Whithams ligning

I matematisk fysikk den Whitham ligning er en generell ligning som beskriver en ikke-lineær, spredende overflate tyngdebølge . Den ble etablert av Gerald Whitham i 1967.

Formulering

Det er skrevet som følger:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + \ alpha s {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} K (x- \ xi) \, {\ frac {\ partial s (\ xi, t)} {\ partial \ xi}} \, {\ text {d}} \ xi = 0}

Det er en integridifferensialligning av variabelen s (x, t) som gir overflatenes høyde i en hvilken som helst referanseramme. Den kjernen K ( x - ξ ) er spesifikk for problemet behandles.

Tyngdekraften bølger på en overflate

For overflatebølger har Stokes-bølgen av bølgetall k vært

{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {{\ frac {g} {k}} \, \ tanh (kh)}} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2} } {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}

hvor c er fasehastigheten , g tyngdekraften og h dybden til mediet i ro. K ( s ) er Fourier-transformasjonen

{\ displaystyle K (s) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c \, (k) \, {\ text {e}} ^ {iks} \, {\ text {d}} k}

Vi får ligningen til Korteweg og Vries fra utvidelsen av c ( k ) for bølger med stor lengde referert til amplituden kh ≪ 1

{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {gh}} \ left (1 - {\ frac {1} {6}} k ^ {2} h ^ {2} \ right) \ ,, \ qquad K (s) = {\ sqrt {gh}} \ left (\ delta (s) + {\ frac {1} {6}} h ^ {2} \, \ delta ^ {\ prime \ prime} (s) \ høyre) \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}

hvor δ ( s ) er Dirac-funksjonen .

Bengt Fornberg og Gerald Whitham studerte kjernen K ( s ) prydet av g og h

{\ displaystyle c = {\ frac {\ nu ^ {2}} {\ nu ^ {2} + k ^ {2}}} \ ,, \ qquad K (s) = {\ frac {1} {2} } \ nu {\ text {e}} ^ {- \ nu s} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}}}

Den resulterende integrasjonen av differensial kan reduseres til den delvise differensialligningen kalt Fornberg-Whitham-ligningen.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} - \ nu ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ partial s} {\ delvis t}} + {\ frac {3} {2}} \, s \, {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} \ right) + {\ frac {\ partial s} {\ partial x }} = 0}

Noen løsninger viser diskontinuiteter av det første derivatet ( peakon ) og sjokkbølger ( surge ), sistnevnte er fraværende fra løsningene i ligningen til Korteweg og Vries .

Referanser

(in) L. Debnath, ikke- lineær delvis differensialligning for forskere og ingeniører , Springer ,2005, 737 s. ( ISBN 978-0-8176-4323-2 , les online )
(en) PI Naumkin og I .A. Shishmarev, ikke- lineære ikke-lokale ligninger i teorien om bølger , American Mathematical Society ,1994, 289 s. ( ISBN 978-0-8218-4573-8 )
(en) Gerald B. Whitham , “ Variasjonsmetoder og applikasjoner på vannbølger ” , Proceedings of the Royal Society A , vol. 299, nr . 14561967, s. 6–25
(en) B. Fornberg og GB Whitham , “ A Numerical and Theoretical Study of Certain Nonlinear Wave Phenomena ” , Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. 289, nr . 13611978, s. 373-404
(in) Gerald B. Whitham , Lineær og ikke-lineær bølge , Wiley ,1974( ISBN 978-0-471-35942-5 , les online )

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Whitham-ligning " ( se forfatterlisten ) .

Se også