Utdannet algebra

I matematikk , i lineær algebra , kaller vi gradert algebra en algebra med en tilleggsstruktur, kalt gradering .

Definisjon

Eller A en algebra over et felt (eller mer generelt på en ring ) K . En gradering på A er dataene for en familie av vektor underrom av A tilfredsstillende: (PÅJeg)Jeg∈IKKE{\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}

• PÅ=⨁Jeg∈IKKEPÅJeg{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i}} ;
• ∀Jeg,j∈IKKE,PÅJegPÅj⊂PÅJeg+j{\ displaystyle \ forall i, j \ in \ mathbb {N}, A_ {i} A_ {j} \ subset A_ {i + j}}Det vil si .∀[Jeg,j∈IKKE,x∈PÅJeg,y∈PÅj],  x×y∈PÅJeg+j{\ displaystyle \ forall \ left [i, j \ in \ mathbb {N}, x \ i A_ {i}, y \ i A_ {j} \ høyre], \ \ x \ ganger y \ i A_ {i + j}}

Algebra A sies da å være gradert (noen ganger ℕ-gradert, som et spesielt tilfelle av forestillingen om algebra M -gradert for en monoid M ).

Elementene i A I er sagt å være homogene av grad i . Et ideal sies å være homogent hvis det for hvert element a det inneholder også inneholder de homogene delene av a . Dette tilsvarer å si at jeg er generert av homogene elementer.

Enhver ring (ikke gradert) A kan være forsynt med en gradering i utga A 0 = A og A i = 0 for alle i > 0. Denne konstruksjon kalles en triviell gradering av A .

Et kart f mellom graderte algebraer A og B (på samme felt) er en homomorfisme av graderte algebraer hvis for alle jeg . f(PÅJeg)⊂BJeg{\ displaystyle f (A_ {i}) \ subset B_ {i}}

Eksempler

• Ringen av polynomer i flere ubestemte K [ X 1 ,…, X n ], hvor de homogene elementene av grad n er de homogene polynomene av grad n .
• Den tensor algebra -T ( V ) over et vektorrom V , hvor de homogene elementer av grad n er tensors av formen .v1⊗v2⊗⋯⊗vikke{\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ dots \ otimes v_ {n}}
• Den symmetriske algebra S ( V ) og den ytre algebra Λ ( V ) er graderte algebraer, de homogene elementene i grad n er bildene av de homogene elementene i T ( V ). Mer generelt, hvis et ideelt I av en gradert algebra A er homogent, blir kvotienten A / I naturlig gradert av(PÅ/Jeg)Jeg=PÅJeg/(Jeg∩PÅJeg).{\ displaystyle (A / I) _ {i} = A_ {i} / (I \ cap A_ {i}).}

Merknader og referanser

1. N. Bourbaki , Algebra ( les online ) , s.  III.30.

Relatert artikkel

Differensialgradert algebra  (en)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">