Chern-karakter

Den karakter Chern er en matematisk konstruksjon gjør det mulig å studere cohomology i K-teori . Den er definert fra Chernes klasseteorier og er spesielt gjenstand for Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch-teoremet .

Motivasjon

Den totale Chern-klassen formidler direkte summer i koppprodukter . Ideen bak definisjonen av Cherns karakter er å utvikle en algebraisk konstruksjon som sender direkte summer over summer og tensorprodukter til koppprodukter, og dermed utgjør en ringhomomorfisme av K-teorien om kohomologien.

For at en slik konstruksjon skal være mulig, er det nødvendig å vurdere homologi med rasjonelle koeffisienter. Vi definerer deretter Chern-tegnet på en linjebunt, så påkaller vi separasjonslemmaet for å sikre at de ønskede egenskapene blir tilfredsstilt for summer av bunter.

Det viser seg at dette uttrykket bare avhenger av Chern-klassene, og kan derfor brukes på hvilken som helst vektorpakke. Vi har endelig ønsket homomorfisme

{\ mathrm {ch}}: K (X) \ til H ^ {{\ bullet}} (X; {\ mathbb Q})

mellom K-teorigruppen og kohomologiringen (en) rasjonell.

Definisjon

Chernekarakter av en linjebunt

Hvis er en direkte sum av linjebunter , hvis første Chern-klasser er Chern-karakteren til V definert av: $V = L_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {n}$ $x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),$

\ operatorname {ch} (V) = e ^ {{x_ {1}}} + \ cdots + e ^ {{x_ {n}}} = \ sum _ {{m = 0}} ^ {\ infty} { \ frac {1} {m!}} (x_ {1} ^ {m} + \ cdots + x_ {n} ^ {m})

Chern-karakter av en vektorpakke

For enhver vektorpakke V definerer vi Chern-karakteren som den formelle serien, oppnådd ved å utvikle det eksponensielle uttrykket:

\ operatorname {ch} (V) = \ operatorname {dim} (V) + c_ {1} (V) + {\ frac {1} {2}} \ left (c_ {1} (V) ^ {2} -2c_ {2} (V) \ right) + {\ frac {1} {6}} \ left (c_ {1} (V) ^ {3} -3c_ {1} (V) c_ {2} (V ) + 3c_ {3} (V) \ høyre) + \ cdots

som bare avhenger av Chern-klassene i den aktuelle pakken. Dette uttrykket sammenfaller med det forrige i tilfelle der V bryter opp i en sum av linjebunter.

Chern karakter av en sammenhengende bjelke

Vi kan transportere dette uttrykket direkte når det gjelder koherente bjelker (in) V

\ operatorname {ch} (V) = \ operatorname {rk} (V) + c_ {1} (V) + {\ frac {1} {2}} \ left (c_ {1} (V) ^ {2} -2c_ {2} (V) \ høyre) + {\ frac {1} {6}} \ left (c_ {1} (V) ^ {3} -3c_ {1} (V) c_ {2} (V ) + 3c_ {3} (V) \ høyre) + \ cdots

hvor angir raden av strålen på et generisk punkt . ${\ mathrm {rk}} \, V$

Eiendommer

Cherns karakter er en ringhomomorfisme, og tilfredsstiller derfor følgende egenskaper:

${\ mathrm {ch}} (V \ oplus W) = {\ mathrm {ch}} (V) + {\ mathrm {ch}} (W)$ (dette er en homomorfisme av abelske grupper)
${\ mathrm {ch}} (V \ otimes W) = {\ mathrm {ch}} (V) \ smile {\ mathrm {ch}} (W)$ (denne homomorfismen respekterer produktene)
For en hvilken som helst kort nøyaktig sekvens av vektorbunter av skjemaet vi har $0 \ til A \ til B \ til C \ til 0$ ${\ mathrm {ch}} (B) = {\ mathrm {ch}} (A) + {\ mathrm {ch}} (C)$

Relaterte artikler

Referanser

Luc Illusie , “ Chern Character. Todds klasse ”, seminar Henri Cartan , t. 16, n o 1,1964, s. 1-9 ( les online )
(en) AF Kharshiladze , “Chern character” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , les online )