I matematikk, Pasch s aksiom er et aksiom av geometri , er angitt i 1882, og som tar sikte på å fremheve en egenskap implisitt brukt inntil da, særlig i elementer av Euclid .
Paschs aksiom er angitt som følger:
La A , B og C være tre ikke-justerte punkter og ( d ) en linje av planet ABC som ikke passerer gjennom noen av punktene A , B og C ; hvis linjen ( d ) passerer gjennom et av punktene i segmentet AB , passerer den enten gjennom et punkt i segmentet BC eller gjennom et punkt i segmentet AC .Dette aksiomet er tatt opp av David Hilbert i hans Foundations of geometry publisert i 1899, og utgjør den fjerde av aksiomene i ordenen . I den syvende utgaven av verket brukes det av Hilbert for å bevise følgende egenskaper:
Paschs aksiom spiller en avgjørende rolle i forestillingen om et halvplan . En linje d skiller punktene på planet som ikke tilhører denne linjen, i to deler som kalles halvplan og har følgende egenskaper: ethvert punkt A i den første delen bestemmer med et punkt B i den andre delen et segment [ AB ] som krysser linje d , og to punkter av samme del bestemmer et segment som ikke krysser linje d . Vi trenger Paschs aksiom for å vise at hvis B og C er i samme halvplan som A , så krysser ikke [ BC ] linje d .
Paschs aksiom fyller visse hull i Euclids bevis, for eksempel prop. 16 i bok I som sier at den utvidede vinkelen som er dannet, har utvidet den ene siden av en hvilken som helst trekant, og er større enn hver av vinklene inne i trekanten og motsatt den utvendige vinkelen