Karakteristisk ligning av en lineær differensialligning med konstante koeffisienter
I matematikk er den karakteristiske ligningen til en lineær konstant-koeffisient differensialligning (eller dens hjelpeligning ) en polynomligning som løsningen på den tilhørende differensielle , lineære , homogene og konstantkoeffisientligningen avhenger av .
En slik differensialligning av orden n , med like avhengig variabel og som konstanter,
y{\ displaystyle y}
påikke,påikke-1,...,på1,på0{\ displaystyle a_ {n}, a_ {n-1}, \ ldots, a_ {1}, a_ {0}}![a_n, a_ {n-1}, \ ldots, a_1, a_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d004ab0d8af2154115e2f78633d90579ad730c)
påikkey(ikke)+påikke-1y(ikke-1)+⋯+på1y′+på0y=0{\ displaystyle a_ {n} y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + a_ {1} y '+ a_ {0} y = 0}![a_ny ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + a_1y '+ a_0y = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f32695f6fe4bc724a8367710058830306141015)
vil ha en karakteristisk ligning av grad n av formen
påikkerikke+påikke-1rikke-1+⋯+på1r+på0=0{\ displaystyle a_ {n} r ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} r + a_ {0} = 0}![a_nr ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} + \ cdots + a_1r + a_0 = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdcd5a4414254370c598c93e6cad75ea8f0b8fd)
hvis røtter vil danne den generelle løsningen av differensiallikningen.
r{\ displaystyle r}![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
Leonhard Euler introduserte den karakteristiske ligningen for å integrere lineære differensialligninger med konstante koeffisienter, en studie utvidet av Augustin-Louis Cauchy og Gaspard Monge .
Prinsipp
Vi betrakter den homogene lineære differensiallikningen med konstante koeffisienter ,
påikke,påikke-1,...,på1,på0{\ displaystyle a_ {n}, a_ {n-1}, \ ldots, a_ {1}, a_ {0}}![a_n, a_ {n-1}, \ ldots, a_1, a_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d004ab0d8af2154115e2f78633d90579ad730c)
påikkey(ikke)+påikke-1y(ikke-1)+⋯+på1y′+på0y=0.{\ displaystyle a_ {n} y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + a_ {1} y '+ a_ {0} y = 0.}![a_ny ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + a_1y '+ a_0y = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1ed21baad21ae9e9fa416f843d6534c77b019e)
vi kan se at hvis hvert begrep vil være et multiplum av med en konstant. Dette skyldes at derivatet av den eksponensielle funksjonen er et multiplum av seg selv. Derfor , og er alle multipler . Det kan utledes at visse verdier av , vil tillate at multipler av har en sum lik null og dermed løser den homogene differensiallikningen. For å finne verdiene av kan vi erstatte og dets derivater med og dets derivater i differensiallikningen for å oppnå:
y(x)=erx{\ displaystyle y (x) = e ^ {rx}}
erx{\ displaystyle e ^ {rx}}
erx{\ displaystyle e ^ {rx}}
y′=rerx{\ displaystyle y '= re ^ {rx}}
y"=r2erx{\ displaystyle y '' = r ^ {2} e ^ {rx}}
y(ikke)=rikkeerx{\ displaystyle y ^ {(n)} = r ^ {n} e ^ {rx}}
erx{\ displaystyle e ^ {rx}}
r{\ displaystyle r}
erx{\ displaystyle e ^ {rx}}
r{\ displaystyle r}
y{\ displaystyle y}
erx{\ displaystyle e ^ {rx}}![e ^ {{rx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a32f511aa1c5588bc95869a868dcdc7cf50b53)
påikkerikkeerx+påikke-1rikke-1erx+⋯+på1rerx+på0erx=0.{\ displaystyle a_ {n} r ^ {n} e ^ {rx} + a_ {n-1} r ^ {n-1} e ^ {rx} + \ cdots + a_ {1} re ^ {rx} + a_ {0} e ^ {rx} = 0.}![a_nr ^ ne ^ {rx} + a_ {n-1} r ^ {n-1} e ^ {rx} + \ cdots + a_1re ^ {rx} + a_0e ^ {rx} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825b90deec23c51c3e59231ac43e9efebfea8ed1)
Siden det aldri kan være null, kan vi forenkle ligningen for å oppnå den karakteristiske ligningen
erx{\ displaystyle e ^ {rx}}![e ^ {{rx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a32f511aa1c5588bc95869a868dcdc7cf50b53)
påikkerikke+påikke-1rikke-1+⋯+på1r+på0=0.{\ displaystyle a_ {n} r ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} r + a_ {0} = 0.}![a_nr ^ n + a_ {n-1} r ^ {n-1} + \ cdots + a_1r + a_0 = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05777b4c267694bb8824b82d52e10c877eaef687)
Ved å finne røttene til denne karakteristiske ligningen, kan vi finne den generelle løsningen på differensiallikningen.
r{\ displaystyle r}![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
Dannelse av den generelle løsningen
Å løse den karakteristiske ligningen for å finne røttene, gjør det mulig å finne den generelle løsningen av differensialligningen. Røttene kan være ekte og / eller komplekse , enkle og / eller flere. Hvis en karakteristisk ligning har løsninger enkle virkelige røtter, mange faktiske og / eller røtterøtter er komplekse, tilsvarende henholdsvis de generelle løsningene , og da er den generelle løsningen av differensiallikningen
r1,...,rikke{\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}
h{\ displaystyle h}
k{\ displaystyle k}
yD(x){\ displaystyle y_ {D} (x)}
yR1(x),...,yRh(x){\ displaystyle y_ {R_ {1}} (x), \ ldots, y_ {R_ {h}} (x)}
yVS1(x),...,yVSk(x){\ displaystyle y_ {C_ {1}} (x), \ ldots, y_ {C_ {k}} (x)}![y_ {C_1} (x), \ ldots, y_ {C_k} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a017412421561e1f399b253b63edd9c58fc3d0f)
y(x)=yD(x)+yR1(x)+⋯+yRh(x)+yVS1(x)+⋯+yVSk(x).{\ displaystyle y (x) = y_ {D} (x) + y_ {R_ {1}} (x) + \ cdots + y_ {R_ {h}} (x) + y_ {C_ {1}} (x ) + \ cdots + y_ {C_ {k}} (x).}![y (x) = y_D (x) + y_ {R_1} (x) + \ cdots + y_ {R_h} (x) + y_ {C_1} (x) + \ cdots + y_ {C_k} (x).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be18f645f26d83e4b63fc9b8cc256fc46eff17e5)
Eksempel
Den homogene lineære differensiallikningen med konstante koeffisienter
y(5)+y(4)-4y(3)-16y"-20y′-12y=0 {\ displaystyle y ^ {(5)} + y ^ {(4)} - 4y ^ {(3)} - 16y '' - 20y'-12y = 0 ~}![y ^ {(5)} + y ^ {(4)} - 4y ^ {(3)} - 16y '' - 20y'-12y = 0 ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335ab68ecf16f252fb356e5e2f7a1f677bedc164)
har den karakteristiske ligningen
r5+r4-4r3-16r2-20r-12=0. {\ displaystyle r ^ {5} + r ^ {4} -4r ^ {3} -16r ^ {2} -20r-12 = 0. ~}![r ^ 5 + r ^ 4-4r ^ 3-16r ^ 2-20r-12 = 0. ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0d190629d2c1740b7feb2190a69f27153a9d55)
Ved å faktorisere den karakteristiske ligningen får vi:
(r-3)(r2+2r+2)2=0. {\ displaystyle (r-3) (r ^ {2} + 2r + 2) ^ {2} = 0. ~}![(r-3) (r ^ 2 + 2r + 2) ^ 2 = 0. ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fb4e2cd1d57cbff3bce20d72e6857340d55bb9)
Vi kan se at løsningene er den virkelige enkeltroten og de komplekse dobbeltrøttene . Dette tilsvarer den generelle løsningen med reelle verdier
r1=3{\ displaystyle r_ {1} = 3}
r2,3,4,5=-1±Jeg{\ displaystyle r_ {2,3,4,5} = - 1 \ pm i}![r_ {2,3,4,5} = - 1 \ pm i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6145ba8dc9fb4d5b9fef5eb1a04cca397f088140)
y(x)=vs.1e3x+e-x(vs.2cosx+vs.3syndx)+xe-x(vs.4cosx+vs.5syndx){\ displaystyle y (x) = c_ {1} e ^ {3x} + e ^ {- x} (c_ {2} \ cos x + c_ {3} \ sin x) + xe ^ {- x} (c_ {4} \ cos x + c_ {5} \ sin x)}![{\ displaystyle y (x) = c_ {1} e ^ {3x} + e ^ {- x} (c_ {2} \ cos x + c_ {3} \ sin x) + xe ^ {- x} (c_ {4} \ cos x + c_ {5} \ sin x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6254ebe73eca1433d26531479774e5964ead95f6)
hvor er vilkårlige reelle konstanter.
vs.1,...,vs.5{\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {5}}![c_1, \ ldots, c_5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93812e346b8d731d819bb63a2164ad495b018c3d)
Enkle ekte røtter
Det prinsipp for overlagring av homogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter sier at dersom det er lineært uavhengige løsninger av et bestemt differensialligning, så er også en løsning for alle verdier . Derfor, hvis den karakteristiske ligningen har for løsningen de forskjellige virkelige røttene , vil den generelle løsningen være av formen
u1,...,uikke{\ displaystyle u_ {1}, \ ldots, u_ {n}}
ikke{\ displaystyle n}
vs.1u1+⋯+vs.ikkeuikke{\ displaystyle c_ {1} u_ {1} + \ cdots + c_ {n} u_ {n}}
vs.1,...,vs.ikke{\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n}}
r1,...,rikke{\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}![r_1, \ ldots, r_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dfb1691f61905ec0a447728fc01781fcc71205)
yD(x)=vs.1er1x+vs.2er2x+⋯+vs.ikkeerikkex.{\ displaystyle y_ {D} (x) = c_ {1} e ^ {r_ {1} x} + c_ {2} e ^ {r_ {2} x} + \ cdots + c_ {n} e ^ {r_ {n} x}.}![y_D (x) = c_1e ^ {r_1x} + c_2e ^ {r_2x} + \ cdots + c_ne ^ {r_nx}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6779be65ac8f8a6ae5437e6be54bebe355dffd0c)
Flere ekte røtter
Hvis den karakteristiske ligningen har en rot som gjentas ganger, er det klart at i det minste er løsning. Men det er ikke nok: til denne ordren må roten tilsvare uavhengige løsninger. Siden det er flere rotordner , kan differensialligningen regnes med i:
r1{\ displaystyle r_ {1}}
k{\ displaystyle k}
ys(x)=vs.1er1x{\ displaystyle y_ {p} (x) = c_ {1} e ^ {r_ {1} x}}
r1{\ displaystyle r_ {1}}
k{\ displaystyle k}
k{\ displaystyle k}
r1{\ displaystyle r_ {1}}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
(ddx-r1)ky=0.{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} - r_ {1} \ right) ^ {k} y = 0.}![\ left (\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} -r_1 \ right) ^ ky = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658a5baf963db137bda677ad10040e855694df43)
Det faktum at det er en løsning gjør det mulig å anta at den generelle løsningen kan være av den formen der en funksjon skal bestemmes.
ys(x)=vs.1er1x{\ displaystyle y_ {p} (x) = c_ {1} e ^ {r_ {1} x}}
y(x)=u(x)er1x{\ displaystyle y (x) = u (x) e ^ {r_ {1} x}}
u{\ displaystyle u}![u](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
Ved å erstatte med får vi:
y{\ displaystyle y}
uer1x{\ displaystyle ue ^ {r_ {1} x}}![ue ^ {r_1x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccae9fdbe9bafe8df864a0401d94a0ca4c92f59)
(ddx-r1)uer1x=ddx(uer1x)-r1uer1x=ddx(u)er1x+r1uer1x-r1uer1x=ddx(u)er1x.{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} - r_ {1} \ right) ue ^ {r_ {1} x} = {\ frac {\ mathrm { d}} {\ mathrm {d} x}} (ue ^ {r_ {1} x}) - r_ {1} ue ^ {r_ {1} x} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (u) e ^ {r_ {1} x} + r_ {1} ue ^ {r_ {1} x} -r_ {1} ue ^ {r_ {1} x} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (u) e ^ {r_ {1} x}.}![\ left (\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} -r_1 \ right) ue ^ {r_1x} = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} (ue ^ {r_1x}) - r_1ue ^ {r_1x } = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} (u) e ^ {r_1x} + r_1ue ^ {r_1x} -r_1ue ^ {r_1x} = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} (u) e ^ {r_1x}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53236f6484b3841d94f39d6a7afe1d1f854192e0)
Bruk av dette faktum ganger, følger det
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
(ddx-r1)kuer1x=dkdxk(u)er1x.{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} - r_ {1} \ right) ^ {k} ue ^ {r_ {1} x} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} x ^ {k}}} (u) e ^ {r_ {1} x}.}![\ left (\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} -r_1 \ right) ^ kue ^ {r_1x} = \ frac {\ mathrm d ^ k} {\ mathrm dx ^ k} (u) e ^ {r_1x }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c005d20e5a8db151ba9415222a4b8404e41c08)
Differensiallikningen på tilsvarer derfor følgende differensialligning på :
y{\ displaystyle y}
u{\ displaystyle u}![u](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
dkdxk(u)er1x=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} x ^ {k}}} (u) e ^ {r_ {1} x} = 0.}![\ frac {\ mathrm d ^ k} {\ mathrm dx ^ k} (u) e ^ {r_1x} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a87266b153adb677c283f34c8a8df7365b07c5)
Ved å dele på blir det:
er1x{\ displaystyle e ^ {r_ {1} x}}![e ^ {r_1x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b96f32a7fd9b0b7db98aafdb2d12b1faead3ba)
dkdxk(u)=u(k)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} x ^ {k}}} (u) = u ^ {(k)} = 0.}![\ frac {\ mathrm d ^ k} {\ mathrm dx ^ k} (u) = u ^ {(k)} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2567f5207bfeda3b97e02ff5010a95077400614f)
Derfor er løsningen hvis og bare hvis det er et polynom av grad mindre enn eller lik , la
u{\ displaystyle u}
k-1{\ displaystyle k-1}![k-1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21363ebd7038c93aae93127e7d910fc1b2e2c745)
u(x)=vs.1+vs.2x+vs.3x2+⋯+vs.kxk-1.{\ displaystyle u (x) = c_ {1} + c_ {2} x + c_ {3} x ^ {2} + \ cdots + c_ {k} x ^ {k-1}.}![u (x) = c_1 + c_2x + c_3x ^ 2 + \ cdots + c_kx ^ {k-1}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff71360320a51d4fc2585dce65d0e7ae65b92cd8)
Siden , den del av den generelle løsningen svarende til roten er
y(x)=uer1x{\ displaystyle y (x) = ue ^ {r_ {1} x}}
r1{\ displaystyle r_ {1}}![r_1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea214f2b31fb3869344bb9311da41c5cc38a99e1)
yR1(x)=er1x(vs.1+vs.2x+⋯+vs.kxk-1).{\ displaystyle y_ {R_ {1}} (x) = e ^ {r_ {1} x} (c_ {1} + c_ {2} x + \ cdots + c_ {k} x ^ {k-1}) .}![y_ {R_1} (x) = e ^ {r_1x} (c_1 + c_2x + \ cdots + c_kx ^ {k-1}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01270276a0f47c8e933eab66d3f82c52666d30a)
Komplekse røtter
I tilfelle av en homogen lineær differensialligning av orden 2 med konstant reelle koeffisienter, hvis den karakteristiske ligningen har komplekse røtter av formen og , deretter den generelle løsningen med komplekse verdier er
r1=på+bJeg{\ displaystyle r_ {1} = a + b \ mathrm {i}}
r2=på-bJeg{\ displaystyle r_ {2} = ab \ mathrm {i}}![{\ displaystyle r_ {2} = ab \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60b465bfaf080894862654b2b692df7dc98b69e)
y(x)=vs.1e(på+bJeg)x+vs.2e(på-bJeg)x,vs.1,vs.2∈VS{\ displaystyle y (x) = c_ {1} \ operatorname {e} ^ {(a + b \ mathrm {i}) x} + c_ {2} \ operatorname {e} ^ {(ab \ mathrm {i} ) x}, \ quad c_ {1}, c_ {2} \ in \ mathbb {C}}![{\ displaystyle y (x) = c_ {1} \ operatorname {e} ^ {(a + b \ mathrm {i}) x} + c_ {2} \ operatorname {e} ^ {(ab \ mathrm {i} ) x}, \ quad c_ {1}, c_ {2} \ in \ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda09561f6cf1347557d33d552858636eb651d2f)
eller, som tilsvarer:
y(x)=epåx(d1cos(bx)+d2synd(bx)),d1,d2∈VS{\ displaystyle y (x) = \ operatorname {e} ^ {ax} \ left (d_ {1} \ cos (bx) + d_ {2} \ sin (bx) \ right), \ quad d_ {1}, d_ {2} \ in \ mathbb {C}}![{\ displaystyle y (x) = \ operatorname {e} ^ {ax} \ left (d_ {1} \ cos (bx) + d_ {2} \ sin (bx) \ right), \ quad d_ {1}, d_ {2} \ in \ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384a0d02cccc9280b610281ff2f66726cc3cd950)
.
Interessen for det andre uttrykket er å gi funksjonene reelle verdiløsninger av differensiallikningen, for de reelle verdiene til konstantene .
d1,d2{\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}}![d_1, d_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2d0fcdb302558f5c12c37fc4e8cd104113539)
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den
engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen
" Characteristic equation (calculus) " ( se listen over forfattere ) .
-
(en) C. Henry Edwards , David E. Penney og David Calvis , Differential Equations: Computing and Modelling , Upper Saddle River (New Jersey), Pearson Education ( ISBN 978-0-13- 600 438-7 ) , kap. 3, s. 156–170
-
(i) David Eugene Smith , " History of Modern Mathematics: Differential Equations " , University of Florida Southern
-
(en) Herman Chu, Gaurav Shah og Tom Macall, “ Lineære homogene ordinære differensialligninger med konstante koeffisienter ” , eFunda
-
(en) Abraham Cohen , En elementær avhandling om differensiallikninger , DC Heath and Company,1906
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">