermed kan vi utlede fra Archimedes 'metode ( se ovenfor ) en definisjon ved induksjon av sekvensene ekstrahert fra begrepene s 2 k +1 og t 2 k +1 (fra s 4 = 2 √ 2 og t 4 = 4) eller s 3 x 2 k og t 3 x 2 k (fra s 3 = 3 √ 3 /2 og t 3 = 3 √ 3 ): .
Det følger av denne definisjonen at de to tilsvarende ekstraherte sekvensene av sekvensen c n : = s n / t n = cos (π / n ) verifiserer: og .
(Alternativt kan vi bevise, for alle n ≥ 2, de to første relasjonene ved hjelp av trigonometriske identiteter ( jf. " Halvbueformler ") og ( jf. " Dobbelvinkelformler ") og de to siste, direkte ved å bruke trigonometriske identiteter 2sin ( x / 2) = √ 2 - 2cos ( x ) og 2cos ( x / 2) = √ 2 + 2cos ( x ) for x ∈ [0, π] .)
Vi kan derfor uttrykke s 2 k +1 og s 3 × 2 k (for k ≥ 1), deretter π (ved å passere til grensen) i form av formler der kvadratrøtter overlapper hverandre : ( k er antall kvadratrøtter) eller:
Et annet uttrykk for s 2 k +1 , som bare kan trekkes fra den første av disse to likhetene (multiplisert med √ 2 + √ ... ), fører til følgende uendelige produkt (formel av François Viète , 1593):
Uendelige summer og produkterFortsettelse inspirert av formelen til Brent-Salamin (1975):
La være tre sekvenser ( A n ) , ( B n ) og ( C n ) definert samtidig av: vi har : .
Antall riktige desimaler (i base 10 ) dobler nesten for hver iterasjon.
Riemann zeta-funksjonMer generelt beviste Euler at ζ (2 n ) er et rasjonelt multiplum av π 2 n for et hvilket som helst positivt heltall n .
LogistikksuiteLa ( x n ) være rekkefølgen av iterasjoner av logistikkfunksjonen med parameter μ = 4 brukt på et reelt x 0 valgt i intervallet [0, 1] (det vil si at vi definerer, for alle n ≥ 0, ) . Sekvensen ( x n ) forlater intervallet [0, 1] og divergerer for nesten alle startverdiene.
Vi har for nesten alle de opprinnelige verdiene x 0 .
IntegrertAntallet π ser også ut til å være to ganger grensen for den integrale sinus ved uendelig:
I sannsynlighet og statistikk , er det mange lover som bruker konstant π , inkludert:
Følgende to formler, hentet fra analysen, finner praktiske anvendelser med sannsynlighet. Den ene lar vise konvergensen av binomialoven mot Gauss-loven, og den andre lar beregne tettheten til en Gauss-lov.
På den annen side er det forskjellige sannsynlighetseksperimenter der π griper inn i den teoretiske sannsynligheten. De kan derfor brukes ved å utføre et stort antall tester for å bestemme en tilnærming til π .
Den nål cynomolgus er en opplevelse av sannsynlighet foreslått av George Louis Leclerc, telle fra cynomolgus og for beregning av sannsynligheten for at en lengde av nålen har lansert et lukket rom laget av lameller bredde L , strekker to lameller. Denne sannsynligheten p er: selv om nålen er bøyd.
Denne formelen kan brukes til å bestemme en omtrentlig verdi på π : hvor n er antall nåler som er kastet, og x antall nåler som er på to lameller samtidig.
Denne metoden presenterer raskt sine grenser; selv om resultatet er matematisk korrekt, kan det ikke brukes til å bestemme mer enn noen få desimaler av π eksperimentelt. For å oppnå bare en omtrentlig verdi på 3,14 er det nødvendig å utføre millioner av kast, og antall kaster som kreves øker eksponentielt med ønsket antall desimaler. I tillegg vil en veldig liten feil i målingen av lengdene L og a ha en betydelig innvirkning på verdien funnet av π . For eksempel vil en forskjell i målingen av et enkelt atom på en nål med en lengde på 10 centimeter bli funnet fra den niende desimalplassen til π . I praksis vil tilfeller der nålen ser ut til å berøre nøyaktig grensen mellom to lameller, øke upresisjonen av eksperimentet, slik at feil vil vises i god tid før niende desimal.
Den Monte Carlo-metoden er en annen probabilistiske eksperiment som består i å ta tilfeldig et punkt i et kvadrat av side 1 , sannsynligheten for at dette punkt ligger i den fjerdedel skive av radius 1 er π / 4 ; Dette kan lett forstås gitt at arealet til skivekvartalet er π / 4 mens kvadratet er 1 .
Siden π er transcendent, er det ikke noe uttrykk for dette tallet som bare krever numre og algebraiske funksjoner. Formler for beregning av π ved bruk av elementær aritmetikk innebærer vanligvis uendelige summer. Disse formlene gjør det mulig å nærme seg π med en feil så liten som vi vil, vel vitende om at jo flere termer vi legger til i beregningen, desto nærmere blir resultatet π .
Derfor må numeriske beregninger bruke tilnærminger av π .
Den første numeriske tilnærmingen av π var absolutt 3. I tilfeller der en situasjon krever liten presisjon, kan denne verdien tjene som en passende tilnærming. Hvis 3 er et standardestimat, er det fordi det er forholdet mellom omkretsen til en vanlig sekskant innskrevet i en sirkel og diameteren til denne sirkelen.
I mange tilfeller er tilnærmingene 3.14 eller 22/7 tilstrekkelig, selv om ingeniører lenge har brukt 3.1416 (5 signifikante sifre) eller 3.14159 (6 signifikante sifre) for mer presisjon. Tilnærmingene 22/7 og 355/113, med henholdsvis 3 og 7 signifikante sifre, er hentet fra å skrive i kontinuerlig brøkdel av π . Imidlertid var det den kinesiske matematikeren Zu Chongzhi (祖 沖 之 i tradisjonelle sinogrammer , 祖 冲 之 i forenklede sinogrammer, Zǔ Chōngzhī i piyin) (429-500) som oppdaget brøkdelen 355/113 ved hjelp av Archimedes 'metode for å beregne omkretsen av den vanlige polygonen med 12 288 sider innskrevet i en sirkel. I dag er de numeriske tilnærmingene som ofte brukes av ingeniører de av forhåndsdefinerte beregningskonstanter.
Tilnærmingen til π i 355/113 er den beste som kan uttrykkes med bare 3 sifre i teller og nevner. Tilnærmingen 103 993/33 102 (som gir 10 signifikante sifre) krever et mye større tall: dette kommer av utseendet til det høye tallet 292 i den fortsatte fraksjonsutvidelsen av π .
I vanlige numeriske beregninger på en datamaskin brukes en riktig avrundet konstant, men forhåndsdefinert med en presisjon på minst 16 signifikante sifre i stedet (dette er den beste presisjonen som kan representeres av et flytende nummer i standard IEEE 754- format på 64 bits. , en type som vanligvis er betegnet "dobbel presisjon") og valgt slik at beregningen av sinusen returnerer 0 nøyaktig med en funksjon definert i samme presisjon. Dermed definerer standard topptekstfilen som <math.h>brukes i C- eller C ++ -språket, M_PIdobbel presisjonskonstant (flytpunktstypen som brukes som standard i mange funksjoner i standard matematiske biblioteker) til verdien 3.141592653589793 (noen ganger med flere sifre hvis plattformen støtter mer utvidet presisjon for type long double). Den samme verdien brukes i Java-språk , som er basert på den samme IEEE 754-standarden, med standardkonstanten java.lang.Math.PI). Vi finner denne konstanten definert på denne måten i mange programmeringsspråk, med best mulig presisjon i de støttede tallformatene for flytende punkt, siden "dobbel presisjon" -typen til IEEE 754-standarden har etablert seg som en minste presisjonsreferanse. Nødvendig i mange språk for utallige applikasjoner.
På mikroprosessorer i x86- familien er maskinvareberegningsenhetene (FPU) i stand til å representere flytende punktum over 80 bits (kan brukes med denne presisjonen i C eller C ++ språk med typen, long doublemen uten garanti for maskinvarestøtte), noe som gir presisjonen på π til 19 signifikante sifre. Den siste revisjonen som ble publisert i 2008 av IEEE 754-standarden inkluderer også definisjonen av flytende punktum i "firdobbelt presisjon" (eller quad) kodet på 128 bits, som vil tillate å definere en tilnærming til konstanten π med en presisjon på 34 sifre. betydelig (men denne presisjonen støttes ennå ikke naturlig av mange programmeringsspråk fordi få prosessorer tillater denne presisjonen direkte på maskinvarenivå uten ekstra programvarestøtte).
For plattformer eller språk som opprinnelig bare støtter "single precision" -nummer, kodet i IEEE 754-standarden på 32 nyttige biter, kan 7 signifikante sifre støttes (den minste presisjonen støttes i C-språk etter type float), dvs. konstanten riktig avrundet til 3.141593 og tilsvarer i presisjon den som er gitt av fraksjonen 355/113 (denne fraksjonen tillater også raske beregninger i programvare for lyssystemer som ikke omfatter en beregning av flytende punkt på maskinvareenheten).
Sekvensen av partielle nevnere for den fortsatte fraksjonsutvidelsen av π avslører ikke noe åpenbart mønster:
Men :
Mange spørsmål fremdeles oppstår: π og e er to transcendente tall, men er de algebraisk uavhengige, eller er det en polynomligning med to variabler og med heltallskoeffisienter hvis par ( π, e ) er en løsning? Spørsmålet er fremdeles åpent. I 1929 beviser Alexandre Gelfond at e π er transcendent, og i 1996 beviser Yuri Nesterenko (en) at π og e π er algebraisk uavhengige.
Som sagt tidligere er det uklart om π er et normalt tall , eller til og med et tallunivers i base 10 .
Utvilsomt på grunn av enkelheten i definisjonen, er tallet pi og spesielt dens desimalskrift forankret i populærkulturen i større grad enn noe annet matematisk objekt. Videre er oppdagelsen av et større antall desimaler av π ofte gjenstand for artikler i den generelle pressen, et tegn på at π er et kjent objekt selv for de som ikke praktiserer matematikk.
En innsjø i Canada , som ligger i Quebec i uorganiserte territorium av Rivière-aux-Outardes , bærer navnet Lac 3,1416 .
En angelsaksisk tradisjon sier at jubileet for π feires i visse matematiske avdelinger ved universitetene 14. mars . 14. mars, som er merket "3/14" i amerikansk notasjon, kalles derfor dagen for pi .
Mange steder eller verk indikerer tilstedeværelsen av tallet π i pyramidene, og mer presist at π er forholdet mellom omkretsen til basen og dobbelt så høy som pyramidene. Det er sant at pyramiden til Cheops har en skråning på 14/11, og at forholdet mellom basen og høyden derfor er 22/14. Forholdet 22/7 er en god tilnærming av π , forholdet mellom omkretsen og det dobbelte av høyden på Cheops-pyramiden er veldig nær π . Er det nødvendig for alt dette å søke en intensjon? Ingenting er mindre sikkert siden pyramidenes helling ikke er konstant, og at man i henhold til regionene og tidene finner skråninger på 6/5 ( rød pyramide ), 4/3 ( pyramide av Khephren ) eller 7/5 ( rhomboidal pyramide ) som fører til et forhold mellom omkrets og dobbel høyde vekk fra π .
Det er uansett sikkert at π er til stede i moderne kunstnerisk kultur. For eksempel, i Contact , en roman av Carl Sagan , spiller en nøkkelrolle i manuset, og det antydes at det er en melding begravet dypt innenfor desimalene til π , plassert av den som skapte universet. Denne delen av historien ble utelatt av filmatiseringen av romanen.
På filmnivå fungerte π som tittelen på den første spillefilmen av Darren Aronofsky , som vi spesielt skylder Requiem for a Dream . Pi er en matematisk thriller om å finne den perfekte sekvensen, avsløre den eksakte formelen for Wall Street- aksjemarkedene eller til og med det virkelige navnet på Gud .
I det musikalske registeret ga sanger-låtskriver Kate Bush ut albumet sitt Aerial i 2005 , som inneholdt sporet “ π ”, hvis tekst hovedsakelig består av desimaler av π .
Utover å huske π , vanligvis de første 3 til 6 sifrene, eller ved den bemerkelsesverdige omtrentlige verdien av brøkdelen 355/113 (7 betydelige sifre), har det lenge vært og er en besettelse for mange mennesker å huske et rekord antall desimaler av π . de14. mars 2004, i Oxford , resiterer den unge autisten Asperger Daniel Tammet (på 5 timer, 9 minutter og 24 sekunder) 22 514 desimaler. Memorieregistreringen av π anerkjent i 2005 av Guinness rekordbok var 67 890 sifre (Lu Chao, en ung kinesisk kandidat, på 24 timer og 4 minutter). I oktober 2006 resiterte Akira Haraguchi , en pensjonert japansk ingeniør, 100 000 desimaler av π på 16 og en halv time, men denne prestasjonen ble ikke validert av Guinness World Records . Den offisielle rekorden går i mars 2015 til 70 000 desimaler på 9 t 27 min (Rajveer Meena, en indisk student), deretter i oktober til 70 030 i 17 t 14 min (Suresh Kumar Sharma, en annen indianer).
17. juni 2009 hevdet Andriy Slyusarchuk (in) , en nevrokirurg og professor i Ukraina , å ha spart 30 millioner desimaler av π , som ble skrevet ut i 20 bind. Selv om han ikke resiterte de 30 millioner sifrene han sa at han husket (som forøvrig ville ha tatt ham over et år), hevder noen medier at han var i stand til å resitere ti desimaler tilfeldig valgt fra de trykte bindene . Sammenligningen med verdiene offisielt beholdt av Guinness Records fører imidlertid til at eksperter seriøst setter spørsmålstegn ved denne påstanden .
Det er flere måter å huske desimalene på π , inkludert dikt der antall bokstaver i hvert ord tilsvarer ett desimal, ti bokstavs ord som representerer en 0. Her er et eksempel:
Hvor elsker jeg å lære vise menn et nyttig tall!
Immortal Archimedes, kunstner, ingeniør,
hvem etter din vurdering kan ta verdi?
For meg hadde problemet ditt lignende fordeler.
Tidligere, mystisk, blokkerte et problem
All den beundringsverdige prosessen, det grandiose arbeidet
som Pythagoras oppdaget i de gamle grekerne.
O kvadratur! Gammel pine av filosofen
Uoppløselig rundhet, for lenge har du
utfordret Pythagoras og hans etterlignere.
Hvordan integrere det sirkulære planområdet?
Danne en trekant som den vil være ekvivalent med?
Ny oppfinnelse: Archimedes vil skrive
inn i en sekskant; vil sette pris på området
I henhold til radiusen. Ikke for mye vil holde seg til det:
Vil duplisere hvert forrige element;
Alltid beregnet kule vil nærme seg;
Definer grense; endelig lærer buen, begrenseren
Fra denne urovekkende sirkelen, for opprørsk fiende
professor, hans problem med iver.
Denne metoden har sine grenser for lagring av et veldig stort antall desimaler, hvor det virker mer hensiktsmessig å bruke metoder som loci-metoden .
I 2001 skrev matematikeren Robert Palais artikkelen π er feil! , der han anser at konstanten er dårlig definert og bør settes som forholdet mellom omkretsen til en sirkel og dens radius, og bringe den numeriske verdien til 6.2831853071795 ..., for å forenkle de vanlige formlene som involverer 2π oftere enn π . Michael Hartl tok opp sine argumenter i Tau-manifestet , der han foreslo å favorisere bruken av en ny konstant, τ = 2π . Siden den gang har forsvarere av τ opprettet Tau-dagen 28. juni (6/28) i konkurranse med Pi-dagen 14. mars (3/14).