Sannsynlighetsaksiomer

I sannsynlighetsteori , sannsynlighets aksiomer , også kalt Kolmogorov aksiomer oppkalt etter Andrei Nikolaievich Kolmogorov som utviklet dem, utpeke de egenskapene som en søknad må bekrefte på for å formalisere ideen om sannsynlighet . P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

Disse egenskapene kan oppsummeres som følger: hvis er et mål over et målbart rom , må det være et sannsynlighetsrom . P{\ displaystyle \ mathbb {P}} (Ω,PÅ){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ right)}(Ω,PÅ,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}

Den Cox teorem gir en annen tilnærming til formal sannsynlighetene foretrekkes av noen Bayesiansk .

I det følgende vurderer vi et ikke-fritt sett utstyrt med en stamme . Ω{\ displaystyle \ Omega}PÅ{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Første aksiom

Vi kaller hendelser elementene i . PÅ{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

For ethvert arrangement  :  PÅ{\ displaystyle \ A}

0≤P(PÅ)≤1.{\ displaystyle 0 \ leq \ mathbb {P} (A) \ leq 1.}

Det vil si at sannsynligheten for en hendelse er representert med et reelt tall mellom 0 og 1.

Andre aksiom

 Ω{\ displaystyle \ \ Omega}betegner universet assosiert med det vurderte tilfeldige eksperimentet,

P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1},

Det vil si at sannsynligheten for den bestemte hendelsen, eller for å oppnå noe resultat fra universet, er lik 1. Med andre ord er sannsynligheten for å gjennomføre den ene eller den andre av de grunnleggende hendelsene lik 1.

Tredje aksiom

Enhver tellbar familie på to og to usammenhengende hendelser (vi sier også: to og to uforenlige ), tilfredsstiller: PÅ1,PÅ2,...{\ displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}, \ dots}

P(PÅ1∪PÅ2∪⋯)=∑Jeg=1+∞P(PÅJeg){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots) = \ sum _ {i = 1} ^ {+ \ infty} \ mathbb {P} (A_ {i}) }.

Det vil si at sannsynligheten for en hendelse som er den usammenhengende ( tellbare ) foreningen av hendelser er lik summen av sannsynligheten for disse hendelsene. Dette kalles σ-additivitet, eller tellbar additivitet (hvis hendelsene ikke er to og to usammenhengende, er dette forholdet ikke lenger sant generelt).

Konsekvenser

Fra aksiomene demonstreres et antall egenskaper som er nyttige for beregning av sannsynligheter, for eksempel:

• P(∅)=0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyset) = 0.}

Demonstrasjon

Bruk 3 th  aksiom med for alle oppnås PÅk=∅ {\ displaystyle A_ {k} = \ emptyset \}k. {\ displaystyle k. \}

P(∅)=∑k≥1P(∅),{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyset) = \ sum _ {k \ geq 1} \ mathbb {P} (\ emptyset),}

forhold som ikke er tilfredsstilt hvis begrepet til høyre er verdt siden da. Det gjenstår bare det som dessuten er passende. P(∅)∈]0,1], {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyset) \ in] 0,1], \}+∞. {\ displaystyle + \ infty. \}P(∅)=0, {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyset) = 0, \}

Merk: spesielt forbyr dette universet å være tomt, det andre aksiomet krever at dets mål er 1 (og derfor ikke null a fortiori ).

• Hvis , er to inkompatible (eller usammenhengende) hendelser, daPÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

P(PÅ∪B)=P(PÅ)+P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cup B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B).}

• Mer generelt, hvis er en familie av hendelser 2 til 2 inkompatibel, da(PÅk)1≤k≤ikke{\ displaystyle (A_ {k}) _ {1 \ leq k \ leq n}}

P(⋃1≤k≤ikkePÅk)=∑1≤k≤ikkeP(PÅk).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} \ right) = \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} \ mathbb {P} (A_ {k}).} Demonstrasjon

Bruk 3 e  aksiomet med for alle er godt oppnår et resultat av inkompatible hendelser 2-2 som f.eks PÅk=∅ {\ displaystyle A_ {k} = \ emptyset \}k≥ikke+1. {\ displaystyle k \ geq n + 1. \}

⋃1≤k≤ikkePÅk=⋃k≥1PÅk,{\ displaystyle \ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} = \ bigcup _ {k \ geq 1} A_ {k},}

derfor

P(⋃1≤k≤ikkePÅk)=P(⋃k≥1PÅk),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {k \ geq 1} A_ { k} \ høyre),}

men i kraft av det tredje aksiomet

P(⋃k≥1PÅk)=∑k≥1P(PÅk){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {k \ geq 1} A_ {k} \ right) = \ sum _ {k \ geq 1} \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ Ikke sant)}

og til slutt, siden vi oppnår ønsket resultat for alt . k≥ikke+1, {\ displaystyle k \ geq n + 1, \} P(PÅk)=P(∅)=0, {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ emptyset \ right) = 0, \}

• P(B∖PÅ)=P(B)-P(PÅ∩B){\ displaystyle \ mathbb {P} (B \ setminus A) = \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B)};

Denne relasjonen betyr at sannsynligheten for at B vil oppstå, men ikke A, er lik differansen . Dette forholdet følger av det faktum at B er en usammenhengende forening av og av P(B)-P(PÅ∩B){\ displaystyle \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B)}B∖PÅ{\ displaystyle B \ setminus A}PÅ∩B.{\ displaystyle A \ cap B.}

• Spesielt hvis , daPÅ⊂B{\ displaystyle A \ subset B}

P(PÅ)≤P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A) \ leq \ mathbb {P} (B)}

Det er egenskapen til sannsynlighetens vekst . Faktisk, i det spesielle tilfellet der den foregående eiendommen er skrevet PÅ⊂B{\ displaystyle A \ subset B}

P(B∖PÅ)=P(B)-P(PÅ), {\ displaystyle \ mathbb {P} (B \ setminus A) = \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A), \} der første periode er klart positiv eller null.

• I det spesielle tilfellet der dette gir det, for enhver hendelse ,B=Ω,{\ displaystyle B = \ Omega,}PÅ{\ displaystyle A}

P(Ω∖PÅ)=1-P(PÅ){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega \ setminus A) = 1- \ mathbb {P} (A)}

Dette betyr at sannsynligheten for at en hendelse ikke vil oppstå er lik 1 minus sannsynligheten for at den vil inntreffe; denne egenskapen brukes når det er lettere å bestemme sannsynligheten for den motsatte hendelsen enn den for selve hendelsen.

• For alle hendelser , ,PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

P(PÅ∪B)=P(PÅ)+P(B)-P(PÅ∩B) ≤ P(PÅ)+P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cup B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B) \ \ leq \ \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B).}

Dette betyr at sannsynligheten for at minst en av hendelsene eller inntreffer er lik summen av sannsynlighetene som og som skjer, minus sannsynligheten for at og skjer samtidig. Like måte, PÅ{\ displaystyle A} B{\ displaystyle B}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}PÅ{\ displaystyle A} B{\ displaystyle B}

P(PÅ∪B∪VS)=P(PÅ)+P(B)+P(VS)-P(B∩VS)-P(VS∩PÅ)-P(PÅ∩B)+P(PÅ∩B∩VS).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cup B \ cup C) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (C) - \ mathbb {P} (B \ cap C) - \ mathbb {P} (C \ cap A) - \ mathbb {P} (A \ cap B) + \ mathbb {P} (A \ cap B \ cap C).}

• Disse to siste formlene er spesielle tilfeller (n = 2.3) av inkluderings-utelukkelsesprinsippet som noen ganger bærer navnet " Poincaré sieve formula ":

P(⋃Jeg=1ikkePÅJeg)=∑k=1ikke((-1)k-1∑1≤Jeg1<Jeg2<...<Jegk≤ikkeP(PÅJeg1∩PÅJeg2∩...∩PÅJegk)),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\, \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \, \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ( (-1) ^ {k-1} \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ ldots <i_ {k} \ leq n} \ mathbb {P} \ left (A_ {i_ { 1}} \ cap A_ {i_ {2}} \ cap \ ldots \ cap A_ {i_ {k}} \ right) \ right),}

som gir sannsynligheten for forening av n ikke nødvendigvis uensartede sett .

• Ved induksjon generaliserer ulikheten oppnådd for n = 2:

P(⋃Jeg=1ikkePÅJeg)≤∑k=1ikkeP(PÅk).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\, \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \, \ right) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} \ venstre (A_ {k} \ høyre).}

Økende og synkende grenser eller Eiendom med monoton kontinuitet

• Enhver økende rekkefølge av hendelser tilfredsstiller:PÅ1⊂PÅ2⊂PÅ3⊂...{\ displaystyle A_ {1} \, \ subset \, A_ {2} \, \ subset \, A_ {3} \, \ subset \, \ dots}

P(PÅ1∪PÅ2∪⋯)=limikkeP(PÅikke).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}).}

Det vil si at sannsynligheten for grensen for en økende sekvens av hendelser (som i dette tilfellet er den tellbare foreningen av alle hendelsene i denne sekvensen) er lik grensen for den numeriske sekvensen for sannsynligheter for disse hendelsene.

Demonstrasjon

Vi stiller

B1=PÅ1og∀ikke≥2, Bikke=PÅikke∖PÅikke-1.{\ displaystyle B_ {1} = A_ {1} \ quad {\ text {and}} \ quad \ forall n \ geq 2, \ B_ {n} = A_ {n} \ backslash A_ {n-1}.}

Så de er usammenhengende og verifiserer BJeg{\ displaystyle B_ {i}}

⋃ikke≥1Bikke=⋃ikke≥1PÅikkeog∀ikke≥1, ⋃k=1ikkeBk=PÅikke.{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ quad {\ text {and}} \ quad \ forall n \ geq 1, \ \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} B_ {k} = A_ {n}.}

Egenskapene til henholdsvis σ-additivitet og additivitet betyr det

∑ikke≥1P(Bikke)=P(⋃ikke≥1PÅikke)og∀ikke≥1, ∑k=1ikkeP(Bk)=P(PÅikke).{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (B_ {n}) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ forall n \ geq 1, \ \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}) = \ mathbb {P} (A_ {n }).}

Så er ingen ringere enn definisjonen av summen av en serie som grensen for dens delvise summer. P(PÅ1∪PÅ2∪⋯)=limikkeP(PÅikke){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n})}

• Enhver synkende hendelsesforløp tilfredsstiller:PÅ1⊃PÅ2⊃PÅ3⊃...{\ displaystyle A_ {1} \, \ supset \, A_ {2} \, \ supset \, A_ {3} \, \ supset \, \ dots}

P(PÅ1∩PÅ2∩⋯)=limikkeP(PÅikke).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}).}

Det vil si at sannsynligheten for grensen for en avtagende sekvens av hendelser (som i dette tilfellet er skjæringspunktet - tellbar - av alle hendelsene i denne sekvensen) er lik grensen for den numeriske sekvensen for sannsynligheten for disse hendelsene.

• Boolsk ulikhet . Enhver serie hendelser fornøyd:B1,B2,B3,...{\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ dots}

P(B1∪B2∪⋯)≤∑ikkeP(Bikke).{\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {1} \ cup B_ {2} \ cup \ cdots) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} (B_ {n}).} Demonstrasjon

Vi stiller

PÅikke=B1∪B2∪⋯∪Bikke=⋃k=1ikkeBk.{\ displaystyle A_ {n} = B_ {1} \ cup B_ {2} \ cup \ dots \ cup B_ {n} = \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} B_ {k}.}

Dann dem deretter en økende sekvens og PÅJeg{\ displaystyle A_ {i}}

⋃ikke≥1PÅikke=⋃ikke≥1Bikke.{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n}.}

Videre så vi over det

P(PÅikke)≤∑k=1ikkeP(Bk),{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n}) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}),}

derfor

P(⋃ikke≥1Bikke)=P(⋃ikke≥1PÅikke)=limikkeP(PÅikke)≤limikke∑k=1ikkeP(Bk)=∑ikke≥1P(Bikke).{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1 } A_ {n} \ right) & = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) \\ & \ leq \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}) \\ & = \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (B_ {n}). \ end {justert}}}

• La oss peke på to viktige konsekvenser av den boolske ulikheten:
  • En endelig eller tellbar forening av ubetydelige sett er i seg selv ubetydelig;
  • Et endelig eller tellbart skjæringspunkt av nesten sikre sett er i seg selv nesten trygt.

Formulering fra teorien om måling

Tilsvarende, er det bare å anvise en tripletten representerer en sannsynlighet plass , slik som en målt plass hvis utstrekning , har det spesielle å ha en total masse lik 1: (Ω,PÅ,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

P(Ω)=1.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1.}