Den Lorenz attraktor er en fraktal struktur svarende til den langsiktige oppførselen til Lorenz oscillator. De attraktor viser hvordan de forskjellige variabler av det dynamiske systemet utvikler seg over tid i en ikke-periodisk bane.
I 1963 var meteorolog Edward Lorenz den første til å fremheve den sannsynlige kaotiske naturen til meteorologien . Lorenz-modellen, også kalt Lorenz dynamisk system eller Lorenz-oscillator, er en forenklet modellering av meteorologiske fenomener basert på væskemekanikk . Denne modellen er et tredimensjonalt dynamisk system som genererer kaotisk oppførsel under visse forhold.
Lorenzs modell hadde viktige konsekvenser for å vise mulige grenser for muligheten til å forutsi langsiktig klima og meteorologisk utvikling. Dette er en viktig del av teorien om at atmosfærene til planeter og stjerner kan ha et bredt utvalg av kvasi-periodiske regimer og er gjenstand for brå og tilsynelatende tilfeldige endringer. Det er også et nyttig eksempel for teorien om dynamiske systemer som fungerer som en kilde for nye matematiske begreper.
Attraktoren og tilhørende ligninger ble offentliggjort i 1963 av Edward Lorenz .
Matematisk er koblingen av jordens atmosfære til havet beskrevet av Navier-Stokes- systemet med koblede partielle differensialligninger av fluidmekanikk . Dette ligningssystemet var altfor komplisert til å løse numerisk for datamaskiner som eksisterte på Lorenz 'tid. Han hadde derfor ideen om jakt etter en svært forenklet modell av disse ligningene til å studere en bestemt fysisk situasjon: fenomenet av Rayleigh - Bénard konveksjon . Det resulterer da i et differensialdynamisk system som bare har tre frihetsgrader, mye enklere å integrere numerisk enn startligningene.
Dette differensialsystemet er skrevet:
der σ , ρ og β er tre strengt positive, faste parametere. Systemet som følge av forenkling av ligningene som styrer Rayleigh-Bénard-konveksjon , er parameterne navngitt i henhold til deres fysiske opprinnelse: σ er Prandtl-tallet , og ρ , feil kalt "Rayleigh-nummer", er faktisk forholdet fra Rayleigh-tallet Ra til det kritiske Rayleigh-tallet Ra c (Ra c er verdien av Ra over hvilket det fysiske systemet ikke kan forbli invariant over tid, der det derfor er underlagt konveksjonsbevegelser ).
De dynamiske variablene x , y og z representerer systemets tilstand når som helst. Den fysiske tolkningen er som følger: x ( t ) er proporsjonal med intensiteten til konveksjonsbevegelsen, y ( t ) er proporsjonal med temperaturdifferansen mellom opp- og nedadgående trekk, og z ( t ) er proporsjonal med avviket til vertikal temperaturprofil fra en lineær profil.
Vi setter ofte σ = 10 og β = 8/3, ρ gjenværende variabel. Systemet presenterer en kaotisk oppførsel for ρ = 28, etter en viss tid i pseudo-periodisk regime (i størrelsesorden 30 sekunder). Denne varigheten avhenger av ρ : den kan gå opp til 180 sekunder for ρ = 24,3. Terskelen for å etablere det kaotiske regimet er mellom 24.29 og 24.30 for disse verdiene av σ og β .
BalansepoengDe likevektspunkter , eller faste punkter, i systemet er den konstante ( x , y , z ) oppløsninger av differensialsystemet . Det er en eller tre:
Lorenz-tiltrekkeren er definert som settet med langsiktige baner i det dynamiske Lorenz-systemet ovenfor.
Faktisk når parametrene σ , ρ og β tar følgende verdier: σ = 10, ρ = 28 og β = 8/3, presenterer det differensielle dynamiske systemet til Lorenz en merkelig tiltrekker i form av sommerfuglvinger, representert på figuren motsatt .
I nesten alle innledende forhold (forskjellig fra faste punkter), nærmer bane til systemet seg raskt tiltrekkeren, banen starter med å vikle seg rundt den ene vingen, deretter hoppe fra den ene vingen til den andre. så videre, tilsynelatende uberegnelig.
Eksistensen av en merkelig tiltrekker for visse verdier av parametrene ble antatt av Edward Lorenz allerede i 1963 på grunnlag av numeriske simuleringer. Det var imidlertid ikke før i 2001 å ha en grundig demonstrasjon av dette faktum av Warwick Tucker.
Attraktoren er i disse tilfellene en fraktal av Hausdorff-dimensjonen på mellom 2 og 3.
ρ = 28, σ = 10, β = 8/3
ρ = 28
ρ = 15
Animasjon av ρ = 0 til 28
For å matematisk kunne studere Lorenz-tiltrekkeren, har det oppstått strenge, men forskjellige modeller av den i den vitenskapelige litteraturen. Hovedinteressen deres var at de var lettere å studere, og fremfor alt var vi sikre på deres eksistens (men vi visste ikke om Lorenz-tiltrekkeren ble riktig beskrevet av disse modellene, se ovenfor ).