Nøytralt element

I matematikk , nærmere bestemt i algebra , er et nøytralt element (eller identitetselement ) i et sett for en intern komposisjonslov et element i dette settet som etterlater alle de andre elementene uendret når det er sammensatt med dem av denne loven. En magma med et nøytralt element sies å være enhetlig .

Definisjon

Eller en magma. Et element av sies: $(E, \ stjerne)$ $e$ $E$

nøytral til venstre hvis ; $\ forall x \ i E, \ e \ star x = x$
nøytral til høyre hvis ; $\ forall x \ i E, \ x \ star e = x$
nøytral hvis den er nøytral til høyre og til venstre.

Eksempler

Et nøytralt element er relatert til loven som vurderes:

0 er det nøytrale elementet i aritmetisk tillegg , så vel som binært " eller ";
1 er det nøytrale elementet i aritmetisk multiplikasjon , så vel som binært " og ";
Den enhets-matrise av orden n er den nøytrale element av multiplikasjon av kvadratiske matriser av orden n ;
Det tomme ordet er det nøytrale elementet i sammenkoblingen av strenger.

Eiendommer

Det er mulig at det nøytrale elementet til venstre (resp. Til høyre) ikke er unikt. Tenk for eksempel på et sett E som inneholder minst to elementer. Vi kan definere en lov G på E med formelen G ( x , y ) = x og en lov D med formelen D ( x , y ) = y . For G- loven er ethvert element nøytralt til høyre og ingen er nøytralt til venstre. For loven D er ethvert element nøytralt til venstre og ingen er nøytralt til høyre.
På den annen side, hvis det er et nøytralt element til venstre og et nøytralt element til høyre, så innrømmer settet et enkelt nøytralt element, og i tillegg er ethvert nøytralt element til venstre (resp. Til høyre) lik den. Faktisk, for alle elementene e g nøytral til venstre og e d nøytral til høyre, har vi: e d = e g e d = e g .
I denne situasjon - særlig når G er en gruppe - den eneste nøytrale elementet G som ofte kalles den nøytrale av G .
I en gruppe er nøytralet det eneste idempotente elementet , det vil si det eneste elementet x slik at xx = x .

Merknader og referanser

N. Bourbaki , Algebra , kap. Jeg, s. I-12 .
Aviva Szpirglas , Algebra L3: Komplett kurs med 400 korrigerte tester og øvelser [ detalj av utgaven ], Del III: grupper, eksempler 6.2.
Jean-Pierre Marco og Laurent Lazzarini, Matematikk L1 , s. 119 , forhåndsvisning på Google Bøker .
Jean-Marie Monier, MPSI Methods and Exercises of Mathematics , s. 213 , forhåndsvisning på Google Bøker .

Se også