Delvis differensialligning

I matematikk , mer presist i differensialregning , er en delvis differensialligning (noen ganger kalt en delvis differensialligning og forkortet PDE ) en differensialligning hvis løsninger er de ukjente funksjonene, avhengig av flere variabler som tilfredsstiller visse betingelser angående deres delvise derivater .

En PDE har ofte veldig mange løsninger, forholdene er mindre strenge enn i tilfelle en vanlig differensialligning med en enkelt variabel; problemer inkluderer ofte grensebetingelser som begrenser settet med løsninger. Mens settene med løsninger av en ordinær differensialligning er parametrerte av en eller flere parametere som tilsvarer tilleggsbetingelsene, er det i tilfelle av PDE-er grensebetingelsene i form av en funksjon  ; intuitivt betyr dette at løsningen er mye større, noe som gjelder i nesten alle problemer.

PDE-er er allestedsnærværende i vitenskapene siden de vises like godt i strukturell dynamikk eller fluidmekanikk som i teoriene om gravitasjon , elektromagnetisme ( Maxwells ligninger ) eller finansmatematikk ( Black-Scholes-ligning ). De er vesentlige i områder som luftfarts- simulering , bilde syntese , eller værvarsling . Til slutt er de viktigste ligningene av generell relativitet og kvantemekanikk også PDE.

Et av de syv årtusenproblemene er å vise eksistensen og kontinuiteten over de opprinnelige dataene til et PDE-system kalt Navier-Stokes-ligningene .

Introduksjon

En veldig enkel delvis differensialligning er:

∂u∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

der u er en ukjent funksjon av x og y . Denne ligningen innebærer at verdiene u ( x , y ) er uavhengige av x . Løsningene i denne ligningen er:

u(x,y)=f(y),{\ displaystyle u (x, y) = f (y),}

hvor f er en funksjon av y .

Den vanlige differensialligningen

dudx=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = 0}

har for løsning:

u(x)=vs.,{\ displaystyle u (x) = c,}

med c en konstant verdi (uavhengig av x ). Disse to eksemplene illustrerer at generelt innebærer løsningen av en vanlig differensialligning en vilkårlig konstant, mens de partielle differensialligningene involverer vilkårlige funksjoner. En løsning av partielle differensiallikninger er generelt ikke unik.

Tre viktige kategorier av PDE er de lineære og homogene andreordens partielle differensiallikninger kalt elliptisk , hyperbolsk og parabolsk .

Notasjoner

I matematikk

For PDE-er, for enkelhets skyld, er det vanlig å skrive u den ukjente funksjonen og D x u (fransk notasjon) eller u x (angelsaksisk notasjon, mer utbredt) dens delvise derivat med hensyn til x, dvs. med det vanlige notasjoner av differensialregning:

ux=∂u∂x{\ displaystyle u_ {x} = {\ partial u \ over \ partial x}}

og for de andre delderivatene:

uxy=∂2u∂y∂x=∂∂y(∂u∂x){\ displaystyle u_ {xy} = {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y \, \ partial x} = {\ partial \ over \ partial y} \ left ({\ partial u \ over \ partial x} \ Ikke sant)}

I fysikk

Operatører av vektoranalyse brukes.

Sammendrag av vektoranalyse Operatøren nabla representerer settet med delvis derivater av ordre 1[∇→=(∂∂x∂∂y∂∂z)] {\ displaystyle \ left [{\ vec {\ nabla}} = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} { \ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {array}} \ right) \ right] \} For en vektorfunksjon , ved å bruke punktproduktet parat til det , definerer vi divergensen  :u→(x,y,z,t)=(ux(x,y,z,t)uy(x,y,z,t)uz(x,y,z,t)){\ displaystyle {\ vec {u}} \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \ left (x, y, z, t \ høyre) \\ u_ {y} \ left (x, y, z, t \ right) \\ u_ {z} \ left (x, y, z, t \ right) \ end {array}} \ right) }∇→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}  ∇→⋅u→(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z).(uxuyuz)=∂ux∂x+∂uy∂y+∂uz∂z≡dJegvu→{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {array}} \ right). \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ end {array}} \ right) = {\ frac {\ partial u_ {x}} { \ partial x}} + {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial z}} \ equiv {\ rm {div}} \, {\ vec {u}}} Ved å bruke kryssproduktet definerer vi rotasjonen  ∇→∧u→(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z)∧(uxuyuz)=(∂uz∂y-∂uy∂z∂ux∂z-∂uz∂x∂uy∂x-∂ux∂y)≡rot→u→≡vs.url→u→{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {u}} \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {array}} \ right) \ wedge \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c } {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial u_ {x}} { \ partial z}} - {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} \ end {array}} \ right) \ equiv {\ overrightarrow {\ rm {rot}}} \, {\ vec {u}} \ equiv {\ overrightarrow {\ rm { krøll}}} \, {\ vec {u}}} For en funksjon som til enhver tid i rommet knytter et skalartall, definerer vi gradienten :u(x,y,z,t){\ displaystyle u \ left (x, y, z, t \ right)}  ∇→u(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z).u(x,y,z,t)=(∂u∂x∂u∂y∂u∂z)=grpåd→u{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \, u \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ partial} {\ delvis x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {array}} \ right). u \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial y} } \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} \ end {array}} \ right) = {\ overrightarrow {\ rm {grad}}} \, u} Vi bruker også Laplacian-operatoren , analogt med avviket for andre ordens avledning. Δ≡∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ displaystyle \ Delta \ equiv \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}} se også vektoren Laplacian operator .  

Eksempler på EDP

Laplace-ligning

Den Laplace ligningen er en svært viktig grunnleggende PDE:

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ partial z ^ {2}} = 0}

hvor u = u ( x , y , z ) betegner den ukjente funksjonen.

Det er mulig å skrive denne funksjonen analytisk under visse begrensningsforhold og med en gitt geometri, for eksempel med sfæriske koordinater.

I vektoranalyse notasjon, ved hjelp av Laplacian operator Δ

Det vil si en bølgefunksjon.ψ≡u(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ equiv u \ left (x, y, z, t \ right) \} Δψ = 0{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ 0}

Forplantningsligning (eller vibrerende strengligning)

Denne PDE, kalt bølgeutbredelsesligningen , beskriver forplantningsfenomenene til lydbølger og elektromagnetiske bølger (inkludert lys). Den ukjente bølgefunksjonen er betegnet u (x, y, z, t), t som representerer tid:

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=1vs.2∂2u∂t2{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ delvis z ^ {2}} = {1 \ over c ^ {2}} {\ delvis ^ {2} u \ over \ delvis t ^ {2}}}

Tallet c representerer hastigheten eller forplantningshastigheten til bølgen u.

I vektoranalysenotasjon ved bruk av Laplacian-operatoren Δ  :

Det vil si en bølgefunksjon.ψ≡u(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ equiv u \ left (x, y, z, t \ right) \} Δψ = 1vs.2∂2ψ∂t2{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ psi \ over \ partial t ^ {2}}} Bølgeligning, generell form

Bølge  ψ{\ displaystyle ~ \ psi}		Langsgående del		Tverrgående del		Spredt		Dissipasjon
Δψ{\ displaystyle ~ \ Delta \ psi}	={\ displaystyle \ =}	grad→[div ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {grad}}} [{\ textrm {div}} \ \ psi]}	-{\ displaystyle \ -}	å rape→[å rape→ ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ left [{\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ \ psi \ right]}	={\ displaystyle \ =}	1vs.2∂2ψ∂t2{\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ psi \ over \ partial t ^ {2}}}	+{\ displaystyle \ +}	1α∂ψ∂t{\ displaystyle {1 \ over \ alpha} {\ partial \ psi \ over \ partial t}}

Se også seismisk bølge , mekanisk bølge , His , bølge på en vibrerende streng , stasjonær bølge i et rør , Maxwell ligninger

Fourierligning

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=1α∂u∂t{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ delvis z ^ {2}} = {1 \ over \ alpha} {\ delvis u \ over \ delvis t}}

Denne PDE kalles også varmeligningen . Funksjonen u representerer temperaturen. Derivatet av orden 1 med hensyn til tid gjenspeiler fenomenets irreversibilitet. Tallet kalles mediumets termiske diffusivitet . α{\ displaystyle \ alpha}

I vektoranalysenotasjon ved bruk av Laplacian-operatoren Δ  :

Det vil si en funksjon av en temperaturbølge.ψ≡u(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ equiv u \ left (x, y, z, t \ right) \} Δψ = 1α∂ψ∂t{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ over \ alpha} {\ partial \ psi \ over \ partial t}}

Poisson-ligning

Bruke Laplacian-operatøren Δ  :

La være bølgefunksjonen og ladetettheten.ψ(x,y,z) {\ displaystyle \ psi \ left (x, y, z \ right) \}ρ(x,y,z,t){\ displaystyle \ rho \ left (x, y, z, t \ right)} Δψ =-4πρ{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = -4 \ pi \ rho}

Adveksjonsligning

Den 1-dimensjonale adveksjonsligningen av rom og tid beskriver mengdetransporten med adveksjonshastighetenu(x,t){\ displaystyle u (x, t)}på{\ displaystyle a}

∂u∂t+på∂u∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + a {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

Den har løsning for hvor er den opprinnelige tilstanden . u(x,t)=η(x-påt){\ displaystyle u (x, t) = \ eta (x-at)}t⩾0{\ displaystyle t \ geqslant 0}η(x){\ displaystyle \ eta (x)}t=0{\ displaystyle t = 0}

Adveksjonsligningen spiller en grunnleggende rolle i studiet av numeriske oppløsningsmetoder ved endelig volummetoden til hyperbolske systemer for bevaringslover som Eulers ligninger i komprimerbar væskedynamikk.

Langmuir bølge ligning

La være bølgefunksjonen og ladetettheten. ψ(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ left (x, y, z, t \ right) \}ρ(x,y,z,t){\ displaystyle \ rho \ left (x, y, z, t \ right)}

Δψ =1vs.2.∂2ψ∂t2-ρϵ{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = {1 \ over c ^ {2}}. {\ partial ^ {2} \ psi \ over \ partial t ^ {2}} - {\ rho \ over \ epsilon}}

Denne ligningen beskriver langsgående elektriske bølger som forplanter seg i et plasma .

Stokes ligning

Stokes-systemet, som beskriver strømmen av en ukomprimerbar newtonsk væske i steady state og lavt Reynolds-tall , er skrevet:

ηΔv→=grpåd→s-ρf→{\ displaystyle \ eta \ Delta {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p- \ rho {\ vec {f}}} dJegvv→=0{\ displaystyle {\ rm {div}} \, {\ vec {v}} = 0} Rangeringer:

• v→(r→){\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ vec {r}})} er hastigheten på væsken;
• s(r→){\ displaystyle p ({\ vec {r}})}er trykket i væsken;
• ρ{\ displaystyle \ rho} er væskens tetthet
• η{\ displaystyle \ eta}er den dynamiske viskositeten til væsken;
• f→{\ displaystyle {\ vec {f}}} er en massekraft som utøves i væsken (for eksempel: tyngdekraften);
• grpåd→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}}, div og Δ er henholdsvis differensialoperatørens gradient, divergens og laplacian.

 

Schrödingers ligning

Jegℏ∂ψ∂t =[-ℏ22mΔ+V]ψ{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ psi \ over \ partial t} \ = \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ Delta + V \ right] \ psi} Rangeringer:

• ψ(x,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ left (x, y, z, t \ right)}, bølgefunksjon.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} redusert Planck konstant .
• m er massen av partikkelen.
• Jeg{\ displaystyle i}imaginært komplekst tall som .Jeg2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}
• V potensiell operatør (representerer potensialet når som helst), generelt elektrisk.
• Δ er laplacian.

 

Klein-Gordon-ligning

Enten en bølgefunksjon. ψ(x,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ left (x, y, z, t \ right)}

-ℏ2∂2ψ∂t2 =-ℏ2vs.2Δψ+m2vs.4ψ{\ displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ partial ^ {2} \ psi \ over \ partial t ^ {2}} \ = - \ hbar ^ {2} c ^ {2} \ Delta \ psi + m ^ {2} c ^ {4} \ psi} Rangeringer:

• ψ(x,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ left (x, y, z, t \ right)}, bølgefunksjon.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} redusert Planck konstant .
• m er massen av partikkelen.
• det er lysets hastighet
• Δ er laplacian.

 

Oppløsningsmetoder

Analytisk tilnærming

• Kjennetegn metode

Digital oppløsning

De mest brukte numeriske metodene for å løse partielle differensialligninger er:

• Endelig forskjellsmetode
• Endelig elementmetode
• Endelig volummetode
• Kjennetegn metode

Merknader og referanser

1. Stéphane Mottin , “En analytisk løsning av Laplace-ligningen med Robin-forhold ved å anvende Legendre-transform”, Integral Transforms and Special Functions , vol. 27 ( n o  4), 2016, s.289-306. Les online

Relaterte artikler

• Frobenius 'teorem (differensiell geometri)
• Teorem om Cauchy-Kowalevski
• Differensialoperatør
• Pseudo-differensialoperatør
• Laplace transform
• Grunnleggende prinsipp for Ehrenpreis

Bibliografi

• VI Arnold: Lessons on Partial Differential Equations , Cassini, 2016.
• Claire David , Pierre Gosselet: Partielle differensiallikninger - Kurs og korrigerte øvelser , 2. utgave. Dunod, 2015.
• Ahmed Lesfari, Ordinære differensiallikninger og delvis differensiallikninger - Kurs og korrigerte øvelser . Ellipser, 2015.
• Edward Goursat: Lessons på integrering av partielle differensialligninger av andre orden med to uavhengige variabler, Volume I . Hachette / BNF, 2014.
• Mourad Choulli, Funksjonsanalyse - Partielle differensialligninger - Kurs og korrigerte øvelser . Vuibert, 2013.
• Hervé Le Dret, ikke- lineær elliptisk partiell differensialligning . Springer, 2013.
• Lionel Roques: Reaksjon-diffusjonsmodeller for romlig økologi . Quae, 2013.
• Pierre Dreyfuss: Introduksjon til analysen av Navier-Stokes ligninger . Ellipser, 2012.
• Claude Wagschal: Distribusjoner, mikrolokal analyse, delvis differensialligninger . Hermann, 2011.
• Claude Zuily: Problemer med distribusjoner og delvis differensiallikninger . Cassini, 2010.
• Bruno Després: Eulerian, Lagrangian Conservation Laws and Numerical Methods . Springer / SMAI, 2010.
• Jacques Hadamard: Cauchy-problemet og hyperbolske lineære partielle differensialligninger . Jacques Gabay, 2008.
• Jean Dieudonné: Analyseelementer - Tome VIII - Lineære funksjonelle ligninger, andre del, grenseproblemer . Jacques Gabay, 2008.
• Bruno Després, François Dubois: Hyperboliske systemer for bevaringslover . Polyteknisk skole, 2005.
• Jean Dieudonné: Analyseelementer - Tome VII - Lineære funksjonelle ligninger - Første del: pseudo-differensielle operatorer . Jacques Gabay, 2003.
• Claude Zuily: Elementer av distribusjoner og delvise differensialligninger . Dunod, 2002.
• Jacques-Louis Lions: Noen metoder for å løse problemer med ikke-lineære grenser . Dunod, 2002 (opptrykk av teksten fra 1969).
• Jean-Michel Rakotoson, Jean-Emile Rakotoson: Funksjonell analyse anvendt på delvise differensialligninger . PUF, 1999.
• Denis Serre: Systemer for bevaringslover. Jeg, hyperbolisitet, entropier, sjokkbølger . Diderot-redaktør, 1996.
• Denis Serre: Systemer for bevaringslover. II, Geometriske strukturer, svingning og blandede problemer . Diderot-redaktør, 1996.
• A. Martin: Løst øvelse: delvis differensialligninger . Dunod, 1991.
• H. Reinhard: Delvise differensialligninger - introduksjon . Dunod, 1991.
• Camille Jordan: Analysekurs, bind III, 3. utgave . Jacques Gabay, 1991 (opptrykk av 1915-teksten).
• Robert Dautray, Jacques-Louis Lions: Matematisk analyse og numerisk beregning for vitenskap og teknikk . Masson, 1984.
• Jean Vaillant: Hyperbolske og holomorfe delvise differensialligninger . Hermann, 1984.
• Jacques Chazarain, Alain Piriou: Introduksjon til teorien om lineære partielle differensialligninger . Gauthier-Villars, 1981.
• Serge Colombo: Delvise differensialligninger i fysikk og mekanikk for kontinuerlige medier . Masson, 1976.
• OA Ladyženskaja, NN Ural'ceva: Partielle differensiallikninger av elliptisk type . Dunod, 1968.
• J. Necas: Direkte metoder i elliptisk ligningsteori . Masson, 1967.
• Édouard Goursat: Leksjoner om integrering av førsteordens delvise differensialligninger, 2. utgave . Hermann, 1921.
• (en) Lars Hörmander , Analysen av lineære partielle differensialoperatorer , Springer-Verlag, 1983-1985. Referanseavhandling i fire bind, av mottakeren av Fields Medal fra 1962. Volume I er undertekst: Distribusjonsteori og Fourier-analyse , og bind II: Differensialoperatorer med konstante koeffisienter . Volum III og IV er viet til moderne teori via pseudodifferensielle operatører .
• (en) Lars Hörmander, Lineær delvis differensialoperatør , Springer-Verlag, 1963. Denne boken inneholder verk som forfatteren ble tildelt Fields-medaljen for i 1962.
• (i) Yu. V. Egorov og MA Shubin  (i) , Foundations i den klassiske teorien om partielle differensialligninger , Springer-Verlag, to th ed., 1998 ( ISBN  3-540-63825-3 ) . Første bind i en ni-delt serie skrevet for Encyclopaedia of Mathematical Sciences . Følgende bind er viet til moderne teori via pseudo-differensialoperatører.
• (no) Michael E. Taylor  (no) , Partial Differential Equations - Basic Theory , koll. "Tekster i Applied Mathematics" ( N o  23), Springer-Verlag, 2 th ed. 1999 ( ISBN  0-387-94654-3 ) . Første bind i en serie som inkluderer tre. Følgende bind er viet til moderne teori via pseudo-differensialoperatører.
• (en) Vladimir I. Arnold , Forelesninger om partielle differensiallikninger , Springer-Verlag, 2004 ( ISBN  3-540-40448-1 ) .

Eksterne linker

• A. Lesfari: Introduksjon til delvise differensialligninger , hovedkurs , 2014-2015