De Maxwells ligninger , også kalt Maxwell-Lorentz ligningene er fundamentale lover fysikk . De utgjør de grunnleggende postulatene til elektromagnetisme , med uttrykk for den elektromagnetiske kraften til Lorentz .
Disse ligningene oversetter i lokal form forskjellige teoremer ( Gauss , Ampère , Faraday ) som styrte elektromagnetisme før Maxwell forenet dem i form av integrerte ligninger . De gir dermed en presis matematisk rammeverk for grunnleggende konseptet av feltet introdusert i fysikk ved Faraday i 1830-årene .
Disse ligningene viser spesielt at i en jevn tilstand er de elektriske og magnetiske feltene uavhengige av hverandre, mens de ikke er i et variabelt regime. I det mest generelle tilfellet må vi derfor snakke om det elektromagnetiske feltet, den elektrisk-magnetiske dikotomien er et syn på sinnet. Dette aspektet finner sin definitive formulering i den kovariante formalismen som presenteres i andre del av denne artikkelen: det elektromagnetiske feltet er representert der av et enkelt matematisk objekt, den elektromagnetiske tensoren , hvorav noen komponenter er identifisert med de i det elektriske feltet og andre. til magnetfeltets .
Maxwells ligninger er et sett med fire sammenkoblede førsteordens delvise differensialligninger :
Denne Maxwell-"korreksjonen" av Amperes teorem er spesielt viktig: det betyr at variasjonen av et magnetfelt skaper et elektrisk felt, og at variasjonen av et elektrisk felt skaper et magnetfelt. Derfor tillater disse ligningene sirkulasjon av selvbærende elektromagnetiske bølger, eller " elektromagnetisk stråling ".
Den beregnede forplantningshastigheten for elektromagnetiske bølger, som kan forutsies av eksperimenter med ladninger og strømmer, er nøyaktig lysets hastighet . Dette er fordi lys er en form for elektromagnetisk stråling (akkurat som røntgenstråler , radiobølger osv.). Maxwell forsto forholdet mellom elektromagnetisk stråling og lys i 1864, og forenet to hittil usammenhengende felt: elektromagnetisme og optikk .
Rundt 1865 produserte Maxwell en harmonisk syntese av de forskjellige eksperimentelle lovene som ble oppdaget av sine forgjengere (lover om elektrostatikk , magnetisme , induksjon, etc.). Men denne syntesen var bare mulig fordi Maxwell visste hvordan de skulle gå utover forgjengernes arbeid, ved å innføre en "manglende lenke", kalt forskyvningsstrøm , hvis tilstedeværelse sikrer sammenheng i det enhetlige bygget.
Maxwell publiserte først teorien sin i 1865 i form av tjue ligninger med tjue ukjente, skrevet ved hjelp av kvaternioner . I 1873 hadde Maxwell allerede skrevet om teorien i to-binders arbeid A Treatise on Electricity and Magnetism i form av åtte ligninger. Først senere, i 1884, skrev Oliver Heaviside om disse ligningene i form av fire vektorligninger med partielle derivater som nå er kjent.
I dag koker Maxwells fire (vektor) ligninger ned til bare to tensorligninger, eller til og med en enkelt multivektorligning i geometrisk algebra .
Maxwells syntese muliggjorde senere de to største fremskritt innen moderne fysikk:
Vi presenterer nedenfor den grunnleggende mikroskopiske teorien som gir Maxwell-Lorentz-ligningene i vakuum i nærvær av kilder , som kan være punktladninger og / eller deres tilknyttede mikroskopiske elektriske strømmer hvis disse ladningene er i bevegelse i referanserammen.
Den makroskopiske teorien som krever innføring av D- og H- feltene (og tilhørende Maxwell-ligninger) er diskutert i detalj i elektrodynamikk for kontinuerlige medier .
Vi merker:
I denne ligningen vil vi bruke operatøren nabla , bemerket :, hvis uttrykk vi kan skrive i kartesiske koordinater med
∇→=∂∂xe→x+∂∂ye→y+∂∂ze→z.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ vec {e}} _ {y} + {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ vec {e}} _ {z}.} Denne lokale ligningen gir divergensen til det elektriske feltet som en funksjon av tettheten til den elektriske ladningen: ∇→⋅E→=ρε0påussJegikkeote´edivE→=ρε0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ mathrm {also \; not {\ acute { e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}.} Denne ligningen tilsvarer et "kildeuttrykk": tettheten av elektrisk ladning er en kilde for det elektriske feltet. For eksempel, for en punktladning festet til opprinnelsen , Coulombs lov som gir det elektrostatiske feltet på et punkt i rommet, et punkt identifisert av posisjonsvektoren hvor er den radiale enhetsvektoren, og som er skrevet: E→(M)=q4πε0r2u→r.{\ displaystyle {\ vec {E}} (M) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}} {\ vec {u}} _ {r}.} Dette elektrostatiske feltet verifiserer Maxwell-Gauss-ligningen for den statiske kilden, dvs. ρ(x→,t)=qδ3(x→),{\ displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, t) = q \ delta ^ {3} ({\ vec {x}}),} hvor er Dirac-fordelingen i et tredimensjonalt rom. Gauss teoremDen Gauss teorem er integralet form av Maxwell-Gauss-ligningen. Han hevder at strømmen av det permanente elektriske feltet gjennom en lukket Gaussisk overflate , orientert i henhold til utgående normal, er lik forholdet mellom ladningen inneholdt i volumet avgrenset av overflaten og permittiviteten til vakuumet:
∮ΣE→⋅dS→=1ε0∫Vρdτ=SpørsmålJegikketε0.{\ displaystyle \ oint _ {\ Sigma} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} \ rho \ mathrm {d} \ tau = {\ frac {Q _ {\ mathrm {int}}} {\ varepsilon _ {0}}}.} Merk at Maxwell-Gauss-ligningen lett blir funnet ved å bruke Ostrogradskis teorem på Gauss teorem og ta et uendelig lite volum.Denne ligningen kalles også Maxwell-flux-ligningen ; det uttrykker at strømmen av magnetfeltet gjennom en
lukket overflate alltid er null: ∮ΣB→⋅dS→=0.{\ displaystyle \ anint _ {\ Sigma} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = 0.} Denne ligningen er den integrerte formen for Maxwells lokale ligning, og vi går fra den ene til den andre ved å anvende Ostrogradskis teorem . Maxwells lokale ligningDenne lokale ligningen er til magnetfeltet hva Maxwell-Gauss-ligningen er til det elektriske feltet, nemlig en ligning med "kildeuttrykk", her identisk null:
∇→⋅B→=0påussJegikkeote´edivB→=0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0 \ quad \ mathrm {also \; ikke {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {B}} = 0.} Det gjenspeiler følgende eksperimentelle faktum: det er ikke noe som heter magnetisk monopol. En magnetisk monopol ville være en punktkilde for et magnetfelt, analogt med punktets elektriske ladning for det elektriske feltet. Imidlertid er den grunnleggende objektkilden til et magnetfelt magneten , som oppfører seg som en magnetisk dipol : en magnet har faktisk en nordpol og en sørpol. Det grunnleggende eksperimentet med å prøve å kutte en magnet i to gir opphav til to magneter, ikke en nordpol og en sydpol hver for seg. Innføring av vektorpotensialetDe vektoranalyse viser at divergensen av en rotasjons alltid er likt null for en hvilken som helst uspesifisert felt , det vil si . Omvendt kan ethvert vektorfelt hvis divergens er identisk null lokalt uttrykkes som en rotasjon. Den lokale magnetiske strømningsbevaringslikningen gjør det derfor mulig å definere i det minste en potensiell vektor som:
B→=∇→×PÅ→.{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}.} Det viktige problemet med det unike med vektorpotensialet er diskutert i artikkelen Gauge invariance of the theory .Denne lokale ligningen gjenspeiler det grunnleggende fenomenet elektromagnetisk induksjon oppdaget av Faraday .
Den lokale ligningenDet gir rotasjonen av det elektriske feltet som en funksjon av tidsderivatet til magnetfeltet:
∇→∧E→=-∂B→∂tpåussJegikkeote´erot→E→=-∂B→∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} \ quad \ mathrm {also \; ikke {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} .} Denne ligningen indikerer at variasjonen i magnetfeltet skaper et elektrisk felt. Integrert form: Faradays lovDen integrerte formen for den lokale ligningen er gitt i følge Stokes teorem av:
∮VSE→⋅dℓ→=-ddt(∫SB→⋅dS→).{\ displaystyle \ anint _ {C} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left (\ int _ {S} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} \ right).} Dette er Faradays lov , som også er skrevet: e=-dΦdt{\ displaystyle e = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}}} eller:De vektoranalyse viser at innbøyningen av en gradient alltid er likt null. For ethvert skalarfelt :
∇→×(∇→F)=0→.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times ({\ vec {\ nabla}} F) = {\ vec {0}}.} Maxwell-Faraday-ligningen kombinert med den lokale eksistensen av en potensiell vektor gjør det mulig å definere (i det minste lokalt) det elektriske potensialet (skalar) slik som: E→=-∇→V-∂PÅ→∂t.{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}}.} Det viktige problemet med det unike med elektrisk potensial er diskutert i Gauge Invariance Theory .Denne ligningen er arvet fra Amperes teorem . I lokal form er det skrevet med gjeldende tetthetsvektor :
∇→×B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂E→∂tpåussJegikkeote´erot→B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂E→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ quad \ mathrm {also \; ikke {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t }}} Innføring av fortrengningsstrømDen forrige ligningen kan skrives om
∇→×B→=μ0(ȷ→+ȷ→D),{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \ left ({\ vec {\ jmath}} + {\ vec {\ jmath}} _ {D } \ Ikke sant),} ved å innføre Maxwell forskyvningsstrøm ȷ→D=ε0∂E→∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {D} = \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}}.} Den integrerte formen forbinder sirkulasjonen av magnetfeltet på en lukket kontur , og strømmen som passerer gjennom en overflate som hviler på denne konturen. Dette er en direkte konsekvens av Green's teorem : ∮VSB→⋅dℓ→=μ0∫Sȷ→⋅dS→+ε0μ0∫S∂E→∂t⋅dS→.{\ displaystyle \ anint _ {C} {\ overrightarrow {B}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}} = \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ vec { \ jmath}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ frac {\ partial {\ vec {E }}} {\ partial t}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}}.}Tenk på avviket fra Maxwell-Ampere-ligningen:
∇→⋅∇→×B→=0=μ0∇→⋅ȷ→+ε0μ0∇→⋅(∂E→∂t).{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = 0 = \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot { \ vec {\ jmath}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ høyre).} De romlige og tidsmessige derivatene er uavhengige, og satsen til Schwarz sørger for at man kan tillate operatøren nabla og det temporale delderivatet. Deretter bruker du Maxwell-Gauss-ligningen: ∇→⋅(∂E→∂t)=∂ ∂t(∇→⋅E→)=1ε0∂ρ∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ right) = {\ frac {\ partial ~} {\ delvis t}} \ left ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} \ right) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}}.} Vi får endelig den lokale ligningen for bevaring av den elektriske ladningen: ∇→⋅j→+∂ρ∂t=0påussJegikkeote´edivj→+∂ρ∂t=0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0 \ quad \ mathrm {also \; not {\ acute {e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {j}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0.} Tilstedeværelsen av forskyvningsstrømmen , introdusert av Maxwell, er viktig for å oppnå denne ligningen.Tenk på rotasjonen av Maxwell-Faraday-ligningen, gitt Maxwell-Gauss og Maxwell-Ampere:
,
enten ved å bruke det faktum at de romlige og tidsmessige derivatene er uavhengige
,
eller ved å omorganisere:
.
Dette viser at det elektriske feltet følger bølge ligningen .
Ved å ta rotasjonen av Maxwell-Ampere-ligningen, ta Maxwell-Thomson og Maxwell-Faraday i betraktning, finner vi det tilsvarende resultatet:
.
Dette viser at magnetfeltet også følger bølge ligningen.
Forplantningshastigheten til den elektromagnetiske bølgen er gitt av:
.
De vektoranalyse viser at divergensen av en curl alltid er likt null:
.Den lokale magnetiske strømningsbevaringslikningen gjør det derfor mulig å definere i det minste en potensiell vektor som:
. |
Vektoranalyse forteller oss også det
.Da er potensialvektoren ikke unikt definert siden den følgende transformasjonen, med noen funksjon
endrer ikke verdien på feltet . Dette er et eksempel på en målingstransformasjon . Det er derfor nødvendig å innføre ytterligere betingelser for å definere entydig. Dette kalles målerbetingelser, for eksempel tilstanden til Coulomb-måler eller mer generelt tilstanden til Lorenz-måleren (se nedenfor).
Vi kan merke at i klassisk fysikk ser potensialvektoren ut til å være et praktisk matematisk verktøy for å analysere løsningene til Maxwells ligninger, men synes ikke å være en direkte målbar fysisk størrelse . I 1959, innenfor rammen av kvantefysikk , demonstrerte Aharonov og Bohm at vektorpotensialet hadde en observerbar effekt i kvantemekanikken : det er Aharonov-Bohm-effekten .
Maxwell-Faraday-ligningen kombinert med den lokale eksistensen av en potensiell vektor gjør det mulig å definere (i det minste lokalt) det elektriske potensialet (skalar) slik som:
. |
Potensialet i seg selv er heller ikke definert på en unik måte, men transformasjonen av måler assosiert og knyttet til det av er som følger (vi husker det for klarhets skyld) og vi har
.Disse to ligningene gir fullstendig variasjon av Maxwells ligninger.
Vi setter tilstanden til Lorenz-måleren (som kobler de to potensialene):
.La oss ta Maxwell-Ampere-ligningen, ta i betraktning tilstanden til Lorenz-måleren og uttrykket av som en funksjon av potensialene og :
,.
Vi oppnår forplantningsligningen til vektorpotensialet:
bruker . Ditto for skalarpotensialet:
,er
Vi legger merke til at Lorenz-måleren gjør det mulig å koble ut formeringsligningene til feltene og : de er avhengig av henholdsvis bare kildene og . Dette er grunnen til at Lorenz-måleren ofte brukes til å studere bølgefenomener.
Uttrykkene til de elektriske og magnetiske feltene kan oppnås ved å integrere Liénard-Wichert-ligningene eller Heaviside-Feynmans ligninger over hele rommet .
La oss løse Maxwells ligninger i rommet, muligens begrenset av forhold som holder linearitet .
La oss representere løsninger med bokstaver (sett med 6-vektorer dannet av de seks komponentene i feltet på et hvilket som helst koordinatpunkt ). Som i et vakuum er ligningene lineære ,, hvor er reelle konstanter, er også en løsning. Følgelig er settet med løsninger av Maxwells ligninger et reelt vektorrom.
I henhold til definisjonen introdusert i akustikk , er en modus en retning av dette rommet. Et komplett system med løsninger utgjør et grunnlag i dette rommet som kalles noen ganger space of solutions, noen ganger space of modes. En bestemt løsning i en modus oppnås ved å multiplisere et felt i denne modusen posert som et felt med enhetsamplitude, med en reell konstant, amplituden.
Med et passende enhetssystem er energien (på et gitt tidspunkt) til en løsning integralen utvidet til hele rommet, kvadratet av normen til vektoren i forhold til det vanlige punktproduktet . Det er nødvendig å være oppmerksom på at energien ikke avhenger lineært av . Energien til summen av flere løsninger er derfor ikke a priori summen av energiene til de forskjellige løsningene tatt hver for seg. Likevel gjør Gram-Schmidt-metoden det mulig å få, fra et komplett system med løsninger, et komplett system med ortogonale løsninger eller til og med et komplett system med ortogonale moduser. I slike systemer er energiene uavhengige, det vil si at energien til en løsning er lik summen av energiene til dens forskjellige komponenter i systemet.
Planck antydet at energi i en monokromatisk modus for frekvensutbredelse i en svart kropp ved temperatur er . Den feilaktige dataverdien av Planck ble korrigert av Nernst i 1916; verdien er lett å finne fordi termodynamikk dikterer som har en tendens til når en tendens mot uendelig. Denne formelen definerer temperaturen til en modus. Tolkningen av denne formelen er imidlertid fysisk delikat fordi definisjonen av en ren frekvens antar en opplevelse av uendelig varighet.
Vi vet hvordan vi skal beregne feltene som sendes ut av ladninger, for eksempel feltet som sendes ut av en oscillerende elektrostatisk dipol . For å komme tilbake til det forrige problemet bruker vi “Schwarzschild og Fokker-trikset”. Feltet som sendes ut av en kilde kalles et "forsinket felt" . Fjernet fra kilden er dette feltet ikke en løsning på Maxwells ligninger. For å oppnå en identisk løsning i fremtiden, er det nødvendig å legge til et "avansert felt" i det . Etter denne definisjonen er løsningen på Maxwells ligninger. Ved å erstatte det avanserte feltet i stedet for kilden, blir vi ført tilbake til det lineære problemet med et felt i et vakuum, og vi kan definere modus.
De generelle og kausale løsningene til Maxwells ligninger er gitt av Jefimenkos ligninger .
Jefimenkos ligninger gir det elektriske feltet og magnetfeltet på grunn av en fordeling av elektriske ladninger og elektrisk strøm i rommet. De tar hensyn til forsinkelsen på grunn av forplantning (forsinket tid) av feltene på grunn av den endelige grensen for lysets hastighet og de relativistiske effektene. De kan derfor brukes til å flytte last og strøm. De er de generelle løsningene i Maxwells ligninger for vilkårlig fordeling av ladninger og strømmer.
Disse ligningene er den tidsavhengige ( elektrodynamiske ) generaliseringen av Coulombs lov og Biot-Savarts lov, som opprinnelig bare gjaldt for elektrostatiske og magnetostatiske felt så vel som for direkte strømmer.
En av de vesentlige egenskapene til ligningene til Jefimenko ses i den rette delen der den forsinkede tiden vises som gjenspeiler årsakssammenhengen til disse ligningene. Med andre ord er venstre side av ligningene faktisk forårsaket av høyre side, i motsetning til Maxwells differensialligninger der begge sider foregår samtidig.
Et fysisk system har generelt relative energiminimum. I et ikke-utviklende (stasjonært) regime forblir systemet, opphisset av et elektromagnetisk felt av størrelsesorden i hver modus som det er i stand til å avgi (og derfor absorbere), i nærheten av et minimum av energi; for hver monokromatiske modus får dens eksitasjon det til å utstråle et felt i kvadratur med det innfallende feltet, som ikke produserer noen permanent energiutveksling, men introduserer en forsinkelse, brytning. For et mer intenst felt, spesielt på grunn av en gunstig svingning i feltet, kan systemet krysse en hals av energidiagrammet og absorbere en energi som denne absorpsjonen kan føre til et ustabilt nivå som systemet raskt kan utvikle seg til andre nivåer fra, i en mer eller mindre strålende kaskade som bringer den til en stasjonær, stabil tilstand.
I en klassisk teori kan ikke noe paradoks innrømmes, spesielt paradokset til Einstein, Podolsky og Rosen eksisterer ikke: antar at et atom mister en resonansenergi , for eksempel ved stråling av en dipol. Emisjonsmodusen for denne dipolen er ikke ortogonal i forhold til emisjonsmodusene (derfor absorpsjon) av andre atomer hvis amplitude kan økes; 0, 1, 2, ... atomer kan da absorbere , selv om det i gjennomsnitt bare er ett atom som er begeistret; restfeltene spiller rollen som et termodynamisk bad.
Det er skrevet at elektronet til et hydrogenatom som følger en Bohr-bane avgir et felt, derfor utstråler energi og bør falle på kjernen. Elektronet sender ut et felt, men med veldig lav energi på grunn av interferens fra det emitterte feltet med restfeltet; denne energien synker til null hvis bane korrigeres litt, slik at energien i jevn tilstand gjennomgår lamskiftet .
Studien av tenningen av en laser ser ut til å indikere at feltet til nullpunktet induserer en utslipp dobbelt så intens som et felt med større intensitet. For å ta hensyn til dette resultatet kan det innføres en ad hoc “reaksjonsstråling” . Den virkelige forklaringen er veldig enkel: et atom blir begeistret av et felt i modusen det kan avgi, kalt sfærisk; når laseren startes, er det i denne modusen en amplitude som tilsvarer ; laseren opererer på en plan bølgemodus, den sfæriske komponenten må tas for å opphisse atomet, som deler energien med to.
Det er ikke noe isolert elektromagnetisk system; å glemme at minimumsfeltet er nullpunktsfeltet, fører til feil når det oppdages svake felt.
NB Denne delen følger klassiske MTW skiltkonvensjoner
Denne delen vedtar også Einsteins innkallingskonvensjon .
Minkowskis romtid (1908) er en flat differensialmanifold M utstyrt med en Lorentzisk metrisk.
La være et vilkårlig koordinatsystem rundt en hendelse (punkt) av romtid, og la være et lokalt grunnlag for , plass som er tangent til manifolden på punktet . En tangentvektor skrives deretter som den lineære kombinasjonen:
. |
De kalles vektorens motstridende komponenter . Den metriske tensoren er den symmetriske bilineære formen:
På et ortonormalt grunnlag av en treghetsreferanseramme , er dens kovariante komponenter :
Dens motstridende komponenter bekrefter:
. |
Vi får eksplisitt:
. |
Følgende vanlige stevner vil bli brukt nedenfor:
For eksempel er de kontravariant komponentene i 4-posisjonsvektoren skrevet i et ortonormalt koordinatsystem:
. |
Den metriske tensoren definerer for hvert punkt av romtid et pseudo- skalar produkt ( pseudo i den forstand at positivitetshypotesen fjernes) i det euklidiske rommet som er tangent til M på punktet . Hvis og er to vektorer av , skrives deres skalære produkt:
. |
Spesielt ved å ta to grunnleggende vektorer får vi komponentene:
. |
Ved å betegne de motstridende komponentene til vektoren w , kan vi definere på samme måte dens samvariante komponenter ved å:
. |
For eksempel er de samvariante komponentene i 4-posisjonsvektoren skrevet i et ortonormalt koordinatsystem:
. |
Vi introduserer quadri-gradient differensialoperatøren for å generalisere nabla- operatøren .
Dens kovariante komponenter er skrevet:
. |
Dens kontravariant komponenter er skrevet:
. |
D'Alembertian invariant operator er skrevet for eksempel:
. |
Vi introduserer den elektromagnetiske potensielle kvadriveren med dens kontravariant komponenter:
hvor er det skalære elektriske potensialet, og den magnetiske potensialvektoren. Kovariantkomponentene er skrevet:
. |
Målingstransformasjonslovene som er skrevet tidligere er derfor oppsummert i denne notasjonen i form
.Lorenz-målerbetingelsen er for eksempel skrevet på en kovariant måte:
. |
Vi introduserer den elektromagnetiske firestrømmen med dens kontravariant komponenter:
hvor er den elektriske ladetetthetsskalaen, og strømtetthetsvektoren Dens kovariante komponenter er skrevet:
. |
Den elektromagnetiske tensoren er den antisymmetriske tensoren av rang to definert fra kvadripotensialet ved:
. |
Dens kovariante komponenter er skrevet eksplisitt:
. |
Vi får tak i de kontravariant komponentene ved å skrive:
. |
Når beregningen er diagonal i en treghetsreferanseramme, får vi følgende formler uten summering av de gjentatte indeksene :
enten eksplisitt:
. |
Maxwells ligninger tar den relativistiske kovariantformen.
. |
. |
Siden Maxwell-tensoren er antisymmetrisk, innebærer dette siste forholdet spesielt at firestrømmen er bevart :
. |
Ved å eksplisitt skrive Maxwells tensor i forhold til kvadratpotensialet i kovariantligningen med kildeterm, oppnår vi for venstre side:
. |
I Lorenz-måleren forsvinner det andre begrepet, og Maxwell-ligningen med kildeuttrykket reduseres til en forplantningsligning for firepotensialet:
. |
Løsningen på denne ligningen skrives på en enkel måte hvis vi kjenner en grønn funksjon av forplantningsligningen, dvs. en funksjon G (x) løsning av den delvise differensiallikningen:
hvor er Dirac- distribusjonen . Vi oppnår deretter kvadrpotensialet i form av et konvolusjonsprodukt :
. |
I klassisk elektrodynamikk bruker vi oftest den forsinkede grønne funksjonen som tilfredsstiller kausalitetshypotesen :
. |
Tilgjengelig på lavere nivå.