Circle of Euler

I geometri er Eulersirkelen til en trekant (også kalt ni-punkts sirkel , sirkel av Feuerbach , sirkel Terquem , midt sirkel ) den unike sirkelen gjennom de ni følgende bemerkelsesverdige punktene:

De tre midtpunktene til de tre sidene av trekanten; $I_ {i}$
Foten til hver av de tre høydene i trekanten; $H_i$
Midtpunktet til hvert av de tre segmentene som forbinder ortosenteret H med et toppunkt i trekanten. $J_ {i}$

Oppdagelse

I 1821 demonstrerte de franske matematikerne Brianchon og Poncelet sammen at midtpunktene på sidene og føttene i trekantens høyder er koksykliske: de fremhever dermed eksistensen av en sirkel som går gjennom disse seks bemerkelsesverdige punktene. Året etter ble resultatet gjenoppdaget av den tyske landmåler Feuerbach . Eulers sirkel kalles også Feuerbachs sirkel. Videre, fremdeles i 1822, demonstrerte han at sirkelen på de ni punktene er tangent eksternt til de omskrevne sirkler og tangent internt til den innskrevne sirkelen i trekanten. Dette resultatet kalles Feuerbachs teorem og legger til fire nye bemerkelsesverdige punkter: kontaktpunktene, kalt Feuerbach-punkter .

Deretter demonstrerte Terquem at tre andre punkter hører til denne sirkelen: midtpunktene til segmentene som er dannet av trekantene og ortosentret. I 1842 ga Terquem et nytt bevis på Feuerbachs teorem. Et tredje geometrisk bevis ble levert i 1854.

Siden da har noen titalls andre bemerkelsesverdige punkter i trekanten blitt lagt til i listen over punkter i sirkelen.

Geometrisk demonstrasjon

Kvadrilateralen er en trapesformet fordi den er parallell med . Dette trapes er likebent fordi, ifølge til Thales' teorem i trekanten , er halvparten av . Nå er det det samme med medianen til høyre trekant . Nå kan en likebent trapesform skrives i en sirkel. Det følger at punktene , , og er syklisk. Det samme gjelder de andre punktene . ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} I_ {2} H_ {1}}$ ${\ displaystyle (I_ {2} I_ {3})}$ ${\ displaystyle (BC) = (I_ {1} H_ {1})}$ $(ABC)$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {2}}$ $AB$ ${\ displaystyle H_ {1} I_ {3}}$ ${\ displaystyle ABH_ {1}}$ $I_1$ $I_ {2}$ $I_ {3}$ $H_ {1}$ $H_i$
Vinkelen er riktig. Det samme gjelder for vinkelen fordi er parallell til , og, i henhold til Thales' læresetning i trekanten , er parallell til , som står vinkelrett på . Som et resultat av de to trekanter og er rektangler, så navngitt i den sirkeldiameter og dermed punktene , , og er syklisk. De tre første er elementer i Eulers sirkel, det er det samme med . Samme resonnement gjelder de andre punktene . ${\ displaystyle I_ {1} H_ {1} J_ {1}}$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {3})}$ $(AC)$ ${\ displaystyle ABH}$ ${\ displaystyle I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle (BH)}$ $(AC)$ ${\ displaystyle I_ {1} H_ {1} J_ {1}}$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle [I_ {1} J_ {1}]}$ $I_1$ $I_ {3}$ $H_ {1}$ $J_ {1}$ $J_ {1}$ $J_ {i}$

Bevis ved homøthet

Sirkelen av de ni punktene i Euler er homotetisk av sirkelen som er avgrenset til trekanten i to homotety:

homoten til sentrum G og forholdet $- 1 / 2$ : det gjør det mulig å sette opp linjen og sirkelen til Euler.

homoteten til sentrum H og forholdet $1 / 2$ : det gjør det mulig å finne de ni punktene i sirkelen til Euler som tilsvarende punkter i den omskrevne sirkelen.

Homoteten til sentrum G

Betegn ved I 1 midtpunktet til [ BC ], I 2 midtpunktet til [ AC ] og I 3 midtpunktet til [ AB ]. Homoteten til sentrum G og forholdet $- 1 / 2$ forvandler trekanten til den median trekant og sirkelen som er omskrevet til i sirkelen som er begrenset til : denne siste sirkelen er nettopp Eulers sirkel . $(ABC)$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$ $(ABC)$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$

La H være punktet på linje med G og O , la homoteten med sentrum G og forholdet $- 1 / 2$ forvandles til O : da er H ortosenteret til trekanten ABC . La A 1 være den symmetriske av A med hensyn til O og anse trekanten AHA 1 : G er dens tyngdepunkt siden kl. $2 / 3$ fra linjen som forbinder toppunktet H til punktet O , midtpunktet på siden AA 1 ; AG er en annen median; I 1 er altså midtpunktet til HA 1 , linjene ( OI 1 ) og ( AH ) er derfor parallelle, og . Siden ( OI 1 ) er ortogonal til ( BC ) ved konstruksjon av sirkelen som er avgrenset til trekanten ABC , er linjen ( AH ) en høyde på den, som ( BH ) og ( CH ) med identisk resonnement. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OI_ {1}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ overrightarrow {AH}}}$

H- sentrum homøteritet

Homoteten til sentrum H og forholdet $1 / 2$ transformerer A 1 til I 1 , på samme måte er punktene I 2 og I 3 bildene av to punkter i den omskrevne sirkelen. Eulersirkelen som er begrenset til trekanten, er bildet av sirkelen som er begrenset til , i homotetien med sentrum H og forhold ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$ $(ABC)$ $1 / 2$ .

Vi betegner ved K 1 skjæringspunktet (annet enn A ) for høyden ( AH 1 ) med den omskrevne sirkelen. Segmentet [ AA 1 ] som er en diameter, trekanten AK 1 A 1 , innskrevet i en halvcirkel, er rektangel. Linjene ( BC ) og ( K 1 A 1 ), vinkelrett på høyden ( AH 1 ), er parallelle. Linjen ( I 1 H 1 ) går gjennom midtpunktet I 1 av [ HA 1 ], det er linjen for midtpunktene til HA 1 K 1 , H 1 er derfor midtpunktet til [ HK 1 ]. Linjen ( HK 1 ) er vinkelrett på ( BC ), K 1 er den symmetriske av H med hensyn til ( BC ).

De symmetriske linjene til ortosenteret med hensyn til sidene av trekanten er plassert på sirkelen som er begrenset til trekanten.

Punkt H 1 er midtpunktet av [ HK 1 ], slik at bildet av K 1 i midten homothety H . Da K 1 er plassert på den omskrevne sirkelen, er H 1 på Eulersirkelen.

Høydeføttene ligger på sirkelen til Euler.

Homoteten med sentrum H forvandler trekantens hjørner til midtpunktene til segmentene [ AH ], [ BH ] og [ CH ] som er de tre Euler-punktene K 1 , K 2 , K 3 plassert på sirkelen.

Det var matematikeren Leonhard Euler som først la merke til at tyngdepunktet G , sentrum av den omskrevne sirkelen Ω og ortosentret H er innrettet i en hvilken som helst trekant ( ABC ) . (Nøyaktig homoten til sentrum G og forholdet $-$ $1 / 2$ forvandler H til O. )

Noen eiendommer

Vi viser, ved hjelp av homoten som ble introdusert i første avsnitt, at:

Radiusen til Eulersirkelen er halve radiusen til den omskrevne sirkelen.

Senteret, det vil si , er til høyre for Euler , vi har: $\ Omega$

${\ displaystyle {\ overline {GH}} = - 2 {\ overline {GO}}}$ og ${\ displaystyle {\ overline {G \ Omega}} = - {1 \ over 2} {\ overline {GO}}}$

det er forstått at i en trekant, i sentrum av sirkelen Euler , er midtpunktet av [ HO ], segment som forener orthocenter H ved omskrevet O . $\ Omega$

Vi trekker ut fra disse forholdene at poengene er i harmonisk inndeling : ${\ displaystyle (O, \ Omega, G, H)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {GO}} {\ overline {G \ Omega}}} = - {\ frac {\ overline {HO}} {\ overline {H \ Omega}}}}$

Eulers sirkel er sirkelen som er begrenset til den median trekant (dannet av midtpunktene på sidene) og til den ortiske trekanten (dannet av høydenes føtter).
enhver ligesidig hyperbol som passerer gjennom de tre toppunktene har sitt senter på sirkelen til Euler, spesielt hyperbola til Kiepert , Jeřábek og Feuerbach . Dette er Feuerbachs koniske setning .
Eulers sirkel er tangent internt til sirkelen innskrevet med ABC og tangent eksternt til dens ekskripsjonelle sirkler. Dette er Feuerbachs teorem .

Pascals heksagram

Theorem - I en skrivbar heksagram motsatte sider skjærer hverandre ved P , Q og R . Punktene P , Q og R er justert på linje med Pascal ( PQ ).

Motsatte sider av sekskanten krysser H 1 I 2 H 2 I 3 H 3 I 2 H 1 , innskrevet i en sirkel Euler skjærer hverandre ved P , Q og R .

En prosjektiv eiendom som Euler ikke hadde sett:

Den Pascal riktig av hexagram er Euler linjen i trekanten.

Generalisering

Euler sirkel er et spesielt tilfelle av koniske avsnitt , hvor det ble ansett som de tre hjørnene A , B og C og dens orthocenter H . Disse fire punktene danner et komplett firkant, men fremfor alt et ortosentrisk system . Hvis vi betrakter en komplett firkant som ikke er ortosentrisk, finner vi en lignende egenskap ved å vise at det er en konisk kurve som går gjennom skjæringspunktene mellom diagonalene og midtpunktene til de seks sidene av firsiden. Kurven er en ellipse hvis H er inne i ABC , og en hyperbol hvis ikke (det er til og med like-sidig hvis H er på ABCs begrensede sirkel ).

Se også

Bibliografi

Jean-Denis Eiden, Klassisk analytisk geometri, Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )

Merknader og referanser

Denne høyre trekanten er innskrevet i en sirkel av sentrum og radius . $I_ {3}$ ${\ displaystyle I_ {3} A = I_ {3} B = I_ {3} H_ {1}}$
Trajan Lalesco, geometrien til trekanten , Paris, Gabay,1987( 1 st ed. Vuibert - 1952), 120 s. ( ISBN 2-87647-007-1 )