Måling (matematikk)

I matematikk , en positiv måling (eller ganske enkelt måle når det ikke er noen fare for forveksling) er en funksjon som knytter en nummerisk mengde med visse undergrupper av et gitt sett . Dette er et viktig konsept i analyse og sannsynlighetsteori .

Intuitivt ligner måling av et sett eller en delmengde begrepet størrelse eller kardinalitet for diskrete sett . I denne forstand er måling en generalisering av begrepene lengde , område eller volum i områder på henholdsvis dimensjon 1, 2 eller 3.

Studiet av mellomrom utstyrt med målinger er gjenstanden for teorien om måling .

Definisjon

Formelt er et mål μ en funksjon som knytter seg til hvert element S i en σ- algebra (eller stamme) av deler av X en verdi μ ( S ), som er en positiv reell eller uendelig. ${\ mathcal {A}}$

Definisjon - La være et målbart rom (dvs. et par hvor er et sett og er en stamme på ). ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $X$

Et μ-kart satt til med verdiene i kalles et mål når begge følgende egenskaper er oppfylt: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty],}$

det tomme settet har et nullmål: $\ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0$ ;
kartet μ er σ-tilsetningsstoff :

hvis E 1 , E 2 , ... er en tellbar familie av deler av X som tilhører, og hvis disse delene er to og to usammenhengende , så er målet μ ( E ) av deres forening E lik summen av målene til delene :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Relaterte terminologier

Når vi har en måling μ på et målbart rom , sier vi at tripletten er et målt rom ; $(X, {\ mathcal {A}})$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
For S målbart sett (det vil si for ) kalles verdien μ ( S ) målet for S ; ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}}}$
Når μ ( X ) er endelig, snakker vi om endelig mål eller begrenset mål ;
Når μ ( X ) = 1, snakker vi om et sannsynlighetsmål . Tripletten kalles da et sannsynlighetsrom . For denne rammen, se artikkelen aksiomer av sannsynligheter . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Når det er en tellbar dekning av X med delmengder av endelig mål, det vil si mer formelt, når det er en serie av elementer av stammen, alle av endelig mål, med ${\ displaystyle (E_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} E_ {n}}

, vi snakker om σ -endelig mål . Selv om det betyr å erstatte hver for en kan anta at sekvensen av delmengder som vises i definisjonen øker for inkludering.

E_k

{\ displaystyle E_ {0} \ cup \ ldots \ cup E_ {k},}

En delmengde S av X sies å være ubetydelig når den er inkludert i en T som tilhører stammen og har null mål. ${\ mathcal {A}}$
Tiltaket μ sies å være komplett når et ubetydelig sett tilhører stammen . ${\ mathcal {A}}$
Målbar funksjon .

Eiendommer

Følgende egenskaper kan lett oppnås fra de foregående aksiomene:

Tilsetning: Hvis E 1 og E 2 er to usammensatte målbare sett , er µ ( E 1 ∪ E 2 ) = µ ( E 1 ) + µ ( E 2 ).
Monotoni: Hvis E 1 og E 2 er to målbare sett slik at E 1 er en delmengde av E 2 , så er μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ).
Kontinuitet til venstre: Hvis E 1 , E 2 , E 3 , ... er målbare sett og hvis E n er et delsett av e n 1 for alle n , deretter unionen E av settene E n er målbar og μ ( E ) = lim μ ( E n ).
Kontinuitet til høyre: Hvis E 1 , E 2 , E 3 , ... er målbare sett og hvis, for alle n , e n 1 er en undergruppe av E n , da definerer skjærings E av settene E n er målbar; dessuten, hvis minst ett av settene E n har en begrenset grad, så μ ( E ) = Lim μ ( E n ).

Eksempler

Her er noen viktige måleeksempler:

den telling mål (eller telling måle ) er definert ved μ ( S ) = antall elementer i S ;
den Dirac tiltaket μ er forbundet med et punkt en av X er definert som μ et ( S ) = χ S ( en ), hvor χ S er den indikator funksjon av S . Med andre ord er målene til et sett lik 1 hvis det ellers inneholder punktet a og til 0;
den tetthetsmålingen en positiv målbar funksjon ƒ i forhold til en annen positiv måling μ blir ofte betegnet ƒ.μ;
den Lebesgue tiltaket (begrenset til Borelians ) er den unike oversettelses invariant mål definert på Borelian stamme av ℝ og slik at μ ([0,1]) = 1;
den Haar måle på et lokalt kompakt topologisk gruppe er en generalisering av Lebesgue tiltak, også kjennetegnet ved en invarians egenskap.

Generalisering

I noen sammenhenger, spesielt for å vise konstruksjonen av tiltak fra deres verdier på klasser av sett mindre enn stammer, er det hyggelig å ha en mer generell definisjon for kort å angi forskjellige resultater; ifølge kildene brukes ordet "mål" for funksjoner som verifiserer egenskapen til tellbar additivitet på algebras av sett , sett med ringer eller til og med semi-ringer av sett . Mer generelt kan vi derfor spørre:

Definisjon - La være et sett og et sett med deler som inneholder det tomme settet: $X$ $\ mathcal {C}$ $X$

Et μ-kart satt til med verdiene i kalles et mål når begge følgende egenskaper er oppfylt: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Det tomme settet har et nullmål:

{\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {C}} \ quad \ mathrm {og} \ quad \ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0}

;

Kartet μ er σ-tilsetningsstoff :

hvis E 1 , E 2 , ... er en tellbar familie av deler av X som tilhører , hvis disse delene er to og to usammenhengende, og hvis deres forening E også er et element av , så måler μ ( E ) for denne foreningen er lik summen av målene til delene:

\ mathcal {C}

\ mathcal {C}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

I noen tilfeller er det nyttig å ha et "mål" hvis verdier ikke er begrenset til positive realiteter og til uendelig. For eksempel kalles en σ- tilleggsfunksjon definert på sett og som tar reelle verdier, et signert mål , mens en slik funksjon som tar komplekse verdier kalles et komplekst mål (in) . Et mål som tar verdier i et Banach-rom kalles et vektormål, et spesielt tilfelle som er spektrale mål ; disse brukes hovedsakelig i funksjonell analyse for spektralsetningen .

En annen generalisering er forestillingen om bare additiv eller gjennomsnittlig mål . Definisjonen er den samme som for et mål, bortsett fra at σ- tilpasningen erstattes av den endelige additiviteten.

Til slutt møter vi noen ganger, spesielt i tallteori , "målinger" som verifiserer egenskaper som er uforenlige med de av reelle målinger; dette er for eksempel tilfellet med asymptotisk tetthet , noe som gjør det mulig å spesifisere betydningen av formler som "ett heltall i to er jevnt".

Merknader og referanser

Marc Briane and Gilles Pagès, Integrationsteori , Paris, Vuibert , koll. "De flotte Vuibert-kursene",Oktober 2000, 2 nd ed. , 302 s. ( ISBN 978-2-7117-8946-7 ) , s. 61.
Briane og Pagès 2000 bruker begrepet p. 90 eller s. 97 , blant andre.
(in) Martin Väth, Integration Theory: A Second Course , World Scientific ,2002, 277 s. ( ISBN 978-981-238-115-6 ), s. 8 .
(en) Achim Klenke, Sannsynlighetsteori: Et omfattende kurs , Springer,2008( ISBN 978-1-84800-047-6 ) , s. 12.
For eksempel Briane og Pagès 2000 , s. 195, utgjør dette ved første øyekast en tilleggsbetingelse i definisjonen av σ- enditude.
Briane og Pagès 2000 , s. 90.
Briane og Pagès 2000 , s. 255.
Briane og Pagès 2000 , s. 63-64.
Briane og Pagès 2000 , s. 62.
Følgende definisjon er den som er gitt i (in) Inder K. Rana, En introduksjon til måling og integrering , AMS bokhandel2002, 424 s. ( ISBN 978-0-8218-2974-5 , les online ), definisjon 3.3.1, s. 59 . Andre forfattere snakker snarere om "pre-measure" i disse mer generelle sammenhenger, for eksempel Klenke 2008 , s. 12 (når klassen er en ring av sett). $\ matematisk C$

Relaterte artikler

Den Hausdorff mål , som brukes i studiet av fraktaler , er ikke et mål i den forstand definert her, men en ekstern tiltak
Konvergens av tiltak
Innvendig måling (tommer)
Verdivurdering (målingsteori )